陜西省2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章勾股定理拔高練勾股定理的應(yīng)用課件新版北師大版

第一章勾股定理培優(yōu)拔高練勾股定理的應(yīng)用1.

[2024襄陽襄州區(qū)階段練習(xí)]我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖是由弦圖變化得到的，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形

ABCD

，正方形

EFGH

，正方形

MNKT

的面積分別為

S1，

S2，

S3，若EF

＝6，則

S1＋

S2＋

S3的值是(

D

)DA.32B.38C.48D.1082312.

勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國古算書《周髀

算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖①

是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其

面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖②是由圖①放入長(zhǎng)方形

KLMJ

內(nèi)得到的，∠

BAC

＝90°，

AB

＝6，

BC

＝10，點(diǎn)

D

，E

，

F

，

G

，

H

，

I

都在長(zhǎng)方形

KLMJ

的邊上，則長(zhǎng)方形

KLMJ

的面積為(

B

)BA.420B.440C.430D.410231點(diǎn)撥：如圖，延長(zhǎng)

AB

交

KL

于

P

，延長(zhǎng)

AC

交

LM

于

Q

，由題意得，∠

BAC

＝∠

BPF

＝∠

FBC

＝90°，

BC

＝BF

，所以∠

ABC

＋∠

ACB

＝90°＝∠

PBF

＋∠

ABC

.

所以∠

ACB

＝∠

PBF

.

所以△

ABC

≌△

PFB

(AAS).所以

PB

＝

AC

.

同理可得△

ABC

≌△

QCG

.

所以

CQ

＝

AB

.

231所以

AC

＝8，

CQ

＝

AB

＝

AD

＝6.所以

PB

＝

AC

＝

AI

＝8.所以

IP

＝8＋6＋8＝22，

DQ

＝6＋8＋6＝20.所以長(zhǎng)方形

KLMJ

的面積＝22×20＝440.因?yàn)樵凇?/p>

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝6，

BC

＝10，2313.

【問題探究】(1)如圖①，在銳角三角形

ABC

中，分別以

AB

，

AC

為邊向外作等腰直角三角形

ABE

和等腰直角三

角形

ACD

，使

AE

＝

AB

，

AD

＝

AC

，∠

BAE

＝∠

CAD

＝90°，連接

BD

，

CE

，請(qǐng)判斷

BD

與

CE

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；231解：

BD

＝

CE

.

理由如下：因?yàn)椤?/p>

CAD

＝∠

BAE

＝90°，所以∠

BAD

＝∠

EAC

＝90°＋∠

BAC

.

因?yàn)?/p>

AB

＝

AE

，

AD

＝

AC

，所以△

ABD

≌△

AEC

(SAS).所以

BD

＝

CE

.

231【深入探究】(2)如圖②，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝5，

BC

＝2，∠

ABC

＝∠

ACD

＝∠

ADC

＝45°，求

BD2的

值；甲同學(xué)受到(1)的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△

ABD

全等的三角形，將

BD

進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請(qǐng)你準(zhǔn)確敘述輔助線的作法，再計(jì)算.231解：在△

ABC

的外部作Rt△

BAE

，使∠

BAE

＝90°，

AE

＝

AB

，連接

BE

，

CE

.

因?yàn)椤?/p>

ACD

＝∠

ADC

＝45°，所以∠

CAD

＝90°，

AC

＝

AD

.

所以∠

EAC

＝∠

BAD

＝90°＋∠

BAC

.

所以△

EAC

≌△

BAD

(SAS).所以

EC

＝

BD

.

所以

EC2＝

BD2.231易得∠

ABE

＝45°.因?yàn)椤?/p>

ABC

＝45°，所以∠

CBE

＝45°＋45°＝90°.因?yàn)?/p>

AE

＝

AB

＝5，∠

BAE

＝90°，所以

BE2