高等數(shù)學(xué)教程　上冊(cè)　第4版 習(xí)題及答案 P102 第4章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題4.11.用洛必達(dá)法則計(jì)算下列極限：(1)解:(2)解:(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：當(dāng)時(shí)，，所以(13)解：(14)解：

=limx→（15）解：（16）解：

=elimx→+∞xln2.確定常數(shù)，使得．解：因?yàn)橛炙?，從而?．求下列解法是否正確?若有錯(cuò),請(qǐng)給予修改.(1)(2)因不存在,故原極限不存在.解：（1）錯(cuò)。因?yàn)樵摌O限不是未定式。直接用極限運(yùn)算法則得（2）錯(cuò)。應(yīng)用羅比達(dá)法則后得到的極限不存在不能推斷原極限不存在。事實(shí)上，習(xí)題4.2對(duì)函數(shù)在區(qū)間驗(yàn)證羅爾定理的正確性。證明：函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，而由，有對(duì)函數(shù)在區(qū)間驗(yàn)證拉格朗日中值定理的正確性。證明:函數(shù)在區(qū)間[0,1]連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，令有設(shè)，試證，存在，使得（1）（2）證明：（1）令，則，作輔助函數(shù)，滿足羅爾定理的條件，利用羅爾定理，存在，使得，即，故得（2）令，則，作輔助函數(shù)，滿足羅爾定理的條件，利用羅爾定理，存在，使得，即，即，故4.證明：當(dāng)時(shí)，有.證令當(dāng)時(shí)，有故（為常數(shù)）.令，得，即.5.證明下列不等式:(1)，證明：函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，存在使得即(2)證明：函數(shù)在連續(xù)，在可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，存在，使得即習(xí)題4.3單調(diào)性與凹凸性1.下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得到，列表如下：0+0單調(diào)增加極大值單調(diào)減少所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為。(2)解：函數(shù)的定義域，一階導(dǎo)數(shù)所以函數(shù)在上單調(diào)增加。（3）解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得到，列表如下10+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為。（4）解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得到和，列表如下1+00+單調(diào)增加極大值單調(diào)減少極小值單調(diào)增加所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為和。2.證明不等式：（1）證明：令，則因此，函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，故即有：（2）證明：令，則因此，函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，故即有：（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【證】令，則在上可導(dǎo)，且所以，在上單調(diào)遞增，有于是，在上單調(diào)遞增，故有即3.求下列函數(shù)的極值:(1)解：函數(shù)的定義域，令，得駐點(diǎn)為。列表如下：00+單調(diào)減少極小值0單調(diào)增加函數(shù)極小值是。(2)解：函數(shù)的定義域，令得駐點(diǎn)為和。列表如下：01+00+單調(diào)增加極大值-2單調(diào)減少單調(diào)減少極小值2單調(diào)增加函數(shù)的極大值是，極小值是。(3)解：函數(shù)的定義域，令，得駐點(diǎn)為和。列表如下：010+0單調(diào)減少極小值6單調(diào)增加極大值7單調(diào)減少函數(shù)的極大值是，極小值是。(4)解：函數(shù)的定義域，令一階導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)為，（舍去）。列表如下：20+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加函數(shù)的極小值是。(5)解：函數(shù)的定義域[0,+∞),一階導(dǎo)數(shù)，得到駐點(diǎn)。列表如下：10+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加函數(shù)的極小值是。（6）解：函數(shù)的定義域，令得駐點(diǎn)為。列表如下：20+單調(diào)減少極小值單調(diào)增加函數(shù)的極小值是。4.當(dāng)若為何值時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。解：因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以是函數(shù)的駐點(diǎn)。而由可得，再由，即得，將代入得。5.求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值。(1)解：計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以，函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。(2)解:計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值,,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以，函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。(3)解：計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)且函數(shù)在處不可導(dǎo)。計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以，函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。(4)解：計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值,,,比較這些函數(shù)值的大小，得到最大者，最小者。所以函數(shù)在閉區(qū)間的最大值為，最小值為。6．有一個(gè)邊長(zhǎng)為48厘米的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的正方形，然后將四邊折起做成一個(gè)方形的無(wú)蓋容器，問(wèn)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為多大時(shí)，所得容器的容積最大？解：設(shè)截下的小正方形的邊長(zhǎng)為厘米，則方形容器的底邊為，高為，于是容積等于,令，得駐點(diǎn)，由于不在定義域內(nèi)，故舍去。只需考察駐點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極大值（立方厘米）。是函數(shù)在內(nèi)的惟一極大值點(diǎn)，所以是在上的最大值。因此，當(dāng)被截去的小正方形的邊長(zhǎng)等于8（厘米）時(shí)，容器容積最大，最大容積為（立方厘米）。7.某產(chǎn)品總成本（單位：萬(wàn)元）為年產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)其中味待定常數(shù)。已知固定成本為400萬(wàn)元，且當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，總成本，問(wèn)年產(chǎn)量為多少時(shí)，才能使得平均單位成本最低？最低單位成本值為多少？解：由于總成本，從而當(dāng)產(chǎn)量時(shí)的總成本，說(shuō)明常數(shù)項(xiàng)為固定成本，因此將已知條件：時(shí)，代入到總成本函數(shù)中，得到從而可確定常數(shù)所以，總成本函數(shù)表達(dá)式為于是，平均單位成本函數(shù)為計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得到惟一駐點(diǎn)，再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)于是，惟一駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。此時(shí)所以，當(dāng)年產(chǎn)量為200時(shí)，才能使得平均單位成本最低，為每噸4萬(wàn)元。8.某產(chǎn)品總成本（單位：元）為日產(chǎn)量（單位：千克）的函數(shù)產(chǎn)品銷售價(jià)格為每千克元。它與日產(chǎn)量的關(guān)系為問(wèn)日產(chǎn)量為多少時(shí)，才能使得每日產(chǎn)量全部銷售后獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值為多少?解：生產(chǎn)產(chǎn)品，以每千克元價(jià)格銷售，總收益為又已知生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本為于是，每日產(chǎn)量全部銷售后得到的總利潤(rùn)為由于產(chǎn)量；又由于銷售價(jià)格，即，得到，因此，總利潤(rùn)函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>

計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)令一階導(dǎo)數(shù)，得到惟一駐點(diǎn)為惟一極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，此時(shí)所以，當(dāng)日產(chǎn)量為45時(shí)，才能使得每日產(chǎn)量全部銷售后獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為800元。習(xí)題4.41.求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)：(1)解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)，得到根，列表如下00+拐點(diǎn)所以，函數(shù)曲線的上凸區(qū)間為，下凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為。(2)解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)，得到根和。列表如下：10+0拐點(diǎn)拐點(diǎn)所以，函數(shù)曲線的上凸區(qū)間為和，下凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為和。(3)解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)，得到根，列表如下：00+拐點(diǎn)所以函數(shù)曲線的上凸區(qū)間為，下凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為。（4）解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)，得到根，列表如下：1+0拐點(diǎn):所以函數(shù)曲線的下凸區(qū)間為，上凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為。2．求下列曲線的漸近線：(1)解：由，可知是曲線的一條鉛垂?jié)u近線。又可知曲線的一條斜漸近線。(2)解：由，可知是曲線的一條鉛垂?jié)u近線。又，可知是曲線的一條水平漸近線。(3)解：由，且，可知及是曲線的兩條鉛垂?jié)u近線。3.描繪下列函數(shù)的圖形：(1)解：函數(shù)的定義域：；函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性和拐點(diǎn)：令，得和。列表如下:000+曲線曲線間斷曲線0曲線漸近線：由本節(jié)習(xí)題5.(1)知是曲線的一條鉛垂?jié)u近線。曲線的一條斜漸近線。描幾個(gè)點(diǎn)：最后作出函數(shù)的圖形如下：(2)解：定義域：函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性和拐點(diǎn)：令，有，即。當(dāng)時(shí)，，曲線上凸；當(dāng)時(shí)，，曲線下凸；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。漸近線：因?yàn)樗院蜑閮蓷l水平漸近線。曲線稱為邏輯斯蒂曲線，它是實(shí)際應(yīng)用中的一條重要的曲線。習(xí)題4.5柯西中值定理與泰勒公式求函數(shù)在處的泰勒公式。解：，，，，，函數(shù)在處的泰勒公式是寫出下列函數(shù)的麥克勞林公式：(1)解：(2)解：(3)解：3.設(shè)函數(shù)，求的帶皮亞諾型余項(xiàng)的二階泰勒公式。解：，求函數(shù)處的帶皮亞諾型余項(xiàng)的二階泰勒公式，并求。解：，因?yàn)樗岳锰├展角笙铝袠O限：（1）解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：令，則當(dāng)時(shí)，。6.試問(wèn)下列函數(shù)當(dāng)時(shí)是的幾階無(wú)窮小。(1);(2)(3)(4)解：（1），（一階）（2），（三階）（3），（三階）（4），（四階）綜合習(xí)題4:一、填空選擇題：1.設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且，，則函數(shù)曲線在開區(qū)間內(nèi)（C）。（A）上升且是下凸的（B）下降且是下凸的（C）上升且是上凸的（D）下降且是上凸的2.若點(diǎn)為函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，則常數(shù)的值為（A）。（A）（B）（C）（D）3.函數(shù)滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的區(qū)間是（D）。（A）（B）（C）（D）4.如果函數(shù)與對(duì)于區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都有，則在內(nèi)必有（D）（A）（B）（為常數(shù)）（C）（D）（為常數(shù)）5.，則方程有（B）。（A）一個(gè)實(shí)根（B）二個(gè)實(shí)根（C）三個(gè)實(shí)根（D）無(wú)實(shí)根6.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則必定為函數(shù)的（D）。（A）駐點(diǎn)（B）極大值點(diǎn)（C）極小值點(diǎn)（D）以上都不正確二．計(jì)算或證明題1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值:（1）解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)所以，函數(shù)在定義域上單調(diào)增加，無(wú)極值。（2）解：函數(shù)的定義域，計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)令得駐點(diǎn)為且函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。列表如下：0+不存在0+單調(diào)增加極值：?jiǎn)握{(diào)減少單調(diào)增加所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是，單調(diào)增加區(qū)間為和，極大值是。2.計(jì)算下列函數(shù)的極限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：3.證明下列不等式：（1）。證明：令，則所以函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，故既有：（2）證明：令，則所以函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)減少，由，故既有：3.證明：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)增加，，即又由于，所以是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也有故4.設(shè)在上可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn)，使得證明：利用常數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)。設(shè)，則，令則，在上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在，使得，由，即得5.某工廠生產(chǎn)某型號(hào)的車床，年產(chǎn)量為臺(tái)，分若干批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為元