數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件 第4章、線性規(guī)劃在營銷、財(cái)務(wù)和運(yùn)營管理領(lǐng)域的應(yīng)用

數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第4章、線性規(guī)劃在營銷、財(cái)務(wù)和運(yùn)營管理領(lǐng)域的應(yīng)用章節(jié)內(nèi)容4-1 市場營銷中的應(yīng)用4-2 財(cái)務(wù)中的應(yīng)用4-3 運(yùn)營管理中的應(yīng)用

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)完成本章后，你將能夠：LO4.1 對營銷領(lǐng)域的線性規(guī)劃問題進(jìn)行建模并求解。LO4.2 對財(cái)務(wù)領(lǐng)域的線性規(guī)劃問題進(jìn)行建模并求解。LO4.3 對生產(chǎn)計(jì)劃和配送領(lǐng)域的線性規(guī)劃問題進(jìn)行建模并求解。LO4.4 對人員配置和排班領(lǐng)域的線性規(guī)劃問題進(jìn)行建模并求解。LO4.5 對混合問題的線性規(guī)劃問題進(jìn)行建模并求解。引言線性規(guī)劃被證明是在制定決策時(shí)最成功的定量化方法之一，兒乎應(yīng)用于各行各業(yè)。這些應(yīng)用包括:生產(chǎn)日程安排、媒體選擇、市場調(diào)研、財(cái)務(wù)規(guī)劃、資本預(yù)算、運(yùn)輸問題、分銷系統(tǒng)設(shè)計(jì)、混合制造、人力資源管理以及混合問題等。本章將介紹線性規(guī)劃在傳統(tǒng)商業(yè)領(lǐng)域的一系列應(yīng)用，包括營銷、財(cái)務(wù)和運(yùn)營管理等領(lǐng)域。

本章重點(diǎn)是建模、計(jì)算機(jī)求解以及計(jì)算結(jié)果的解讀。

我們依據(jù)所研究的問題建立數(shù)學(xué)模型，并給出模型求解結(jié)果。

4-1市場營銷中的應(yīng)用媒體選擇在媒體選擇中應(yīng)用線性規(guī)劃的目的在于幫助營銷經(jīng)理將固定的廣告預(yù)算分配到不同的媒體中去。我們的目的是借用媒體使宣傳范圍、頻率和質(zhì)量最大化。預(yù)算分配方案的約束條件通常源于公司的政策、合同的要求以及媒體的可用數(shù)量等。REL發(fā)展公司在開發(fā)一個(gè)環(huán)私人湖社區(qū)。

湖邊住宅的主要客戶是距社區(qū)100英里以內(nèi)的所有中高等收入家庭。該公司聘請BP&J公司來做廣告宣傳。

湖畔社區(qū)宣傳該公司聘請BP&J公司來做廣告宣傳。考慮可用的廣告媒體和要覆蓋的市場，BP&J建議將第一個(gè)月的廣告限于5種媒體。

BP&J已經(jīng)搜集了單位媒體的潛在受眾人數(shù)和成本、每個(gè)媒體可提供的最多的廣告數(shù)量，以及5種媒體的單位影響力。媒體的單位影響力是通過單位宣傳質(zhì)量來衡量的所謂單位宣傳質(zhì)量即各個(gè)媒體一次廣告帶來的相對價(jià)值，是通過考慮眾多因素，如觀眾的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(年齡、收入和受教育程度)、呈現(xiàn)的形象和廣告的品質(zhì)。4-1廣告媒體選擇結(jié)合BP&J在廣告行業(yè)中的經(jīng)驗(yàn)獲得。下表列出了搜集的信息：4-1媒體選擇:問題描述BP&J被委托選擇一個(gè)廣告媒體。更具體地說，BP&J需要根據(jù)以下要求推薦每種廣告媒體的使用次數(shù)：每種廣告媒體的選用次數(shù)不得超過其每月的可用次數(shù)。REL發(fā)展公司提供給BP&J第一個(gè)月的廣告預(yù)算是30000美元。REL發(fā)展公司對如何分配這些資金有如下要求:

至少要用10次電視廣告電視廣告的費(fèi)用不得超過18000美元

潛在受眾人數(shù)至少要達(dá)到50000人4-1媒體選擇:建立模型決策變量要做出的決策是:每個(gè)媒體的使用次數(shù)是多少。我們首先定義如下決策變量：DTV=日間電視使用次數(shù)ETV=晚間電視使用次數(shù)W=網(wǎng)站使用次數(shù)SN=周日報(bào)紙雜志使用次數(shù)R=電臺使用次數(shù)目標(biāo)函數(shù)

4-1媒體選擇:完整的線性規(guī)劃（LP）模型根據(jù)已知信息，可知模型的約束條件為:Max65DTV+90ETV+40W+60SN+20R

s.t.DTV≤15可用媒體ETV≤10可用媒體W≤25可用媒體SN≤4可用媒體R≤30可用媒體1500DTV+3000ETV+

400W+1000SN+100R≤30,000預(yù)算DTV+

ETV≥10電視約束1500DTV+3000ETV≤18,000電視約束1000DTV+2000ETV+1500W+2500SN+300R≥50,000受眾人數(shù)DTV,ETV,W,SN,R

≥0非負(fù)性4-1媒體選擇:問題求解5個(gè)變量，9個(gè)約束的線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解已給出。4-1媒介選擇：結(jié)果解讀最優(yōu)解決方案要求社區(qū)的廣告在日間電視、網(wǎng)站、周日報(bào)紙、雜志和電臺上投放。此時(shí)達(dá)到的最優(yōu)影響力是2370，而受眾總數(shù)為61500。遞減成本:若要晚間電視出現(xiàn)在最優(yōu)解決方案中，其單位影響力至少要增加65。對偶值:預(yù)算限制(約束條件6)的對偶值為0.06，即預(yù)算費(fèi)每增加1美元，廣告總影響力會(huì)增加0.06。約束條件7的對偶值為-25.000，這表明可用電視廣告數(shù)量每增加1個(gè)單位，投放的廣告影響力會(huì)減少25。4-1市場調(diào)查應(yīng)用市場調(diào)查開展市場營銷調(diào)查以了解消費(fèi)者的特點(diǎn)、態(tài)度以及偏好，專門為客戶公司提供此類信息調(diào)查服務(wù)的公司被稱為市場調(diào)查公司。這類公司提供的典型服務(wù)包括:調(diào)查設(shè)計(jì)，開展市場調(diào)查，分析收集數(shù)據(jù)，提供市場調(diào)查報(bào)告，為顧客公司的營銷提供對策建議。

在調(diào)查設(shè)計(jì)階段，應(yīng)對調(diào)查對象的數(shù)量和類型設(shè)定目標(biāo)或限額。市場調(diào)查公司的目標(biāo)是議最小的成本滿足客戶需求。MISMarketSurvey,Inc.(MSI)專門評定消費(fèi)者對新產(chǎn)品、服務(wù)和廣告活動(dòng)的市場反應(yīng)。一個(gè)客戶公司要求MSI幫助了解消費(fèi)者對一種近期推出的家居產(chǎn)品的市場反應(yīng)。

在與客戶會(huì)面的過程中，MSI同意開展人戶調(diào)查，調(diào)查的家庭包括有兒童家庭和無兒童家庭。同時(shí)MSI還同意采用日間和夜間兩種調(diào)查方式。

4-1市場調(diào)查:問題描述具體地說，客戶的合同要求MSI依照以下限制條款進(jìn)行1000次訪問：至少訪間400個(gè)有兒童家庭。至少訪間400個(gè)無兒童家庭。夜間訪問的家庭數(shù)量不得少于日間訪問的數(shù)量。至少40%的有兒童家庭必須在夜間訪問。至少60%的無兒童家庭必須在夜間訪問。因?yàn)樵L問有兒童家庭需要額外的時(shí)間，而且夜間訪問員的報(bào)酬要比日間訪問員的報(bào)酬高，所以調(diào)查成本因訪問類型的不同而不同。

基于以往的調(diào)查經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)的單次訪問費(fèi)用如下表所示：

4-1市場調(diào)查：建立模型決策變量在為MSI問題建立線性規(guī)劃模型時(shí)，我們首先定義如下決策變量:DC=日間訪問有兒童家庭的數(shù)量EC=夜間訪問有兒童家庭的數(shù)量DNC=日間訪問無兒童家庭的數(shù)量ENC=夜間訪問無兒童家庭的數(shù)量目標(biāo)函數(shù)和約束條件

4-1市場調(diào)查:完整的線性規(guī)劃（LP）模型加上非負(fù)約束后，這個(gè)有4個(gè)變量、6個(gè)約束條件的線性規(guī)劃模型可以寫為:Min20DC+25EC+18DNC+20ENC

s.t.DC+EC+DNC+

ENC=1000訪問總次數(shù)DC+EC≥400有兒童家庭DNC+

ENC≥400無兒童家庭?DC+EC?

DNC+

ENC≥0夜間訪問?0.4DC+0.6EC≥0夜間訪問有兒童家庭?0.6DNC+0.4ENC≥0夜間訪問無兒童家庭DC,EC,DNC,ENC≥0非負(fù)約束4-1市場調(diào)查:問題求解下圖是此模型的求解結(jié)果：4-1市場調(diào)查:結(jié)果解讀計(jì)算結(jié)果表明按以下的訪問計(jì)劃將會(huì)使總成本達(dá)到最小，即20320美元。因此，日間將安排480次訪問，夜間將安排520次訪問訪問有兒童家庭的家庭數(shù)量為400個(gè)，訪問無兒童家庭的家庭數(shù)量為600個(gè)。對偶值:靈敏度分析表明約束條件1的對偶值為19.2。換句話說，如果訪問總數(shù)量的約束條件從1000增加到1001.約束條件5和6的對偶值顯示，對于有兒童和無兒童的家庭，每增加一次晚間訪問的增量成本分別為5美元和2美元。剩余變量:約束條件3的剩余變量的值為200，這表明訪問的無兒童家庭的家庭數(shù)量比要求的多200個(gè)。類似地，約束條件6的對偶值2表明，如果必須在夜間比要求的最小數(shù)量再多訪問一個(gè)家庭(無兒童)，那么總訪問成本會(huì)增加2美元。約束條件5和6中剩余變量的零值表明成本更高的夜間訪問的家庭數(shù)量剛好達(dá)到最低限要求。4-2財(cái)務(wù)中的應(yīng)用投資組合在財(cái)務(wù)管理中、線性規(guī)劃常被用于資本預(yù)算、資產(chǎn)分配、有價(jià)證券選擇、財(cái)務(wù)規(guī)劃和許多與此相關(guān)的問題。投資組合選擇問題所涉及的情況是財(cái)務(wù)經(jīng)理從多種投資(如股票和債券)中選擇一些具體的投資方案。投資組合選擇問題的目標(biāo)函數(shù)通常是使預(yù)期收益最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化。約束條件通常表現(xiàn)為對允許的投資類型、國家法律、公司政策、最大可接受風(fēng)險(xiǎn)等方面的限制。威爾特(Welte)共同基金公司假設(shè)現(xiàn)在有一家坐落于紐約的威爾特(Welte)共同基金公司。公司最近通過發(fā)行工業(yè)債券而獲得了100000美元的現(xiàn)金。公司首席金融分析師建議新的投資全用于石油、鋼鐵行業(yè)或政府債券上。

分析師們已經(jīng)確定了5個(gè)投資機(jī)會(huì)，并預(yù)計(jì)了其年收益率。4-2投資組合:問題描述問題要求威爾特公司的管理層提出以下投資要求:對任何行業(yè)(石油或鋼鐵)的投資額不得多于50000美元對政府債券的投資額至少是對鋼鐵行業(yè)投資額的25%對太平洋石油這樣高收益但高風(fēng)險(xiǎn)的投資項(xiàng)目，投資額不得多于對整個(gè)石油行業(yè)投資的60%怎樣設(shè)計(jì)投資方案(投資項(xiàng)目及金額)呢?決策變量和目標(biāo)函數(shù)

4-2投資組合:完整的線性規(guī)劃（LP）模型威爾特共同基金公司投資問題的完整線性規(guī)劃模型如下：Max

0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G

s.t.A+P+M+H+G=100,000可用資金A+P≤50,000石油行業(yè)最大投資額M+H≤50,000鋼鐵行業(yè)最大投資額?

0.25M?0.25H+G≥0政府債券最小投資額?0.60A+0.40P≤0太平洋石油A,P,M,H,G≥0非負(fù)約束4-2投資組合:問題求解這個(gè)線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解決方案如下所示：4-2投資組合:結(jié)果解讀最優(yōu)解決方案顯示投資結(jié)構(gòu)應(yīng)包含除中西部鋼鐵以外的所有投資機(jī)會(huì)。此投資組合的預(yù)期年收益為8000美元，即8%的年收益率。遞減成本:M的遞減成本下降0.011告訴我們，目標(biāo)函數(shù)的中西部鋼鐵的系數(shù)應(yīng)先增加0.011，考慮中西部鋼鐵的投資才是明智的。這樣的話，中西部鋼鐵的年收益率應(yīng)該是0.064+0.011=0.075。這使得這種投資與現(xiàn)在所用的Huber鋼鐵投資選擇一樣令人滿意。松弛變量:此約束條件的松弛變量表明，目前鋼鐵行業(yè)的投資額是10000美元，它低于投資限額的50000美元。對偶值:約束條件1的對偶值0.069表明，為投資組合每多提供1美元，目標(biāo)函數(shù)值將增加0.069美元。如果能以低于6.9%的成本獲得更多資金，管理者應(yīng)考慮取得這些資金。4-2財(cái)務(wù)計(jì)劃應(yīng)用Hewlitt公司的公司義務(wù)Hewlitt公司建立了一項(xiàng)提前退休項(xiàng)目，作為公司重組的一部分。在自愿簽約期臨近時(shí)，68位雇員辦理了提前退休手續(xù)。

因?yàn)檫@些人的提前退休，在接下來的8年里，公司將承擔(dān)以下責(zé)任，每年年初支付的現(xiàn)金需求（千美元）如下所示：政府債券的投資公司的財(cái)務(wù)人員必須決定現(xiàn)在應(yīng)準(zhǔn)備多少錢，以便應(yīng)付為期8年的支出計(jì)劃。該退休項(xiàng)目的財(cái)務(wù)計(jì)劃包括政府債券的投資及儲(chǔ)蓄。對于政府債券的投資限于如下表所示的3種選擇。4-2財(cái)務(wù)計(jì)劃:問題描述決策變量政府債券的面值是1000美元，這意味著盡管價(jià)格不同，但到期時(shí)，都要支付1000美元。表中所示的回報(bào)率是基于面值的。在制訂這個(gè)計(jì)劃時(shí)，財(cái)務(wù)人員假定沒用于投資債券的資金都用于儲(chǔ)蓄，且每年都可以獲得4%的利息。我們定義如下決策變量：F:為8年期退休計(jì)劃準(zhǔn)備的總金額B1:在第1年年初買入的債券1的數(shù)量B2:在第1年年初買入的債券2的數(shù)量B3:在第1年年初買入的債券3的數(shù)量Si:在第i年年初投資于儲(chǔ)蓄的金額（i=1,2,…,8）

目標(biāo)函數(shù)和約束條件

4-1財(cái)務(wù)計(jì)劃:完整的線性規(guī)劃（LP）模型Hewlitt公司財(cái)務(wù)計(jì)劃問題的完整線性規(guī)劃模型如下所示：MaxF

s.t.F?1.15B1?

1B2?1.35B3?S1

=430第1年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S1?S2=210第2年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S2?S3=222第3年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S3?S4=231第4年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S4?S5=240第5年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S5?S6=195第6年0.055B2+

0.1175B3+1.04S6?S7=225第7年0.1175B3+1.04S7?S8=255第8年F,B1,B2,B3,S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8≥04-2財(cái)務(wù)計(jì)劃:問題求解這個(gè)包含12個(gè)變量、8個(gè)約束條件的線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解如下所示：4-2財(cái)務(wù)計(jì)劃:結(jié)果解讀

總的滿足8年期退休計(jì)劃所需要的最小資金總額為1728.79385美元。分別用1150美元、1000美元和1350美元作為每種債券的現(xiàn)價(jià)，我們可以將這三種債券的最初投資額列入右表。該方案表明了636148美元（見S1）將在第1年年初用于儲(chǔ)蓄，公司在第1年年初可用1728794美元選擇具體的債券和儲(chǔ)蓄投資，而且可以用余下的錢來滿足退休計(jì)劃第1年的現(xiàn)金需求430000美元。由債券所得的利息加上到期債券的面值就能滿足從第5年到第8年的現(xiàn)金需求。對偶值在這一應(yīng)用中得到了有趣的闡釋。每個(gè)式子的右端值對應(yīng)著該年應(yīng)支付的金額。注意，對偶值為正值，表明每一年需要支付的費(fèi)用每增加1000美元，則會(huì)使得總費(fèi)用以對偶值的1000倍增加。同時(shí)注意，對偶值逐年減少表示在早期幾年內(nèi)的現(xiàn)金需求對F的最優(yōu)值影響較大。4-3運(yùn)營管理中的應(yīng)用自制/外購決策在許多生產(chǎn)和運(yùn)營管理中，都用到了線性規(guī)劃的方法，包括生產(chǎn)計(jì)劃、人員分配、庫存控制和生產(chǎn)能力計(jì)劃等。根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃的最優(yōu)求解方案，經(jīng)理人員能夠?yàn)橐环N或多種產(chǎn)品制定一個(gè)跨多周期（周或月）的高效率、低成本的生產(chǎn)計(jì)劃。傳統(tǒng)的約束還有：滿足產(chǎn)能、勞動(dòng)力和庫存空間等條件。Janders公司準(zhǔn)備推出兩款新的泵，其中一款用于醫(yī)療輸血市場，名為“輸血泵”；另一款用于工程市場，名為“功能泵”。Janders公司每種泵都由三種零部件構(gòu)成：一個(gè)基座、一個(gè)泵芯和一個(gè)泵頂。兩種泵使用相同的基座，但泵芯和泵頂不同。所有的零件都可以由公司自己生產(chǎn)或從外部購買。4-3運(yùn)營管理:問題描述問題要求Janders公司的預(yù)測師們指出市場將需要3000臺功能泵和2000臺輸血泵。但是，由于生產(chǎn)能力有限。這家公司僅能夠安排200個(gè)小時(shí)的日常生產(chǎn)時(shí)間和50個(gè)小時(shí)的加班時(shí)間來生產(chǎn)泵。加班時(shí)間要每小時(shí)支付給員工9美元的津貼，即額外的成本。Janders公司的問題是決定每種零部件多少由自己生產(chǎn)，多少從外部購買。決策變量

4-3運(yùn)營管理:完整的線性規(guī)劃（LP）模型對于Janders公司的自制/外購問題，加上非負(fù)約束之后的完整模型是：Min0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.75TTM+0.78TTP+9OTs.t.BM+

BP=5,000基座FCM+

FCP=3,000功能泵泵芯TCM+

TCP=2,000輸血泵泵芯FTM+

FTP=3,000功能泵泵頂TTM+TTP=2,000輸血泵泵頂OT≤50加班時(shí)間BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM?60OT≤12,000生產(chǎn)能力BM,BP,FCM,FCP,TCM,TCP,FTM,FTP,TTM,TTP,OT≥0非負(fù)約束4-3運(yùn)營管理:問題求解這個(gè)包含11個(gè)變量、7個(gè)約束條件的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解如下圖所示：4-3運(yùn)營管理：結(jié)果解讀得到的最優(yōu)解說明了該公司所需要的全部5000個(gè)基座、667個(gè)功能泵泵芯和2000個(gè)輸血泵泵芯應(yīng)由其自行生產(chǎn)。而余下的2333個(gè)功能泵泵芯、所有的功能泵泵頂和所有的輸血泵泵頂應(yīng)從外部購買。加班生產(chǎn)是不必要的，與這個(gè)最佳自制或外購相應(yīng)的最小總成本是24443.33美元。遞減成本一列顯示了如果要使用加班時(shí)間，加班津貼必須每小時(shí)減少4美元。也就是說，如果加班津貼是每小時(shí)9-4=5（美元）或更少，Janders公司會(huì)考慮用加班時(shí)間生產(chǎn)的零部件代替采購的零部件。約束條件7關(guān)于生產(chǎn)能力的對偶值是-0.083，這表明每增加1小時(shí)的生產(chǎn)能力所帶來的價(jià)值是：0.083×60=5（美元）。約束條件7的右端端范圍表示這個(gè)結(jié)論在日常生產(chǎn)時(shí)間不超過19000分鐘或316.7小時(shí)的情況下是不變的。目標(biāo)函數(shù)BP的系數(shù)的變化范圍是從0.583（=0.600-0.017）到無窮大。如果基座的采購價(jià)格為每個(gè)0.583美元或更多，那么基座的購買數(shù)量仍然為零。但是當(dāng)采購價(jià)格低于0.583美元時(shí)，Janders公司將開始購買而非生產(chǎn)基座配件。類似地，通過靈敏度分析也能得到其他零部件購買的價(jià)格范圍。4-3混合問題應(yīng)用石油工業(yè)在實(shí)際應(yīng)用中，管理層必須決定每種資源的購買量，以在成本最低的情況下滿足產(chǎn)品的規(guī)格以及市場的需求。混合問題經(jīng)常發(fā)生在石油行業(yè)、化工行業(yè)以及食品行業(yè)。在這一節(jié)中，我們將介紹線性規(guī)劃在石油行業(yè)應(yīng)用的一個(gè)混合問題。GrandStrand石油公司想知道在生產(chǎn)這兩種汽油產(chǎn)品的過程中，如何混合這3種石油成分才能獲利最大。GrandStrand石油公司現(xiàn)存的資料顯示，一般規(guī)格汽油的售價(jià)是2.90美元/加侖，而特殊規(guī)格汽油是3.00美元/加侖。

在當(dāng)前的生產(chǎn)計(jì)劃期內(nèi)，GrandStrand