第1章直線與方程綜合測試

第1章直線與方程綜合測試一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．經(jīng)過兩點A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角為eq\f(3π,4)，則y＝(B)A．－1 B．－3C．0 D．2【答案】B【解析】由eq\f(2y＋1－－3,4－2)＝eq\f(2y＋4,2)＝y(tǒng)＋2，得y＋2＝taneq\f(3π,4)＝－1，∴y＝－3．故選B．2．直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足(A)A．a(chǎn)b>0，bc<0 B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0 D．a(chǎn)b<0，bc<0【答案】A【解析】由題意可知直線斜率小于0，縱截距大于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0,bc<0))，故選A．3．直線2xcosα－y－3＝0(α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)])的傾斜角的變化范圍是(B)A．[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]C．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)] D．[eq\f(π,4)，eq\f(2π,3)]【答案】A【解析】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，即傾斜角的變化范圍是[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]．故選A．4．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是(B)A．[0，π) B．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)C．[0，eq\f(π,4)] D．[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,2)，π)【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ＝－sinα，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π]，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π．故選B．5．已知點A(1,3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是(D)A．k≥eq\f(1,2) B．k≤－2C．k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq\f(1,2)【答案】D【解析】由已知直線l恒過定點P(2,1)，如圖所示，若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝eq\f(1,2)，∴－2≤k≤eq\f(1,2)．故選D．6．經(jīng)過(2,0)且與曲線y＝eq\f(1,x)相切的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(A)A．2 B．eq\f(1,2)C．1 D．3【答案】A【解析】設(shè)切點為(m，eq\f(1,m))，m≠0，y＝eq\f(1,x)的導(dǎo)數(shù)為y′＝－eq\f(1,x2)，可得切線的斜率k＝－eq\f(1,m2)，切線方程為y－eq\f(1,m)＝－eq\f(1,m2)(x－m)，代入(2,0)，可得－eq\f(1,m)＝－eq\f(1,m2)(2－m)，解得m＝1，則切線方程為y－1＝－x＋1，切線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，(2,0)，則切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為eq\f(1,2)×2×2＝2．故選A．7．已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(C)A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1【答案】C【解析】由題意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1．解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2)．∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2)．8．“a＝2”是“兩直線ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】兩直線ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa＋1＝2×3,a×－2≠2a×2))，即a＝2或a＝－3，又“a＝2”是“a＝2或a＝－3，的充分不必要條件，即“a＝2”是“兩直線ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要條件，故選A．二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)9．過點A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程不可能為()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0【答案】AC【解析】當(dāng)直線過原點時，可得斜率為eq\f(2－0,1－0)＝2，故直線方程為y＝2x，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入點(1,2)，可得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1，直線方程為x－y＋1＝0，故所求直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0．選項B、D不能同時滿足題干中的兩個條件．故選BD．10．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0不可能是()【答案】ACD【解析】由題意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，當(dāng)a，b同號時，l1與l2的斜率與截距也同號，此時選項A、C不可能正確，選項B正確；當(dāng)a，b異號時，l1與l2的斜率與截距也異號，此時選項D不可能正確．故選A、C、D．11．下列說法錯誤的是()A．直線y＝ax－2a(a∈R)必過定點(2,0)B．直線y＋1＝3x在y軸上的截距為1C．直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角為120°D．過點(－2,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程為2x＋y＋1＝0【答案】BC【解析】A，由直線方程有y＝a(x－2)，故必過(2,0)，正確；B，令x＝0得y＝－1，故在y軸上的截距為－1，錯誤；C，由直線方程知，斜率為－eq\f(\r(3),3)則傾斜角為150°，錯誤；D，由2x＋y＋1＝0，x－2y＋3＝0的斜率分別為－2，eq\f(1,2)，則有－2×eq\f(1,2)＝－1，故相互垂直，將(－2,3)代入方程2×(－2)＋3＋1＝0，正確．故選BC．12．已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論錯誤的是()A．無論a為何值，l1與l2都互相平行B．當(dāng)a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(－1,0)C．無論a為何值，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對稱D．若l1與l2交于點M，則|MO|的最大值是eq\r(2)【答案】AC【解析】對于A，a×1＋(－1)×a＝0，故l1與l2相互垂直恒成立，故A錯誤；對于B，直線l1：ax－y＋1＝0，當(dāng)a變化，x＝0時，y＝1恒成立，所以l1恒過定點A(0,1)；l2：x＋ay＋1＝0，當(dāng)a變化，y＝0時，x＝－1恒成立，所以l2恒過定點B(－1,0)，故B正確；對于C，在l1上任取一點(x，ax＋1)，關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點的坐標(biāo)為(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，得2ax＝0，不滿足無論a為何值，2ax＝0成立，故C不正確；對于D，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1)))，所以|MO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋1,a2＋1)))2)＝eq\r(\f(2,a2＋1))≤eq\r(2)，所以|MO|的最大值是eq\r(2)，故D正確．故選AC．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．過點P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為．【答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝0_【解析】當(dāng)截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直線方程為x＋y－5＝0.14．已知三角形的三個頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為．【答案】x＋13y＋5＝0.【解析】由題意可知BC的中點為H(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))，∴kAH＝eq\f(0－－\f(1,2),－5－\f(3,2))＝－eq\f(1,13).故所求直線的方程為y－0＝－eq\f(1,13)(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.15．若直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則實數(shù)m的值為．【答案】__0或eq\f(1,6)__.【解析】因為直線l1：x＋2my－1＝0與l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，則斜率相等或者斜率不存在，－eq\f(1,2m)＝eq\f(3m－1,m)或者m＝0，∴m＝eq\f(1,6)或0.16．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則c的值是．【答案】2或－6【解析】依題意知，eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直線6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，又兩平行直線之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，所以eq\f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l不過第四象限，求k的取值范圍．【解析】(1)證明：直線l的方程可化為y－1＝k(x＋2)，故無論k取何值，直線l必過定點(－2,1)．(2)令x＝0得y＝2k＋1，即直線l在y軸上的截距為2k＋1.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥0，,2k＋1≥0))解得k≥0.故取值范圍是[0＋∞)．18．(本小題滿分12分)(1)求證：動直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．(2)求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．【解析】(1)證明：解法一：令m＝0，則直線方程為3x＋y＋1＝0.再令m＝1時，直線方程為6x＋y＋4＝0.①和②聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋1＝0，,6x＋y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))將點A(－1,2)的坐標(biāo)代入動直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，故動直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒過定點A.解法二：將動直線方程按m降冪排列整理，得m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①不論m為何實數(shù)，①式恒為零，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3＝0，,2x＋y＝0，,3x＋y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))故動直線恒過點A(－1,2)．(2)解法一：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0,2)．因為l3的斜率為eq\f(3,4)，且l⊥l3，所以直線l的斜率為－eq\f(4,3)，由斜截式可知l的方程為y＝－eq\f(4,3)x＋2，即4x＋3y－6＝0.解法二：設(shè)所求直線方程為4x＋3y＋m＝0，將解法一中求得的交點P(0,2)代入上式可得m＝－6，故所求直線方程為4x＋3y－6＝0.解法三：設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.19．(本小題滿分12分)已知直線l的方程為(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R．(1)求證：直線l恒過定點P，并求出定點P的坐標(biāo)；(2)若直線l在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程．【解析】(1)證明：直線l的方程為(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－3＝0，,2x－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1，))故直線l恒過定點P(4,1)．(2)直線l方程為(m＋2)x－my－3m－8＝0，當(dāng)直線l不經(jīng)過原點且在x軸，y軸上的截距相等時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2·－m≠0，,－3m－8≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－2且m≠0，,m≠－\f(8,3)，))令y＝0，可得x＝eq\f(3m＋8,m＋2)，再令x＝0，可得y＝－eq\f(3m＋8,m)，由eq\f(3m＋8,m＋2)＝－eq\f(3m＋8,m)，可得m＝－1，故直線l的方程為x＋y－5＝0．當(dāng)直線l經(jīng)過原點時，－3m－8＝0，得m＝－eq\f(8,3)，故直線l的方程為x－4y＝0．綜上，所求直線l的方程為x＋y－5＝0或x－4y＝0．20．(本小題滿分12分)(2021·鎮(zhèn)江中學(xué)高二月考)已知?ABCD中，A(－1，－1)，C(1,1)，點B位于第四象限．(1)求直線AC的方程；(2)若________時，求點B的坐標(biāo)(從下面三個條件中任選一個，補充在問題中并作答)．①△ABC是等邊三角形；②過點E(eq\r(3)，eq\r(3))垂直于AC的直線分別交坐標(biāo)軸于M，N兩點，且MN∥BD，MN＝BD；③點E(－2,0)，AE∥BD，且?ABCD的面積為4eq\r(3)．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】(1)因為A(－1，－1)，C(1,1)，所以kAC＝eq\f(－1－1,－1－1)＝1，所以直線AC的方程為y－1＝1(x－1)，即x－y＝0．(2)若選①，若△ABC是等邊三角形，則AC⊥BD，因為AC的中點坐標(biāo)為(0,0)，所以BD過坐標(biāo)原點，則直線BD的方程為y＝－x，設(shè)B(x，－x)(x>0)，由|AC|＝|BC|，得eq\r(－1－12＋－1－12)＝eq\r(x－12＋－x－12)，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，所以B點的坐標(biāo)為(eq\r(3)，－eq\r(3))．若選②，因為kAC＝1，所以過點E(eq\r(3)，eq\r(3))垂直于AC的直線方程為y－eq\r(3)＝－(x－eq\r(3))，即y＝－x＋2eq\r(3)，令x＝0則y＝2eq\r(3)，令y＝0則x＝2eq\r(3)，即M(2eq\r(3)，0)，N(0，2eq\r(3))，所以|MN|＝eq\r(2\r(3)2＋2\r(3)2)＝2eq\r(6)，因為MN∥BD，AC的中點坐標(biāo)為(0,0)，所以BD過坐標(biāo)原點，所以直線BD的方程為y＝－x，設(shè)B(x，－x)(x>0)，則D(－x，x)，因為MN＝BD，所以eq\r(2x2＋－2x2)＝2eq\r(6)，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)(舍去)，所以B點的坐標(biāo)為(eq\r(3)，－eq\r(3))．若選③，因為點E(－2,0)，所以kAE＝eq\f(－1－0,－1－－2)＝－1，因為AE∥BD，AC的中點坐標(biāo)為(0,0)，所以BD過坐標(biāo)原點，所以直線BD的方程為y＝－x，設(shè)B(x，－x)(x>0)，則D(－x，x)，所以點B到AC的距離d＝eq\f(2x,\r(12＋－12))＝eq\r(2)x，又|AC|＝eq\r(－1－12＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以S?ABCD＝2S△ABC＝2×eq\f(1,2)×|AC|×d＝4eq\r(3)，即2eq\r(2)×eq\r(2)x＝4eq\r(3)，解得x＝eq\r(3)，所以B點的坐標(biāo)為(eq\r(3)，－eq\r(3))．21．(本小題滿分12分)已知10條直線：l1：x－y＋c1＝0，c1＝eq\r(2)，l2：x－y＋c2＝0，l3：x－y＋c3＝0，…l10：x－y＋c10＝0，其中c1<c2<…<c10．這10條直線中，每相鄰兩條直線之間的距離依次為2,3,4，…，10．求：(1)c10；(2)x－y＋c10＝0與x軸、y軸圍成的圖形的面積．【解析】(1)原點O到l1的距離為d1＝eq\f(|0－0＋\r(2)|,\r(12＋－12))＝1，原點O到l2的距離為d2＝1＋2，原點O到l3的距離為d3＝1＋2＋3，…原點O到l10的距離為d10＝1＋2＋3＋…＋10＝55．因為d10＝eq\f(c10,\r(2))，所以c10＝55eq\r(2)．(2)由(1)知，直線l10的方程為x－y＋55eq\r(2)＝0，其與x軸交于點M(－55eq\r(2)，0)，與y軸交于點N(0,55eq\r(2))，則△OMN的面積為S△OMN＝eq\f(1,2)×|OM|×|ON|＝eq\f(1,2)×(55eq\r(2))2＝3025．22．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，射線OA：x－y＝0(x≥0)，OB：x＋2y＝0(x≥0)，過點P(1,0)作直線分別交射線OA，OB于A，B兩點．(1)當(dāng)AB中點為P時，求直線AB的方程；(2)當(dāng)AB中點在直線y＝eq\f(1,2)x上時，求直線AB的方程．【解析】(1)因為A，B分別為直線與射線OA：x－y＝0(x≥0)及OB：x＋2y＝0(x≥0)的交點，所以可設(shè)A(a，a)，B(－2b，b)，又點P(1,0)是AB的中點，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2b,2)＝1，,\f(a＋b,2)＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\