2024-2025學年高中數(shù)學第2講講明不等式的基本方法第4課時反證法作業(yè)含解析新人教A版選修4-5

PAGE其次講第4課時A．基礎(chǔ)鞏固1．(2024年寧德期中)用反證法證明“在△ABC中，若∠C是直角，則∠B肯定是銳角”時，應假設(shè)()A．∠A不是銳角 B．∠B不是銳角C．∠C不是銳角 D．以上都不對【答案】B【解析】反證法證明先否定結(jié)論“∠B肯定是銳角”．2．(2024年天門聯(lián)考)用反證法證明命題：“已知a，b∈N*，若ab不能被7整除，則a與b都不能被7整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應為()A．a(chǎn)，b都能被7整除 B．a(chǎn)，b不都能被7整除C．a(chǎn)，b至少有一個能被7整除 D．a(chǎn)，b至多有一個能被7整除【答案】C【解析】假設(shè)“a與b都不能被7整除”不成立，即假設(shè)“a，b至少有一個能被7整除”．故選C．3．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1的充要條件是()A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)b＜0C．a(chǎn)2＋b2≠0 D．a(chǎn)b≠0【答案】D【解析】eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1?|a＋b|≤|a|＋|b|，且|a|＋|b|≠0，而|a＋b|≤|a|＋|b|恒成立．所以只需|a|＋|b|≠0，即ab≠0.4．假如△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別為△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1肯定是銳角三角形，△A2BA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【解析】因為三角形內(nèi)角的正弦均為正值，故△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均為正，所以△A1B1C1為銳角三角形．由于sinA2＝cosA1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))，sinB2＝cosB1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))，sinC2＝cosC1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))，若△A2B2C2是銳角三角形，則A2＋B2＋C2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－C1))＝eq\f(π,2)，與三角形內(nèi)角和為π弧度沖突；若△A2B2C2是直角三角形，不妨令A2＝eq\f(π,2)，則cosA1＝sinA2＝1，故A1＝0，與△A1B1C1為銳角三角形沖突；故△A2B2C2是鈍角三角形．5．(2024年徐州期末)用反證法證明“a，b∈N*，若ab是偶數(shù)，則a，b中至少有一個是偶數(shù)”時，應假設(shè)____________________．【答案】a，b都不是偶數(shù)【解析】“a，b中至少有一個是偶數(shù)”的否定是“a，b都不是偶數(shù)”.6．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，則a，b，c，d中____________有一個負數(shù)．(填“至少”“至多”或“有且只有”)【答案】至少【解析】假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)，則a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，則(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1×1＝1，這與ac＋bd＞1沖突．所以假設(shè)不成立．代入a＝2，b＝－1，c＝2，d＝－1，滿意上述條件，故解除“有且只有”．7．設(shè)a＞0，b＞0且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不行能同時成立．【證明】(1)a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，∴ab＝1.又a＋b≥2eq\r(ab)＝2，當且僅當a＝b＝1時取等號．故不等式得證．(2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2可能同時成立，則由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1，則由b2＋b＜2及a＞0，得0＜b＜1，此時0＜ab＜1與ab＝1相沖突．故假設(shè)不成立．所以a2＋a＜2與b2＋b＜2不行能同時成立．B．實力提升8.(2024年紹興模擬)已知等差數(shù)列{an}中，首項a1>0，公差d>0.(1)若a1＝1，d＝2，且eq\f(1,a\o\al(2,1))，eq\f(1,a\o\al(2,4))，eq\f(1,a\o\al(2,m))成等比數(shù)列，求整數(shù)m的值；(2)求證：對隨意正整數(shù)n，eq\f(1,a\o\al(2,n))，eq\f(1,a\o\al(2,n＋1))，eq\f(1,a\o\al(2,n＋2))都不成等差數(shù)列.【解析】(1)∵a1＝1，d＝2，∴a4＝7，am＝2m－1.∵eq\f(1,a\o\al(2,1))，eq\f(1,a\o\al(2,4))，eq\f(1,a\o\al(2,m))成等比數(shù)列，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,72)))2＝eq\f(1,(2m－1)2).∴(2m－1)2＝492.∵a1>0，d>0，∴m＝25.(2)證明：假設(shè)存在k∈N*，使eq\f(1,a\o\al(2,k))，eq\f(1,a\o\al(2,k＋1))，eq\f(1,a\o\al(2,k＋2))成等差數(shù)列，即eq\f(2,a\o\al(2,k＋1))＝eq\f(1,a\o\al(2,k))＋eq\f(1,a\o\al(2,k＋2))，則eq\f(2,a\o\al(2,k＋1))＝eq\f(1,(ak＋1－d)2)＋eq\f(1,(ak＋1＋d)2)＝eq\f(2a\o\al(2,k＋1)＋2d2,(a\o\al(