《數(shù)學實驗 第4版》課件 第六章 方差分析

數(shù)學實驗國家“十二五”規(guī)劃教材山東省優(yōu)秀教材一等獎2第六章方差分析實驗6.1

單因素方差分析實驗6.2雙因素方差分析數(shù)學實驗3實驗6.1單因素方差分析數(shù)學實驗一、方差分析概述二、單因素方差分析4實驗6.1單因素方差分析方差分析(AnalysisOfVariance)是分析各類別自變量對數(shù)值因變量影響的一種統(tǒng)計方法.

方差分析是20世紀20年代由英國統(tǒng)計學家費雪（RonaldAylmerFisher）首先提出的，最初主要應用于生物和農(nóng)業(yè)田間試驗，以后推廣到多個領域應用.

它是對多個方差相等的正態(tài)分布總體的均值是否相等進行檢驗，從而得出各個分布的均值是否有顯著性差異.這樣不但可以減少工作量，而且可以增加檢驗的穩(wěn)定性.一、方差分析概述5實驗6.1單因素方差分析例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品，為檢驗不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機抽樣如下（見表6.1）.試分析銷售方式對銷售量是否有顯著影響(α=0.05).

序號銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.56實驗6.1單因素方差分析1．方差分析中的常用術語

因素（Factor）是指影響試驗指標的條件、原因等.在例1中銷售方式即是因素.試驗指標是指試驗中所要考察的指標.在例1中產(chǎn)品的銷售量就是試驗指標.水平（Level）指因素的具體表現(xiàn).如銷售的四種方式就是四個水平.有時水平是人為劃分的，比如質(zhì)量被評定為好、中、差.如果方差分析只針對一個因素進行，稱為單因素方差分析.如果同時針對多個因素進行，稱為多因素方差分析.

如果一個單因素試驗設計中任一因素各水平的數(shù)據(jù)個數(shù)相同，則稱該試驗是為均衡（Balance），否則，就被稱為不均衡.7實驗6.1單因素方差分析2．方差分析任務方差分析中的基本假定：各水平的數(shù)據(jù)來至相互獨立且方差相等的各個正態(tài)分布的簡單樣本；

在實際應用中能夠嚴格滿足這些假定條件的客觀現(xiàn)象是很少的，在社會經(jīng)濟現(xiàn)象中更是如此.但一般應近似地符合上述要求.否則會影響到判斷結(jié)果.方差分析的任務是推斷出對試驗指標影響顯著的因素.其方法是通過檢驗因素下不同水平的均值是否相等，從而推斷出該因素對試驗指標的影響是否顯著.8實驗6.1單因素方差分析二、單因素方差分析1．單因素方差分析的數(shù)學模型設因素A有r個水平A1，A2，…，Ar，在水平Ai下的總體在水平Ai下進行ni次試驗，i=1,2,…,r；假定所有試驗都是相互獨立.水平樣本觀測值平均值9實驗6.1單因素方差分析1．單因素方差分析的數(shù)學模型因此，要檢驗的是

備擇假設

原假設目的：根據(jù)這組樣本觀測值來檢驗因素A對試驗指標的影響是否顯著.如果因素A對試驗結(jié)果的影響不顯著，則所有樣本就可以看作是來自同一個總體水平樣本觀測值平均值10實驗6.1單因素方差分析2．構(gòu)造檢驗F統(tǒng)計量設第i

組樣本均值為即總的樣本均值考察全體樣本對總體樣本均值的偏差的平方和，稱為總偏差平方和記為即11實驗6.1單因素方差分析12實驗6.1單因素方差分析

它反映了在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為組間(偏差)平方和，也稱為因素A的偏差平方和

它表示各水平下樣本值與該水平下的樣本均值之間的差異的總和，它是由隨機誤差引起的，稱為誤差(偏差)平方和，也稱為組內(nèi)(偏差)平方和.13實驗6.1單因素方差分析就各組樣本而言如果H0正確,所有樣本xij來自同一個正態(tài)分布,且相互獨立.14實驗6.1單因素方差分析方差來源平方和自由度

值臨界值顯著性組間誤差總計(3)當時，我們認為影響特別顯著，用記號“**”表示.(2)當時，我們認為影響顯著，用記號

“*”表示；(1)當時，我們認為影響不顯著；如果H0正確,所有樣本xij來自同一個正態(tài)分布,且相互獨立.15實驗6.1單因素方差分析例1某公司采用四種方式推銷其產(chǎn)品，為檢驗不同方式推銷產(chǎn)品的效果，隨機抽樣如下（見表6.1）.試分析銷售方式對銷售量是否有顯著影響(α=0.05).

序號銷售方式12345水平均值方式一778681888383方式二959278968990方式三717668817474方式四808479708279總均值81.516變差來源平方和自由度F值臨界值顯著性列間(因素)列內(nèi)(誤差)6854983167.34**總計118319實驗6.1單因素方差分析由于故應拒絕原假設，不同推銷方式銷量有特別顯著差異，因此銷售方式對銷售量有特別顯著影響.17實驗6.1單因素方差分析3．單因素方差分析的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB統(tǒng)計工具箱中單因素方差分析的命令是:anova是analysisofvariance(方差分析)的縮寫，數(shù)字1表示單因素分析.

x是n*p數(shù)據(jù)矩陣，g是用于標識不同水平的數(shù)據(jù)的向量,均衡試驗可以缺省;輸出結(jié)果中，p是大于統(tǒng)計量F的觀測值的概率，當p<α時，拒絕H0,

否則不能拒絕.[p,t,s]=anova1(x，g)t是方差分析表的文本數(shù)據(jù),s是進行多重比較的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù).拒絕原假設后需要進行多重比較，以判斷各水平之間差異的顯著性.c=multcompare(s)其中輸入變量s是anova1的輸出結(jié)果s;輸出結(jié)果c是兩兩顯著性差異的比較.18實驗6.1單因素方差分析如再解例1的程序：ｘ=[7786818883959278968971766881748084797082]'↙[p,t,s]=anova1(x);↙結(jié)果為：

由于p=0.0026<0.01，故應拒絕原假設，推銷方式對銷售量有特別顯著影響.19實驗6.1單因素方差分析從箱體圖可知水平二的銷售量最大.但是它們之間的這種差異是顯著的嗎?通過多重比較才可以知道.在命令窗口接著輸入:c=multcompare(s)↙結(jié)果如下：c=1.00002.0000-17.0950-7.00003.09500.23471.00003.0000-1.09509.000019.09500.08941.00004.0000-6.09504.000014.09500.67492.00003.00005.905016.000026.09500.00172.00004.00000.905011.000021.09500.03043.00004.0000-15.0950-5.00005.09500.5073矩陣c中前兩列是對比的因素水平號,第三列和第五列是差異的置信區(qū)間,第四列是區(qū)間中值.第六列是相應的兩個水平均值檢驗時所得p值.p<0.05時差異顯著.通過觀察p值可知銷售方式二和三,銷售方式二和四差異是顯著的.20也可以通過點擊交互圖，利用上面的提示來判斷結(jié)果.綜合判斷可知銷售方式二的銷售量顯著地不同于銷售方式三和四的.21實驗6.1單因素方差分析

例2

用四種不同的的工藝生產(chǎn)電燈泡，從各種工藝生產(chǎn)的電燈泡中分別抽取樣品，并測的樣品的使用壽命（單位：h）工藝A1A2A3A4樣本觀測值1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680平均值1708163515401585檢驗這四種不同的工藝生產(chǎn)電燈泡的使用壽命是否有顯著的差異（顯著性水平0.05）.解其程序為x=[1620167017001750180015801600164017201460154016201500155016101680];g=[1111122223334444];anova1(x,g)↙22實驗6.1單因素方差分析輸出結(jié)果為：ans=0.0331

因為0.01<p=0.0331<0.05,所以幾種工藝制成的燈泡壽命有顯著的差異.進一步進行多重比較可知，A1工藝生產(chǎn)的燈泡的壽命最長.多重比較此處省略.23最后，說明一下關于水平數(shù)據(jù)正態(tài)性和方差相等的檢驗方法.

正態(tài)性檢驗方法:h=lillietest(x),當h=1時，檢驗結(jié)果為數(shù)據(jù)x不服從正態(tài)分布;h=0時，說明數(shù)據(jù)x服從正態(tài)分布.正態(tài)分布方差相等的檢驗方法:p=vartestn(X),當p>0.05,說明X各列數(shù)據(jù)的方差相等.應用方差分析前，對數(shù)據(jù)進行檢驗是必要的.文中為了重點說明方差分析的用法，把這些假設條件的檢驗都省略了.24第六章方差分析實驗6.1

單因素方差分析實驗6.2雙因素方差分析數(shù)學實驗25實驗6.2雙因素方差分析數(shù)學實驗一、無交互作用的雙因素方差分析二、有交互作用的雙因素方差分析26實驗6.2雙因素方差分析一、無交互作用的雙因素方差分析

在現(xiàn)實中，常常會遇到兩個因素同時影響結(jié)果的情況.這就需要檢驗究竟一個因素起作用，還是兩個因素都起作用，或者兩個因素的影響都不顯著.雙因素方差分析有兩種類型：

一種是無交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的，不存在相互關系；

另一種是有交互作用的方差分析，它假定A、B兩個因素不是獨立的，而是相互起作用的，兩個因素同時起作用的結(jié)果不是兩個因素分別作用的簡單相加，兩者的結(jié)合會產(chǎn)生一個新的效應.27實驗6.2雙因素方差分析設因素取個水平，因素取個水平在水平組合下的總體若每一因素組合僅做一次試驗，則稱雙因素無重復試驗，記組合下的樣本觀測值為，結(jié)果如下：

因素因素

試驗的任務就是要根據(jù)這些樣本觀測值來檢驗因素A或B對結(jié)果的影響是否顯著.

28實驗6.2雙因素方差分析原假設是：因素A對試驗指標沒有顯著影響；關于因素A的檢驗：備選假設是：因素A對試驗指標有顯著影響；關于因素B的檢驗：原假設是：因素B對試驗指標沒有顯著影響；備選假設是：因素B對試驗指標有顯著影響；29實驗6.2雙因素方差分析設第i行樣本均值為設第j列樣本均值為總的樣本均值考察全體樣本對總體樣本均值的偏差的平方和，總偏差平方和方差分析30實驗6.2雙因素方差分析因素A的偏差平方和因素B的偏差平方和誤差平方和31實驗6.2雙因素方差分析如果原假設成立，則所有個樣本可以看作是來自同一總體進一步可知：32實驗6.2雙因素方差分析方差來源平方和自由度

值臨界值顯著性因素A因素B誤差總計方差分析表33則拒絕原假原假設，反之,則說明因素A對試驗指標沒有顯著影響；

即因素A對試驗指標有顯著影響；則拒絕原假原假設，反之,則說明因素B對試驗指標沒有顯著影響；

即因素B對試驗指標有顯著影響；34實驗6.2雙因素方差分析在MATLAB統(tǒng)計工具箱中雙因素方差分析的命令是：p=anova2

例3

某公司想知道產(chǎn)品銷售量與銷售方式及銷售地點是否有關，隨機抽樣得如表6.10所示資料，以0.05的顯著性水平進行檢驗.地點一地點二地點三地點四地點五方式一7786818883方式二9592789689方式三7176688174方式四8084797082解x=[7786818883959278968971766881748084797082];p=anova2(x)↙注：這里省略了適用條件的檢驗.35實驗6.2雙因素方差分析結(jié)果為p=0.28810.0032結(jié)論：∵銷售地點對銷售量的影響不顯著.銷售方式對銷售量有顯著影響.36實驗6.2雙因素方差分析二、有交互作用的雙因素方差分析設因素有個水平，因素有個水平，共有個組合處理，每一處理組合

(;)有個觀測值(有重復觀測)，則全部試驗共有個觀測值.因為水平下的樣本與總體服從同一分布，所以

試驗的任務就是要根據(jù)這些樣本觀測值來檢驗因素A、B及其交互作用對試驗的結(jié)果的影響是否顯著.

37實驗6.2雙因素方差分析

因素B因素A數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)38實驗6.2雙因素方差分析原假設是：因素A對試驗指標沒有顯著影響；關于因素A的檢驗：備選假設是：因素A對試驗指標有顯著影響；關于因素B的檢驗：原假設是：因素B對試驗指標沒有顯著影響；備選假設是：因素B對試驗指標有顯著影響；關于因素AB交互作用的檢驗：原假設是：因素AB交互作用對試驗指標沒有顯著影響；備選假設是：因素AB交互作用對試驗指標有顯著影響；39實驗6.2雙因素方差分析第行第列的個樣本的均值

第行的所有個的均值為第列的所有個的均值為總的樣本均值考察全體樣本對總的樣本均值的偏差平方和(稱為總偏差平方和)方差分析40實驗6.2雙因素方差分析因素A的偏差平方和因素B的偏差平方和因素A與B的偏差平方和誤差平方和41實驗6.2雙因素方差分析可以證明42實驗6.2雙因素方差分析方差來源平方和自由度F值臨界值顯著性因素A因素B交互作用A×B誤差總計雙因素等重復試驗的方差分析表43則拒絕原假原假設，反之,則說明因素A對試驗指