2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第二章-基本初等函數(shù)2.3-冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修1

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)2.3冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修12020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)2.3冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修12021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)2.3冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修12020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)2.3冪函數(shù)學(xué)案新人教A版必修1年級：姓名：2.3冪函數(shù)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過實例，了解冪函數(shù)的概念，能區(qū)別冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)．2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1的圖象，了解它們的變化情況．3.能夠運用冪函數(shù)的簡單性質(zhì)進(jìn)行實數(shù)大小的比較.應(yīng)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運算發(fā)展邏輯推理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第52頁[基礎(chǔ)認(rèn)識]知識點一冪函數(shù)的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P77，思考并完成以下問題)教材P77的5個問題中的函數(shù)有什么共同特征？提示：問題中涉及到的函數(shù)，都是形如y＝xα的函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識梳理一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識點二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P77－78，思考并完成以下問題)(1)在同一坐標(biāo)系中，試作出冪函數(shù)y＝x，y＝xeq\f(1,2)，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的圖象．提示：如圖所示：(2)在第一象限，圖象有何特點？提示：都過點(1,1)；只有y＝x－1隨x增大而減小，但不與x軸相交，其他的都隨x增大而增大．(3)這幾個函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函數(shù)；y＝x2是偶函數(shù)；y＝xeq\f(1,2)是非奇非偶函數(shù)．知識梳理冪函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，減增增x∈(0，＋∞)，減x∈(－∞，0)，減公共點都經(jīng)過點(1,1)[自我檢測]1．下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是()A．y＝2x B．y＝x－1C．y＝eq\r(x) D．y＝x2解析：由冪函數(shù)定義知y＝2x不是冪函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)．答案：A2．函數(shù)y＝x3的圖象關(guān)于__________對稱．解析：函數(shù)y＝x3為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．答案：原點授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第53頁探究一冪函數(shù)的概念[例1](1)下列函數(shù)為冪函數(shù)的是()A．y＝2x3－1 B．y＝eq\f(2,x)C．y＝eq\f(1,x2) D．y＝2x2(2)若函數(shù)y＝(m2－m－1)x－5m－3為冪函數(shù)，則m＝[解析](1)冪函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝xα(α∈R)的要求比較嚴(yán)格，系數(shù)是1，底數(shù)是x，α∈R為常數(shù)，選項A、B、D都是冪函數(shù)類型的函數(shù)，選項C中y＝x－2是冪函數(shù)．(2)令m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時，函數(shù)y＝x－13，當(dāng)m＝－1時，函數(shù)y＝x2，都是冪函數(shù)．[答案](1)C(2)2或－1方法技巧判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.跟蹤探究1.函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式．解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不符合要求．故f(x)＝x3.探究二冪函數(shù)的圖象[例2]如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個值，則相應(yīng)于c1，c2，c3，c4的n依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)， B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)[解析]考慮冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的增減性．注意當(dāng)n＞0時，對于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0時看|n|的大?。鶕?jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象當(dāng)n＞0時，n越大，y＝xn遞增速度越快，故c1的n＝2，c2的n＝eq\f(1,2)，當(dāng)n＜0時，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線c3的n＝－eq\f(1,2)，曲線c4的n＝－2，故選B.[答案]B方法技巧解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高)．(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝xeq\f(1,2)或y＝x3)來判斷．跟蹤探究2.如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1,0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1解析：在(0,1)內(nèi)取同一值x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，如圖所示．根據(jù)點低指數(shù)大，有0＜m＜1，n＜－1.答案：B探究三冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例3](1)比較下列各組中冪值的大?。?0.8,30.7；②0.213,0.233；④，，eq\r(1.1).(2)探討函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性.[解析](1)①∵函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7.②∵函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.③∵函數(shù)是增函數(shù)，且2＞1.8，∴.又∵y＝1.8x是增函數(shù)，且eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，∴.④∵1.2>eq\f(10,9)>1.1，且y＝xeq\f(1,2)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴(2)f(x)＝的定義域為(0，＋∞)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則＝eq\f(1,\r(x2))－eq\f(1,\r(x1))＝eq\f(\r(x1)－\r(x2),\r(x1x2))＝eq\f(x1－x2,\r(x1x2)·\r(x1)＋\r(x2)).因為x2>x1>0，所以x1－x2<0，且eq\r(x1x2)·(eq\r(x1)＋eq\r(x2))>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝x－eq\f(1,2)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．延伸探究1.本例(2)若增加條件“”求實數(shù)a的取值范圍．解析：因為在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)．所以等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))).2．把本例(1)的各組數(shù)據(jù)更換如下，再比較其大小關(guān)系．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)解析：(1)因為冪函數(shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因為冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因為函數(shù)y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x為R上的減函數(shù)，又eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，所以.又因為函數(shù)y2＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，所以，所以.方法技巧比較冪的大小的關(guān)鍵是弄清底數(shù)與指數(shù)是否相同．若底數(shù)相同，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。蝗舻讛?shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁[課后小結(jié)]1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)形同而實異，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置上，指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置上．2．已知冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解析式時，常用待定系數(shù)法．3．冪函數(shù)y＝xα在第一象限的圖象特征．①當(dāng)α＞1時，圖象過點(0,0)，(1,1)，遞增，如y＝x2；②當(dāng)0＜α＜1時，圖象過點(0,0)，(1,1)，遞增，如y＝；③當(dāng)α＜0時，圖象過點(1,1)，遞減，且以兩坐標(biāo)軸為漸近線，如y＝x－1，y＝等．4．比較大?。偃糁笖?shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；②若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；③若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)．[素養(yǎng)培優(yōu)]冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N＋)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足(a＋1)－eq\f(m,3)<(3－2a)－eq\f(m,3)的a的取值范圍．思路探究：(1)先由f(x)在(0，＋∞)的單調(diào)性，求出參數(shù)m的取值范圍，再由f(x)的奇偶性舍根，然后借助冪函數(shù)y＝xα的單調(diào)性解不等式．(2)由f(x1)<f(x2)得x1與x2的大小關(guān)系時，如果f(x)的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么需要對x1，x2的范圍進(jìn)行討論．這時可借助函數(shù)y＝f(x)的圖象，直觀地進(jìn)行分析，得出結(jié)果．解析：∵函數(shù)y＝x3m－9在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴3m－9＜0，解得m＜3.又m∈N＋，∴m＝1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴3m－9為偶數(shù)，故m＝1.∴有.又∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)均是減函數(shù)，但是在整個定義域內(nèi)不單調(diào)．∴分類討論如下：(1)當(dāng)a＋1<0<3－2a，即a<－1時，有；(2)當(dāng)a＋1<0,3－2a<0時，由，得a＋1>3－2a即a滿足