專題突破09最值問(wèn)題與范圍問(wèn)題-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練（人教A版2019選擇性）

專題突破——09最值問(wèn)題與范圍問(wèn)題題型一距離類問(wèn)題1．設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)、，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：畫圖可以看到就是兩條曲線間的垂直距離．設(shè)，求導(dǎo)得：．令得；令得，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，故選：．2．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值為A．4 B．8 C．12 D．18【解答】解：實(shí)數(shù)，，，滿足，，，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，的幾何意義就是曲線到曲線上點(diǎn)的距離最小值的平方．考查曲線上和直線平行的切線，，求出上和直線平行的切線方程，令，解得，切點(diǎn)為，該切點(diǎn)到直線的距離就是所要求的兩曲線間的最小距離，故的最小值為．故選：．3．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱函數(shù)上點(diǎn)到直線的距離為設(shè)則由可得，由可得函數(shù)在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)故選：．4．已知直線分別與函數(shù)和交于，兩點(diǎn)，則，之間的最短距離是A． B． C． D．【解答】解：依題意，設(shè)，，，，則，即，由指數(shù)函數(shù)及根式函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，，，設(shè)（a），則，易知函數(shù)（a）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即，之間的最短距離是．故選：．5．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最大值是A．0 B．2 C． D．【解答】解：由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，則原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，求的最大值．繪制函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可得，不妨設(shè)，則，關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞增，故的最大值為．故選：．6．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為A．2 B． C．2 D．【解答】解：，該函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，函?shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是與上點(diǎn)的最小距離的2倍．設(shè)上點(diǎn)，處的切線與直線平行，則，，，點(diǎn)，到的距離為，則的最小值為．故選：．7．設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，則最小值的區(qū)間為A． B． C． D．【解答】解：畫圖可以看到就是兩條曲線間的垂直距離．設(shè)，求導(dǎo)得：．（1），，所以存在，，使得，，，函數(shù)是減函數(shù)，，，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值在與（1）之間．，（1），故選：．8．若實(shí)數(shù)，，，滿足，且，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：實(shí)數(shù)，，，滿足，，．，．，，（a），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．當(dāng)時(shí)，（a），（a），令（a），．當(dāng)時(shí)，（a），函數(shù)（a）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，（a），函數(shù)（a）單調(diào)遞減．函數(shù)（a）最大值，．的最小值為．故選：．9．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最小值是A．2 B． C． D．【解答】解：的定義域?yàn)?，且，可得為奇函?shù)，，，，當(dāng)時(shí)，，遞增，可得，遞增，可得，即在遞增，進(jìn)而在上遞增，作出的圖象；作出的圖象．設(shè)，由，可得，即有，且，可得，則，，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，可得處取得極小值，且為最小值，則的最小值是．故選：．10．已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)是曲線的切線中與直線平行的直線的切點(diǎn)時(shí)，取得最?。柿罱獾茫?，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)到直線的最小值為．故答案為：．題型二分離參數(shù)法11．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍為A．， B． C． D．，【解答】解：函數(shù)，且在上恒成立，函數(shù)，，令，只要求得的最大值即可，，，，，，在上為減函數(shù)，（1），在小于0，在上為減函數(shù)，（1），又，可以等于，．故選：．12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：由題意：在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，易知時(shí)，；時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故即為所求．故答案為：．13．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以由得，，即成立．設(shè)，則，則函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值3，所以．即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．14．已知函數(shù)滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：由，得，得恒成立，設(shè)，則，對(duì)于，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取“”號(hào)，故，的取值范圍是，，故答案為：，．題型三參數(shù)的范圍問(wèn)題15．已知函數(shù)，（Ⅰ）求函數(shù)在，上的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，①，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，函數(shù)在，上的最小值為，②當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，，；（Ⅱ），則題意即為有兩個(gè)不同的實(shí)根，，即有兩個(gè)不同的實(shí)根，，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象的大致形狀（如右圖），由圖象知，當(dāng)時(shí)，，存在，且的值隨著的增大而增大而當(dāng)時(shí)，由題意，兩式相減可得代入上述方程可得，此時(shí)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為；16．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；（2）若，時(shí)，，求的取值范圍．【解答】解：（1）證明：，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，極大值為，又，，在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)；（2）由題設(shè)知，，可得．由（1）知，在上有唯一零點(diǎn)，使得，且在為正，在，為負(fù)，在，遞增，在，遞減，結(jié)合，，可知在，上非負(fù)，當(dāng)，時(shí)，，又當(dāng)，，時(shí)，，，的取值范圍是，．17．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程在，上有且只有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)得定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以．①若，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．②若，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)和，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和．（2）令，顯然有的單調(diào)性與保持一致．由（1）可知：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，此時(shí)，為使在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理，則需滿足（1）或（2），解得：或，②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．因?yàn)椋?），所以當(dāng)時(shí)，總有，因?yàn)椋?，所以在上必有零點(diǎn)．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)或或時(shí)，方程在，上有且只有一個(gè)實(shí)根．18．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，因?yàn)?，可得在上遞增，即在上遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；②當(dāng)時(shí)，可得恒成立，設(shè)，則，可設(shè)，可得，設(shè)，，由，可得恒成立，可得在遞增，在遞增，所以，即恒成立，即在遞增，所以，再令，可得，當(dāng)時(shí)，，在遞增；時(shí)，，在遞減，所以（2），所以，綜上可得的取值范圍是，．19．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，是增函數(shù)，即是增函數(shù)．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．（2）由（1）可知，，令，則，令，則，①當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，因此是增函數(shù)，即是增函數(shù)．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．于是，，進(jìn)而有，是增函數(shù)，即是增函數(shù)，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．于是，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以即在，上是減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而在，上是減函數(shù)，于是，當(dāng)時(shí)，，不合題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．20．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若函數(shù)與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【解答】解：（1）定義域?yàn)椋海?，①若時(shí)，當(dāng)，，遞增；，，遞減，②若時(shí)，則，當(dāng)，，遞增；當(dāng)，，遞減；當(dāng)，，遞增．③若時(shí)，則，時(shí)，遞增．④若時(shí)，，當(dāng)，，遞增；當(dāng)，，遞減，當(dāng)，，遞增，綜上所述：若時(shí)，為遞增區(qū)間，為遞減區(qū)間，若時(shí)，，為遞增區(qū)間，為遞減區(qū)間，若時(shí)，為遞增區(qū)間，無(wú)遞減區(qū)間，若時(shí)，，為遞增區(qū)間，為遞減區(qū)間．（2）由得，即，即，所以，令，問(wèn)題等價(jià)為直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，令，顯然在遞增，（1），即時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，故極大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取，，故符合題意的必要條件是：，又當(dāng)，由，而，這說(shuō)明，在兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于區(qū)間和內(nèi)，所以是充分的，故符合題意的必要條件是：．21．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解答】解：（1），，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，（2）①當(dāng)時(shí)，恒成立，②當(dāng)時(shí)，由（1）可得，，，③當(dāng)時(shí)，由（1）可得：，，，綜上所述的取值范圍為，．22．已知常數(shù)，函數(shù)．（Ⅰ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）．，，