第26講圓錐曲線壓軸小題

第26講圓錐曲線壓軸小題方法總結(jié)：1、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：典型例題：47．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線PQ的斜率為___________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的方程，利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為：，，聯(lián)立拋物線方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合垂直向量的數(shù)量積為0列出關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F為，所以，所以拋物線的方程為：，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線MF與直線垂直，又，有，得①，因?yàn)榫€段MF的中點(diǎn)在直線，所以，即②，由①②，解得，所以，設(shè)直線l的方程為：，，則，，，消去y，得，，，因?yàn)?，所以，又，所以，解?故答案為：48．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知A為雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，以實(shí)軸長(zhǎng)為直徑的圓交其中一條漸近線于點(diǎn)P（點(diǎn)P在第二象限），PA平行于另一條漸近線，且，則______.【答案】【解析】【分析】先利用線線平行和漸近線的關(guān)系得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，再利用三角形的面積求出，，，再利用余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】如圖，連接PF，交另一條漸近線于點(diǎn)Q，因?yàn)?，所以，所以是等邊三角形，所以，則，即；又因?yàn)?，所以，解得，，，在中，，，，由余弦定理，?故答案為：.49．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).為雙曲線上一點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是______.【答案】【解析】【分析】由條件可得，由勾股定理結(jié)合條件求出，，由雙曲線的定義得出，進(jìn)一步得出雙曲線的方程，從而求出漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式得出答案.【詳解】由得.又因?yàn)?，由勾股定理?解得，，由雙曲線定義得，所以，所以，所以雙曲線的漸近線是，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離.故答案為：50．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由拋物線的定義將P點(diǎn)到B點(diǎn)（B點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)）的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線的準(zhǔn)線的距離即可求解.【詳解】解：易知是拋物線的焦點(diǎn)，，周長(zhǎng)為，結(jié)合拋物線定義可知的最小值為點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即，所以周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：.51．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的右焦點(diǎn)的直線，與的右支分別交于兩點(diǎn)，且，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由題意易知，設(shè)，由雙曲線定義可知，，在和中由勾股定理，分別可得，，兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)整理可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，連接，．因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以．由雙曲線定義可得，即，由雙曲線定義可得，即，在中，由勾股定理可得，即①，在中，由勾股定理可得，即②，由②得，代入①整理得，所以C的離心率為．故答案為：.52．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，再由余弦定理，可得，與的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，可得，的關(guān)系，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)，為第一象限的交點(diǎn)，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即為，由雙曲線為等軸雙曲線，所以，可得.故答案為：．53．（2022·四川·三模（理））已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)Q滿足以FQ為直徑的圓與x軸相切．直線FQ與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E交于另一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，直線PQ的斜率為______．【答案】##【解析】【分析】求得點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)出直線的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由于動(dòng)點(diǎn)Q滿足以FQ為直徑的圓與x軸相切，所以，整理得點(diǎn)的軌跡方程為.依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，由于，所以，即，，，，4k2-4k+1=0，解得故答案為：54．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知點(diǎn)F（c，0）為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞【答案】1+【解析】【分析】設(shè)出F(c,0)，B(0,b)，雙曲線的一條漸近線y=ba的條件是斜率之積為，結(jié)合雙曲線的的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值.【詳解】由對(duì)稱性知，選取雙曲線C的一條漸近線方程為y=b相應(yīng)直線BF方程為xc+y從而ba?(-bac=c2-a2因?yàn)閑所以雙曲線的離心率e=故答案為：1+555．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F關(guān)于其一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)P在雙曲線上，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】求出焦點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解作答.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，不妨令F為右焦點(diǎn)，漸近線為y=bax，即，令半焦距為c，則過F垂直于漸近線y=bax的直線方程為：y=-由bx-ay=0ax+by=ac解得x=a2cy=abc依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a2c-c,即(2ac-ca)2-4(ac所以雙曲線的離心率為.故答案為：過關(guān)練習(xí)：1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓.設(shè)點(diǎn)滿足：圓M上存在點(diǎn)P，使，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】連接MT，過點(diǎn)T作圓M的一條切線，與圓相切于點(diǎn)Q，連接MQ，分析可得，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意知圓心，半徑，連接MT，過點(diǎn)T作圓M的一條切線，與圓相切于點(diǎn)Q，連接MQ，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有，反之，若，則圓M上存在一點(diǎn)P使得，因此圓M上存在點(diǎn)P，使得，等價(jià)于，由，得，解得，因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是，故選：A.2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，當(dāng)滿足時(shí)，過點(diǎn)作的平行線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為Q，則直線PQ的斜率為（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得，從而得，求出后可得值，寫出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線斜率．【詳解】由可得，得，所以，由雙曲線對(duì)稱性知，，在中，，所以，即，故，直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立可得，，，從而得點(diǎn)，，故選：A.3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F為拋物線焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義結(jié)合題目條件可得，從而寫出直線的方程，聯(lián)立方程組得一元二次方程，由判別式小于零可知直線與拋物線沒有交點(diǎn)，所以沒有滿足條件的點(diǎn).【詳解】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則．又，∴，∴，∴直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得，由，可得直線與拋物線沒有交點(diǎn)，由對(duì)稱性可得與拋物線沒有交點(diǎn)，故滿足條件的點(diǎn)不存在.故選：D．【點(diǎn)睛】解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．4．（2022·安徽·高三開學(xué)考試（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，，若，滿足，，且，則（

）．A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理及條件可得，即得.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，則，則，．由，，得P，Q分別為線段AF，BF的中點(diǎn)，又，滿足，，且，∴，解得．故選：A．5．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測(cè)（文））已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B．16 C． D．8【答案】C【解析】【分析】分別求出A，B坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求出.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相交于A，B兩點(diǎn)，所以，解得：.所以.故選：C.6．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)，圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)、滿足，則的最大值為（

）A．12 B．18 C．60 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出弦AB中點(diǎn)的軌跡，再求出這個(gè)軌跡上的點(diǎn)到直線的距離最大值即可推理計(jì)算作答.【詳解】因，則點(diǎn)A，P，B共線，即過點(diǎn)P的直線AB與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，表示點(diǎn)、到直線的距離和的5倍，設(shè)弦AB中點(diǎn)，則有于是得：，圓的圓心，顯然點(diǎn)P在此圓內(nèi)，即過點(diǎn)P的任意直線與圓都相交，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P，Q都不重合時(shí)，由圓的性質(zhì)知，，有，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P，Q之一重合時(shí)，也成立，于是得，又，從而得，即點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，圓的圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值為60.故選：C7．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為A，，若在雙曲線C的漸近線上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，以AB為直徑的圓D，問題轉(zhuǎn)化為雙曲線C的漸近線與圓D有交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離得到不等關(guān)系，求出離心率的取值范圍.【詳解】依題意，A（a，0），B（5a，0），則以AB為直徑的圓D：；而，故雙曲線C的漸近線與圓D有交點(diǎn)，故圓心D（3a，0）到直線的距離，則，故，故，則，故雙曲線C的離心率的取值為，故選：B.8．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）圓C：上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個(gè)取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】先求得符合題意條件的R的取值范圍，即可做出判斷.【詳解】圓C：的圓心，半徑R點(diǎn)C到直線的距離為圓C上恰好存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則故選：B9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓、符號(hào)函數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，滿足；當(dāng)時(shí)，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿足，故C正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：C10．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））已知拋物線，點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．4 C．5 D．【答案】D【解析】【分析】先求得直線AB的方程，再去求點(diǎn)到直線AB的距離的最大值即可解決.【詳解】設(shè)，切點(diǎn)，由題意知在點(diǎn)A處的切線斜率存在且不為0，設(shè)在點(diǎn)A處切線斜率為在點(diǎn)A處切線方程可設(shè)為由，可得由，可得則在點(diǎn)A處切線方程可化為，即由題意知在點(diǎn)B處的切線斜率存在且不為0，設(shè)在點(diǎn)B處切線斜率為在點(diǎn)B處切線方程可設(shè)為由，可得由，可得則在點(diǎn)B處切線方程可化為，即又兩條切線均過點(diǎn)P，則，則直線AB的方程為，即則直線AB恒過定點(diǎn)點(diǎn)到直線AB的距離的最大值即為點(diǎn)到的距離故點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為.故選：D11．（2022·山東臨沂·一模）已知，分別為雙曲線C：（，）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，且滿足，，線段與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若.則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，由已知得，由三線合一得△是等腰三角形，表示出各邊長(zhǎng)，再由余弦定理表示，再由雙曲線的定義表示，在△中由余弦定理列式，得關(guān)于的等式關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以△是等腰三角形，且，在中，，連接，又，點(diǎn)在雙曲線上，由，則，在△中，，整理得，所以離心率.故選：C12．（2022·河南安陽·二模（文））拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸.該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛.如圖所示，從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與x軸的夾角均為60°，且兩條反射光線和之間的距離為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】寫出直線AF、BF的方程，求出，，由，解出p.【詳解】拋物線的焦點(diǎn).由,所以直線AF的方程為，即，聯(lián)立，得，解得：或，可得：.同理直線BF的方程為，即，聯(lián)立，解得：.所以，解得：.故選：B13．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（理））已知矩形ABCD中，，點(diǎn)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿DM翻轉(zhuǎn)，直到與△首次重合，則此過程中，線段AC的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，其半徑為，分析出線段的中點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，其半徑為，即可求出軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】由已知得:四邊形是正方形，沿DM翻轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，其半徑為，設(shè)線段的中點(diǎn),線段的中點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，其半徑為，線段AC的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為.故選：.14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用拋物線定義結(jié)合已知條件列出方程組，求解方程組作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由點(diǎn)到的距離為得：，即，由點(diǎn)在拋物線上得：，因此有，整理得，而，解得，所以.故選：C15．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作與x軸平行的直線交拋物線于A，B（B在第一象限）兩點(diǎn)，且上存在點(diǎn)M，滿足，則r的最小值為（

）A．2 B．6 C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，根據(jù)得到點(diǎn)M的軌跡方程，然后結(jié)合點(diǎn)M滿足圓的方程求出答案.【詳解】易得，將代入得，，．設(shè)，則由得，，故，故點(diǎn)M為圓與曲線（）的公共點(diǎn)，則，故，即．故選：C．16．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））對(duì)于曲線（且），以下說法正確的是（

）A．曲線是橢圓 B．曲線是雙曲線C．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 D．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】D【解析】【分析】對(duì)m進(jìn)行分類討論，分為雙曲線和橢圓，即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.17．（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A位于第一象限），，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，則C的離心率是（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性，知四邊形為矩形，再結(jié)合雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理及雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，由圖形的對(duì)稱性知為矩形，則有，所以，在中，，解得．故選:C.18．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））過點(diǎn)作曲線C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)函數(shù)求出切線斜率，進(jìn)而表達(dá)出切線方程，將代入，結(jié)合，從而求出直線AB的方程.【詳解】設(shè)，，，所以在A點(diǎn)處的切線方程為，將代入得，因?yàn)?，化?jiǎn)得，同理可得，所以直線AB的方程為，故選：A．19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理）（文））設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式求出|F2P|＝b，進(jìn)而求出|OP|＝a，利用勾股定理求出，從而得到a與b的關(guān)系，從而求出離心率.【詳解】如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長(zhǎng)線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形，漸近線方程為：，由點(diǎn)到直線距離公式得：，因?yàn)閨F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以，所以c＝，所以.故選：C.20．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知是橢圓上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)這兩條切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則，的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)過原點(diǎn)作圓兩條切線方程為，切線，的斜率分別記為，，其中，是方程的兩根，計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】由圓：，得圓心為，半徑為.設(shè)過原點(diǎn)作圓兩條切線方程為，由題意可知，圓心為到兩條切線的距離等于，則即，設(shè)切線，的斜率分別記為，，則由已知得，就是，的斜率,因?yàn)槭菣E圓上的任意一點(diǎn)，所以，即.所以，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以.故選：B.21．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知橢圓的上焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且，若，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C．

D．【答案】C【解析】【分析】由橢圓的對(duì)稱性，取橢圓的下焦點(diǎn)，由題意可得四邊形為矩形，求出，用表示的代數(shù)式，由橢圓的定義可得與的關(guān)系，由角的范圍求出三角函數(shù)的范圍，進(jìn)而求出離心率的范圍，即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，由橢圓及直線的對(duì)稱性可得，所以，設(shè)下焦點(diǎn)，連接，，又因?yàn)椋辞一ハ嗥椒?，可得四邊形為矩形，即有，在中，，，由橢圓的定義可得，所以，所以離心率，因?yàn)?，，所以，，所以?所以，故選：C．22．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么過點(diǎn)P作的垂線，垂足為M，與距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)P到距離等于到準(zhǔn)線的距離加1，結(jié)合拋物線的定義以及圖象，得出與距離之和的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑，如圖所示，根據(jù)點(diǎn)P到距離等于到準(zhǔn)線的距離加1，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值為，故與距離的最小值為.故選：D．23．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】畫出所表示的半圓，結(jié)合直線所過的定點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，直線的位置情況，即可求k的范圍.【詳解】由題設(shè)，表示圓的半圓，又直線過定點(diǎn)，由下圖知：k的取值范圍在直線與半圓左側(cè)相切時(shí)斜率(不含)、直線過時(shí)斜率之間.當(dāng)在半圓左側(cè)相切時(shí)到直線距離等于半徑，即，可得.當(dāng)直線過時(shí)，；綜上，要使直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，k的取值范圍是.故選：C24．（2022·黑龍江·哈師大附中高三期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)，過其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)作直線，若直線與拋物線相切于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由拋物線的方程求出的坐標(biāo)，設(shè)切點(diǎn)的的坐標(biāo)，求出切線的斜率，求出切線的方程與拋物線聯(lián)立，由判別式等于求出的橫坐標(biāo)與焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為，可得軸，，可得為等腰直角三角形，進(jìn)而求出的值.【詳解】由題意得，設(shè)切點(diǎn)，，，所以過切點(diǎn)的切線方程為，代入拋物線的方程，得，所以，可得，所以，，即，所以軸，，所以為等腰直角三角形，所以.故選：C.25．（2022·黑龍江·哈師大附中高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）；（2）存在點(diǎn)滿足（3）直線與直線的斜率之積為（4）若△的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】（1）由橢圓定義進(jìn)行求解；（2）點(diǎn)P在以為直徑的圓上，求出圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立作出判斷；（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表達(dá)出直線與直線的斜率，計(jì)算出答案；（4）利用的面積求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用橢圓方程求出橫坐標(biāo).【詳解】由題意得：，所以，，故，，，，由橢圓的定義知：，（1）錯(cuò)誤；假設(shè)存在點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P在以為直徑的圓上，即，與橢圓方程聯(lián)立得：，無解，故假設(shè)不成立，不存在點(diǎn)滿足，（2）錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)，則，所以其中，，所以，（3）正確；，解得：，將代入橢圓方程中，解得：，（4）正確.綜上：正確答案為2個(gè)，故選：B26．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線H的兩條漸近線互相垂直，過H右焦點(diǎn)F且斜率為3的直線與H交于A，B兩點(diǎn)，與H的漸近線交于C，D兩點(diǎn)．若，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】由已知條件可得漸近線方程為，雙曲線方程，設(shè)出直線方程代入雙曲線方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式列方程可求出的值，從而可得漸近線方程與直線方程聯(lián)立可求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出結(jié)果【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線H的兩條漸近線互相垂直，所以，所以漸近線方程為所以雙曲線方程為，則右焦點(diǎn)，所以直線方程為，設(shè)，將代入化簡(jiǎn)得，，所以，所以，解得，得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線方程為，由，得，由，得，所以，故選：C27．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（文））已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若四邊形為矩形，且，則C的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，得到和的關(guān)系，再利用，結(jié)合橢圓的定義，得到關(guān)于，的不等關(guān)系，求解即可得到答案．【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，則，所以，又，即，即所以，故，因?yàn)?，又，所以，則，又，即，且，所以，故，即，即解得，所以橢圓的離心率的取值范圍是．故選：C．28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（

）A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線l：x＝ty＋m，討論t＝0時(shí)結(jié)合半徑范圍分析滿足條件的切線條數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)研究t≠0時(shí)切線的條件，保證兩種情況下切線總共4條求r的取值范圍【詳解】不妨設(shè)直線l：x＝ty＋m，又，當(dāng)t＝0且r≥5，滿足條件的直線只有1條，不合題意；當(dāng)t＝0且0＜r＜5，則斜率不存在的直線有2條，此時(shí)只需t≠0的直線恰有2條即可.當(dāng)t≠0時(shí)，將直線代入拋物線方程有：y2－4ty－4m＝0,則△＝16t2＋16m＞0①，所以，則M(2t2＋m，2t)，由，可得m＝3－2t2代入①，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,又由圓心到直線的距離等于半徑，得d＝r＝,由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).故選：D29．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交M，N兩點(diǎn)（其中M在笫一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的中心對(duì)稱性和圓的性質(zhì)得到以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，得到和的關(guān)系，再根據(jù)的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的中心對(duì)稱性和，，，四點(diǎn)共圓，則四邊形為矩形，所以以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，則，即，所以，故.故選：A.30．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知雙曲線的漸近線方程為，則C的焦距等于（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程可得，由可得答案.【詳解】曲線的漸近線方程為，可得，所以，所以焦距為，故選：C.31．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓C經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且的面積為4，若過圓心C作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】設(shè)可得，過點(diǎn)A作于Q，過點(diǎn)B作于P，利用拋物線定義得，利用梯形中位線、基本不等式可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，設(shè)，即，過點(diǎn)A作于Q，過點(diǎn)B作于P，利用拋物線定義得，根據(jù)梯形中位線可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故選：A.32．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、，利用橢圓的定義求出的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的取值范圍，再利用橢圓的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接、，因?yàn)橹本€與橢圓均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，則，所以，，可得，取點(diǎn)，則，可得，所以，，故選：A.33．（2022·福建漳州·一模）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），若，則在y軸上的截距為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)求出拋物線方程，再利用向量得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，聯(lián)立直線方程可求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再求出直線斜率即可得解.【詳解】拋物線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，即拋物線方程為，焦點(diǎn)為，設(shè)，聯(lián)立，消元得，由，，又，即,，，，，，，即直線方程為，故在y軸上的截距為，故選：D34．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））如圖所示，橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，直線y＝kx（k＞0）與C相交于M，N兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓（其中M在第一象限），且直線傾斜角不小于，則橢圓C的實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得橢圓的半焦距為，由橢圓的中心對(duì)稱性和圓的性質(zhì)得到以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，得到和的關(guān)系，再利用直線的傾斜角，結(jié)合橢圓的定義，得到關(guān)于的不等關(guān)系，求解即可得到答案．【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的中心對(duì)稱性和，，，四點(diǎn)共圓，則四邊形為矩形，所以以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，則，所以，又由題意，即，故，即因?yàn)橹本€傾斜角不小于，所以直線的傾斜角不小于，則，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋?，則，又，所以，故，解得，所以，綜上故選：．35．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））已知雙曲線的方程為，雙曲線的右頂點(diǎn)A到漸近線的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程寫出右頂點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，即可求得答案.【詳解】雙曲線的方程為,則右頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取漸近線方程為，故右頂點(diǎn)A到漸近線的距離為，故選：C36．（2022·云南保山·模擬預(yù)測(cè)（理））已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，，則以為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷.【詳解】如圖所示：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，根據(jù)拋物線定義知，得.線段的中點(diǎn)到軸的距離，則以為直徑的圓與軸相切，故選：A．37．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（文））若直線與圓交于M、N兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．2【答案】B【解析】【分析】由題意求得直線過定點(diǎn)，圓心，半徑，且當(dāng)時(shí)，值最小，利用弦長(zhǎng)公式即可求得答案．【詳解】設(shè)直線，即聯(lián)立，解得，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，由知定點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓方程可知圓心，半徑，當(dāng)垂直時(shí)，最小，此時(shí)到直線的距離，所以，故選：．38．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)（理））已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓分別與x軸交于異于F的兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)為AF的中點(diǎn)，為BF的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得點(diǎn)A、B坐標(biāo)間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可求得k的值.【詳解】解：設(shè)為AF的中點(diǎn)，為BF的中點(diǎn)，，，所以，作軸于點(diǎn)P，軸于Q，則，因?yàn)?，所以P為NF的中點(diǎn)，則，同理，因?yàn)?，則，即，即，所以，整理得，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，整理得，所以，結(jié)合式得，代入中，即，因?yàn)?，所以，即，所以，故選：D.二、多選題39．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的焦距為1B．點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部C．若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則D．若點(diǎn)，則的距離的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓方程求得判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，將點(diǎn)代入橢圓方程判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由求解判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，由P，Q，三點(diǎn)共線求解判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓，易得，所以焦距為2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，將點(diǎn)代入中，易得，則點(diǎn)Q在橢圓C內(nèi)部，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，得，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，（當(dāng)P，Q，三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)P位于第四象限時(shí)，取得最大值），故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.40．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則（

）A．焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．若，則過定點(diǎn)C．若直線過點(diǎn)，則 D．若直線過點(diǎn)，則的最小值為16【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A；設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可求出，即可判斷B；設(shè)直線，代入拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，即可判斷C、D；【詳解】解：對(duì)于A，由題意，所以焦點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線的斜率，顯然不合題意；設(shè)直線，代入，得，則，，所以，所以，所以，所以直線過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由直線過點(diǎn)，可設(shè)直線，代入，得，則，，所以，故C正確；對(duì)于D，由C可知，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為16，故D正確，故選：BCD.41．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，設(shè)直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，.設(shè)圓F為以點(diǎn)F為圓心，OF為半徑的圓（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．拋物線的C的方程為B．直線l截圓F的弦長(zhǎng)的最小值為C．直線l截圓F的弦長(zhǎng)的最大值為2D．當(dāng)時(shí)，取到最小值【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：判斷出直線l過定點(diǎn).設(shè)直線l的傾斜角為，由可得，即可得.利用斜率，解得：，即可得拋物線C的方程；對(duì)于選項(xiàng)B：判斷出點(diǎn)P在圓F外，可得直線l截圓F的弦長(zhǎng)的最小值為0；對(duì)于選項(xiàng)C：直線l截圓F的弦長(zhǎng)取到最大值為圓F的直徑；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，表示出，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：直線，可化為：所以直線l過定點(diǎn).設(shè)直線l的傾斜角為，則有，，且由可得，即可得.點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以，解得：，即可得拋物線C的方程為，故選項(xiàng)A成立；對(duì)于選項(xiàng)B：可得圓F的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓F外，可得直線l截圓F的弦長(zhǎng)的最小值為0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)直線l截圓F的弦長(zhǎng)取到最大值，最大值為圓F的直徑，故選項(xiàng)C成立；對(duì)于選項(xiàng)D：由l過定點(diǎn)P，可設(shè)直線l為，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，聯(lián)立可得，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，當(dāng)時(shí)，取到最小值為，此時(shí)，故選項(xiàng)D成立.故選：ACD.42．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．的取值范圍為C．的取值范圍為D．當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A,求出圓心到直線l的距離，根據(jù)圓心距和弦長(zhǎng)的一半及半徑之間的關(guān)系可求得，即可判斷A;對(duì)于B,C,根據(jù)直線過定點(diǎn)，求出過該頂點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最小值和最大值，即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)取得最小值時(shí)，直線的垂直關(guān)系，可求得直線MN的方程，由此可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，