數(shù)據(jù)、模型與決策（原書(shū)第16版）課件全套 第1-16章 導(dǎo)論-馬爾可夫過(guò)程

數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第1章、導(dǎo)論章節(jié)內(nèi)容1-1 解決問(wèn)題與制定決策1-2 定量分析與決策1-3 定量分析1-4 成本、收益與利潤(rùn)模型1-5 管理科學(xué)技術(shù)

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)完成本章后，你將能夠:LO1.1

定義“管理科學(xué)”和“運(yùn)籌學(xué)”這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)LO1.2

列出決策過(guò)程中的步驟，并解釋定性和定量方法在管理決策中的作用LO1.3

解釋建模過(guò)程，以及建模對(duì)分析真實(shí)情況的好處LO1.4

建立成本、收益和利潤(rùn)的基本數(shù)學(xué)模型，計(jì)算盈虧平衡點(diǎn)引言涉及決策定量方法的知識(shí)體系有若干不同的稱謂：

管理科學(xué)運(yùn)籌學(xué)決策科學(xué)一般認(rèn)為發(fā)端于第二次世界大戰(zhàn)期間，并且在商業(yè)和工業(yè)中蓬勃發(fā)展，有兩方面的發(fā)展推進(jìn)了管理科學(xué)的應(yīng)用:持續(xù)的研究促進(jìn)了方法論的大發(fā)展(例如：解決線性規(guī)劃問(wèn)題的單純形法)數(shù)字計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力有了飛躍1-1解決問(wèn)題解決問(wèn)題

是一個(gè)識(shí)別實(shí)際問(wèn)題與期望狀態(tài)之間的差異，然后采取行動(dòng)解決這種差異的過(guò)程。解決問(wèn)題的過(guò)程包含如下七個(gè)步驟:識(shí)別與定義問(wèn)題.識(shí)別備選方案.確定一個(gè)或一組用于評(píng)估備選方案的標(biāo)準(zhǔn)，即確定標(biāo)準(zhǔn).評(píng)估備選方案.選擇一個(gè)方案.實(shí)施選定的方案.對(duì)實(shí)施結(jié)果進(jìn)行評(píng)估.1-1制定決策制定決策

包含了解決問(wèn)題的前五步。只根據(jù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)選擇最優(yōu)方案的問(wèn)題通常被稱為單準(zhǔn)則決策問(wèn)題。多于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的決策問(wèn)題通常被稱為多準(zhǔn)則決策問(wèn)題。決策就是選擇最佳備選方案。1-2定量分析與決策決策過(guò)程的分類該流程圖在“將問(wèn)題結(jié)構(gòu)化”欄下結(jié)合了決策過(guò)程的前三步，而后兩步則歸入“分析問(wèn)題”欄下。1-2決策過(guò)程的分析階段定性分析和定量分析所扮演的角色定性分析:基于管理者的判斷和經(jīng)驗(yàn)而進(jìn)行的包含管理者對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)更像一門(mén)藝術(shù)而非科學(xué)定量分析:基于問(wèn)題相關(guān)的量化資料和數(shù)據(jù)使用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述問(wèn)題的目標(biāo)、約束條件和其他關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式可使用一種或多種定量方法做決策建議1-3定量分析決策制定中采用定量分析方法的原因問(wèn)題很復(fù)雜問(wèn)題非常重要問(wèn)題是新的問(wèn)題是重復(fù)的定量分析過(guò)程的四個(gè)步驟建模數(shù)據(jù)準(zhǔn)備模型求解報(bào)告編寫(xiě)1-3第1步：建模模型是對(duì)實(shí)際對(duì)象或情境的一個(gè)反應(yīng)。三種主要的模型有:形象模型

–實(shí)際對(duì)象的物理仿制模擬模型-也是物理模型，但在外形上同被建模的對(duì)象并不一樣數(shù)學(xué)模型

–用系統(tǒng)化的符號(hào)和數(shù)學(xué)表達(dá)式或關(guān)系式來(lái)反映實(shí)際問(wèn)題。與比用實(shí)物或真實(shí)場(chǎng)景做試驗(yàn)相比，用模型做試驗(yàn)(1)需要的時(shí)間更少(2)成本更低(3)風(fēng)險(xiǎn)更小模型越接近真實(shí)情況，結(jié)論和預(yù)測(cè)就越準(zhǔn)確。1-3示例：簡(jiǎn)單的生產(chǎn)問(wèn)題一個(gè)數(shù)學(xué)模型由一個(gè)目標(biāo)函數(shù)組成，該函數(shù)由一個(gè)可控輸入（稱為決策變量）描述，并受到一組限制（稱為約束）的影響，這些限制是由環(huán)境因素（稱為非可控輸入）施加的。

作為一個(gè)例子，考慮以下簡(jiǎn)單的生產(chǎn)問(wèn)題：我們想知道每周應(yīng)該生產(chǎn)和銷售多少單位的產(chǎn)品，以最大化每周的總利潤(rùn)，每單位的利潤(rùn)為10美元。我們知道生產(chǎn)每個(gè)單位需要5小時(shí)，每周只有40小時(shí)可用。1-3數(shù)學(xué)模型決策變量：x是正在生產(chǎn)的單位數(shù)。目標(biāo)函數(shù)：每單位的利潤(rùn)為10美元，目標(biāo)函數(shù)是10x。非可控輸入：每單位的利潤(rùn)（10美元）、每單位的生產(chǎn)時(shí)間（5小時(shí)）和生產(chǎn)能力（40小時(shí)）是環(huán)境因素。約束條件：因?yàn)樯a(chǎn)每個(gè)單位需要5小時(shí)，每周有40小時(shí)可用，所以生產(chǎn)能力約束是5x≤40。我們簡(jiǎn)單生產(chǎn)問(wèn)題的完整數(shù)學(xué)模型是：

最大化：10x（目標(biāo)函數(shù)）

約束條件：5x≤40（生產(chǎn)約束） x≥0（生產(chǎn)的單位數(shù)不能為負(fù)數(shù)）

1-3數(shù)學(xué)模型的類型有兩種主要類型的數(shù)學(xué)模型：確定性模型-當(dāng)模型的所有非可控輸入都是已知的，并且不能變化。隨機(jī)（概率）模型–

含有一個(gè)或者多個(gè)不確定的非可控參數(shù)。隨機(jī)模型通常更難分析。在我們的簡(jiǎn)單生產(chǎn)示例中，如果因原材料質(zhì)量不同，導(dǎo)致單位產(chǎn)品生產(chǎn)時(shí)間在3-6小時(shí)之間變化，那么這個(gè)模型就變成了隨機(jī)模型。1-3第2步：數(shù)據(jù)準(zhǔn)備在對(duì)模型進(jìn)行分析，并對(duì)問(wèn)題提供一個(gè)決策或方案的建議之前，所有的非可控輸入必須確定下來(lái)。數(shù)據(jù)準(zhǔn)備不是一個(gè)微不足道的步驟，因?yàn)樾枰獣r(shí)間，并且可能會(huì)有數(shù)據(jù)收集錯(cuò)誤。比如一個(gè)有50個(gè)決策變量、25個(gè)約束條件的小型線性規(guī)劃模型，就需要1300多個(gè)數(shù)據(jù)元素。通常，需要建立一個(gè)比較大的數(shù)據(jù)庫(kù)來(lái)支持?jǐn)?shù)學(xué)模型?？赡苄枰畔⑾到y(tǒng)分析員參與到數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段中來(lái)。1-3第3步：模型求解生產(chǎn)模型的試錯(cuò)求解在此階段，分析人員將確定決策變量的具體值，以獲得模型的最優(yōu)輸出結(jié)果能夠使模型達(dá)到最佳狀態(tài)的角色變量的具體值通常被稱為模型的最優(yōu)解。如果某個(gè)方案不能滿足其中一個(gè)或多個(gè)約束條件，那么無(wú)論目標(biāo)函數(shù)的值是多少，這個(gè)方案都將被拒絕，因?yàn)樗遣豢尚薪?。如果所有的約束條件都滿足了，那么它便是可行解，可稱為最優(yōu)解或決策建議的候選方案。x=8是最優(yōu)解。1-3生產(chǎn)模型流程圖1-3求解后模型測(cè)試和驗(yàn)證通常，模型的好壞或準(zhǔn)確性直到生成解決方案后才能評(píng)估?？梢杂靡恍┮延忻鞔_的或至少有期望答案的小規(guī)模問(wèn)題來(lái)對(duì)模型進(jìn)行測(cè)試和驗(yàn)證。如果該模型能夠得到期望的答案，而且其他的輸出信息也沒(méi)什么錯(cuò)誤的話，下一步就可以將模型應(yīng)用到大規(guī)模實(shí)際問(wèn)題了。但是如果在模型測(cè)試和驗(yàn)證時(shí)發(fā)現(xiàn)存在一些潛在的問(wèn)題，或模型本身有缺陷。就需要采取一些糾正措施：收集更加準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行修改報(bào)告生成基于模型結(jié)果，應(yīng)編制一份管理報(bào)告。該報(bào)告應(yīng)易于決策者理解。報(bào)告應(yīng)包含以下內(nèi)容：推薦決策關(guān)于結(jié)果的其他重要信息（例如模型解對(duì)假設(shè)和數(shù)據(jù)敏感性的分析，以及敏感性分析結(jié)果的解釋）1-4成本、收益與利潤(rùn)模型在商業(yè)和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中，一些最基本的定量模型涉及適當(dāng)?shù)臎Q策變量與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。典型的決策變量包括生產(chǎn)量或銷售量而常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)則是成本、收入或利潤(rùn)通過(guò)使用這些模型，管理者可以確定與既定生產(chǎn)數(shù)量或預(yù)測(cè)銷售量相關(guān)的預(yù)計(jì)成本、收入以及利潤(rùn)。1-4成本-數(shù)量模型示例:Nowlin塑料制品公司Viper，一款薄且非常耐用的塑料保護(hù)殼，顏色有灰、黑兩種，是NowlinPlastics最暢銷的手機(jī)殼。多種產(chǎn)品在同一生產(chǎn)線上生產(chǎn)，每次為新產(chǎn)品更換時(shí)都會(huì)產(chǎn)生3000美元的啟動(dòng)成本。這種啟動(dòng)成本是固定成本，不隨實(shí)際產(chǎn)量的變化而變化。

此外，假設(shè)每件產(chǎn)品的勞動(dòng)力和原材料的可變成本是2美元。數(shù)學(xué)模型

1-4收益與利潤(rùn)-成本模型收益-數(shù)量模型

利潤(rùn)-數(shù)量模型

1-4盈虧平衡分析

1-5(最常用的)管理科學(xué)技術(shù)線性規(guī)劃：是解決線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題。整數(shù)線性規(guī)劃：如果一個(gè)線性規(guī)劃模型同時(shí)要求一些或全部決策變量取值為整數(shù)，則此類模型被稱為整數(shù)線性規(guī)劃模型。配送網(wǎng)絡(luò)模型：這種模型可以幫助我們很快地解決諸如供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)、信息系統(tǒng)設(shè)計(jì)以及項(xiàng)目計(jì)劃的問(wèn)題。仿真：是一項(xiàng)用來(lái)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)作進(jìn)行模擬的技術(shù)。該技術(shù)使用計(jì)算機(jī)程序模擬運(yùn)作過(guò)程并進(jìn)行模擬運(yùn)算。1-5(其他)管理科學(xué)技術(shù)非線性規(guī)劃：是在非線性約束下，最大化或最小化非線性函類的目標(biāo)函數(shù)。庫(kù)存模型：管理者運(yùn)用庫(kù)存模型來(lái)解決庫(kù)存中的兩難問(wèn)題等候線或排隊(duì)模型：排隊(duì)模型可用于幫助管理者理解排隊(duì)系統(tǒng),并做出更優(yōu)的決策。預(yù)測(cè)：預(yù)測(cè)法是一項(xiàng)用來(lái)預(yù)測(cè)商業(yè)未來(lái)運(yùn)作情況的技術(shù)。目標(biāo)規(guī)劃：這種方法用來(lái)解決多準(zhǔn)則決策的問(wèn)題，通常使用線性規(guī)劃的框架。項(xiàng)目計(jì)劃：可以幫助項(xiàng)目管理者更好地掌握項(xiàng)目進(jìn)程。決策分析：當(dāng)遇到有多種備選方案以及不確定或充滿風(fēng)險(xiǎn)的情況時(shí)，可以用這種方法來(lái)選擇出最優(yōu)策略。層次分析法：這個(gè)多準(zhǔn)則的決策技術(shù)允許在決策方案中加人一些主觀的因素。馬爾可夫過(guò)程模型：馬爾可夫過(guò)程模型用來(lái)研究特定系統(tǒng)重復(fù)工作情況下的演進(jìn)。例如，用馬爾可夫過(guò)程描述某一時(shí)間段內(nèi)正常工作的機(jī)器，在下一時(shí)間段內(nèi)正常工作或發(fā)生故障的概率。本章小結(jié)本章討論的內(nèi)容是管理科學(xué)如何幫助管理者更好地進(jìn)行決策。決策制定過(guò)程和管理科學(xué)。在此過(guò)程中扮演的角色是本章的重點(diǎn)。數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象描述，因此無(wú)法展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情況的所有方面。管理科學(xué)日益顯著的一個(gè)特點(diǎn)就是努力尋找問(wèn)題的最優(yōu)解決方案。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第2章、線性規(guī)劃引論章節(jié)內(nèi)容2-1 一個(gè)簡(jiǎn)單的最大化問(wèn)題2-2 圖解法2-3 極點(diǎn)和最優(yōu)解2-4 Par公司問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解2-5 一個(gè)簡(jiǎn)單的最小化問(wèn)題2-6 特例2-7 線性規(guī)劃的通用符號(hào)

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1of2)完成本章后，你將能夠：LO2.1 確定可以在線性規(guī)劃中用作目標(biāo)函數(shù)或約束條件的線性數(shù)學(xué)關(guān)系。LO2.2 為線性規(guī)劃問(wèn)題做出一張含目標(biāo)函數(shù)和約束條件的圖，并找出滿足約束條件的解。LO2.3 從線性規(guī)劃的圖形表示中確定可行域和極值點(diǎn)。LO2.4 使用圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題并解釋結(jié)果。LO2.5 從問(wèn)題的文字描述中，公式化并解釋線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。學(xué)習(xí)目標(biāo)(2of2)LO2.6 在線性規(guī)劃的解中識(shí)別緊的、非緊的和冗余約束，并找到與約束條件相關(guān)的松弛/剩余變量。LO2.7 寫(xiě)出線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。LO2.8 在Excel中建立線性規(guī)劃模型，并使用ExcelSolver求解。LO2.9 確定并解釋線性規(guī)劃的最優(yōu)解的情況:唯一最優(yōu)解，多重最優(yōu)解，不可行解，無(wú)界解。引言線性規(guī)劃是一種幫助管理者制定決策的解決問(wèn)題的方法。線性規(guī)劃涉及在問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型僅包含線性函數(shù)時(shí)選擇行動(dòng)方案。所有線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)是某一數(shù)量的最大化或最小化。所有線性規(guī)劃問(wèn)題都有約束，這些約束條件限制了目標(biāo)函數(shù)的取值。2-1一個(gè)簡(jiǎn)單的最大化問(wèn)題Par公司高爾夫球袋業(yè)務(wù)Par公司是一個(gè)生產(chǎn)高爾夫器材的小型制造商，公司決定進(jìn)入中高價(jià)位的高爾夫球袋市場(chǎng)。分銷商對(duì)新產(chǎn)品十分感興趣，且同意買進(jìn)Par公司未來(lái)3個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品。生產(chǎn)的每個(gè)高爾夫袋都需要以下操作：切割和印染縫制成型檢查和包裝Par公司約束Par公司的生產(chǎn)還受各個(gè)部門(mén)生產(chǎn)時(shí)間的限制。經(jīng)過(guò)對(duì)各個(gè)生產(chǎn)部門(mén)工作量的研究，生產(chǎn)主管估計(jì)未來(lái)3個(gè)月內(nèi)每個(gè)部門(mén)可用的最大生產(chǎn)時(shí)間分別是：切割和印染630小時(shí)縫紉600小時(shí)成型708小時(shí)檢查和包裝135小時(shí)會(huì)計(jì)部門(mén)考慮了生產(chǎn)數(shù)據(jù)、相關(guān)變動(dòng)成本以及產(chǎn)品價(jià)格之后，得出了標(biāo)準(zhǔn)球袋和高級(jí)球袋的單位產(chǎn)品利潤(rùn)分別為10美元和9美元。2-1Par公司問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述

2-1問(wèn)題模型化問(wèn)題模型化或稱建模，是將語(yǔ)言文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)描述的過(guò)程。全面的了解問(wèn)題。描述目標(biāo)。描述約束條件定義決策變量用決策變量寫(xiě)出目標(biāo)用決策變量寫(xiě)出約束條件最優(yōu)解是滿足所有約束條件的可行解，使得目標(biāo)函數(shù)值在最大化時(shí)盡可能大（或在最小化時(shí)盡可能?。?。當(dāng)有兩個(gè)變量時(shí)，可以使用圖解法求解線性規(guī)劃。2-2切割和印染約束線

2-2對(duì)應(yīng)切割和印染約束的可行解用陰影區(qū)域表示滿足切割和印染約束條件的解。滿足所有約束條件的解，被稱為可行解。圖中的陰影區(qū)域被稱為可行解的集合，簡(jiǎn)稱可行域。2-2對(duì)應(yīng)縫制、定型、檢查和包裝約束的可行解2-2圖解法求解過(guò)程可行域

最優(yōu)解

2-2圖解法求解最大化問(wèn)題的步驟小結(jié)為每個(gè)約束條件畫(huà)出可行解圖形。確定出同時(shí)滿足所有約束條件的解的可行域。畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)線，表示在特定目標(biāo)函數(shù)值下的決策變量值。沿目標(biāo)函數(shù)值增長(zhǎng)方向平移目標(biāo)函數(shù)線，直到移動(dòng)到可行域的邊界。取得最大值的目標(biāo)函數(shù)線上的可行解都是最優(yōu)解。2-2松弛變量所有變量都是非負(fù)的，并且所有約束條件都是等式形式的線性規(guī)劃被稱為標(biāo)準(zhǔn)型。通過(guò)向“小于或等于”約束添加松弛變量，并通過(guò)從“大于或等于”約束中減去剩余變量來(lái)實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型。松弛和剩余變量代表約束的左側(cè)和右側(cè)之間的差異。松弛和剩余變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)等于0。在Par公司最優(yōu)解中，縫制和檢查與包裝部門(mén)有120和18小時(shí)的未用時(shí)間。Max10S+9D++++s.t.+1D++++=630+++++=6001S+++++=708+++++=1352-2標(biāo)準(zhǔn)型的線性規(guī)劃通常在制定線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)會(huì)添加松弛變量，以表示閑置或未用容量。未用容量不會(huì)對(duì)利潤(rùn)做出貢獻(xiàn)；因此，松弛變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為零。在添加了四個(gè)松弛變量（表示為S1、S2、S3和S4）之后，Par公司問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型變?yōu)?2-3極點(diǎn)與最優(yōu)解可行區(qū)域的頂點(diǎn)被稱為極點(diǎn)在尋找最優(yōu)解時(shí)，不必評(píng)估所有可行解點(diǎn)線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解可以在可行區(qū)域的極點(diǎn)找到。Par公司問(wèn)題有5個(gè)可行區(qū)域的極點(diǎn)。Par公司問(wèn)題的最優(yōu)解位于極點(diǎn)③。2-4計(jì)算機(jī)求解現(xiàn)在對(duì)于有成千上萬(wàn)個(gè)變量和約束條件的問(wèn)題，用計(jì)算機(jī)求解就成了常規(guī)、可行的方法。一些領(lǐng)先的商業(yè)軟件包,包括CPLEX、Gurobi、LINGO、MOSEK和Excel求解器。也有免費(fèi)的計(jì)算機(jī)軟件包可用，包括Clp（COIN-OR線性規(guī)劃）、基于R語(yǔ)言的lpSolve軟件包和基于Python的PuLPlibrary軟件包。下面我們將解釋為Par公司問(wèn)題提供的計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果:最優(yōu)解提供了7668美元的利潤(rùn)我們有540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和252個(gè)高級(jí)袋作為最優(yōu)生產(chǎn)量縫制和檢查與包裝部門(mén)分別有120和18小時(shí)的未用容量2-5M&D化學(xué)公司：一個(gè)簡(jiǎn)單的最小化問(wèn)題M&D化學(xué)公司生產(chǎn)兩種用于生產(chǎn)肥皂和清洗劑的原材料。

M&化學(xué)公司的管理層確定A和B的總產(chǎn)量至少要達(dá)到350加侖。.公司的一個(gè)主要客戶訂購(gòu)的125加侖a產(chǎn)品必須首先得到滿足。每加侖的處理時(shí)間:產(chǎn)品A需要2小時(shí)產(chǎn)品B需要1小時(shí)生產(chǎn)成本為產(chǎn)品A每加侖2美元，產(chǎn)品B每加侖3美元。公司最大可用工作時(shí)間是600小時(shí)。M&D的目標(biāo)是以最低的總生產(chǎn)成本滿足要求。在添加了非負(fù)約束(A,B≥0)之后，我們得到了M&D化學(xué)品問(wèn)題的以下線性規(guī)劃：Max2A+3Bs.t.1A≥630產(chǎn)品A的需求1A+1B≥600總產(chǎn)量2A+1B≥708處理時(shí)間A,B≥02-5M&D化學(xué)公司問(wèn)題的可行域和最優(yōu)解可行域

最優(yōu)解2-5圖解法求解最小化問(wèn)題的步驟小結(jié)畫(huà)出每個(gè)約束條件的可行解。確定滿足所有約束條件的可行域。畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)線，表示在特定目標(biāo)函數(shù)值下的決策變量值。沿目標(biāo)函數(shù)值減小方向平移目標(biāo)函數(shù)線，直至移動(dòng)到可行域的邊界。目標(biāo)函數(shù)線上具有最小值的可行解即為問(wèn)題的最優(yōu)解。2-5剩余變量

Max2A+3B+++s.t.1A?=1251A+1B?=3502A+1B+=600≥02-6特例：多重最優(yōu)解

2-6特例：無(wú)可行解無(wú)可行解是指線性規(guī)劃問(wèn)題，不存在滿足全部約束條件的解。在圖形中無(wú)可行解是指可行域，并不存在。假設(shè)管理層確定公司必須至少生產(chǎn)500個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球帶和360個(gè)高級(jí)球帶。生產(chǎn)出500個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋和360個(gè)高級(jí)球袋所需的資源無(wú)可行解原因可能包括：表述錯(cuò)誤管理者的過(guò)高期望約束條件過(guò)多的問(wèn)題2-6特例：無(wú)界解

2-7線性規(guī)劃的通用符號(hào)我們?cè)赑ar公司問(wèn)題中選擇了決策變量S和D，在M&D化學(xué)品問(wèn)題中選擇了A和B，以便于記住這些決策變量在問(wèn)題中代表的內(nèi)容。.這種方法對(duì)于涉及少量決策變量的線性規(guī)劃效果很好，但在處理涉及大量決策變量的問(wèn)題時(shí)變得困難。在線性規(guī)劃問(wèn)題中，更加通用的符號(hào)是帶有下標(biāo)的x

在Par公司例子中，我們可以將決策變量定義為：

x1=標(biāo)準(zhǔn)球袋的數(shù)量

x2=高級(jí)球袋的數(shù)量

使用這種變量命名方法時(shí)的一個(gè)缺點(diǎn)是我們不能夠輕松地識(shí)別出變量在數(shù)學(xué)模型中所代表的含義

如果模型中包含大量的決策變量，使用這種方法命名會(huì)相對(duì)比較容易。本章小結(jié)我們對(duì)如下兩個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行了建模:Par行數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，我們給出了線性規(guī)劃模型的一公司最大化問(wèn)題和M&D化學(xué)公司的最小化問(wèn)題。

對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，我們給出了圖解法的求解過(guò)程，并將不同軟件包的求解結(jié)果展示在表格中。線性規(guī)劃模型是具有如下特點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。求解最大化或是最小化的線性目標(biāo)函數(shù)。存在線性約束集合。滿足非負(fù)約束的決策變量。松弛變量被用來(lái)將小于等于形式的約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)榈扔谛问降募s束條件。剩余變量被用來(lái)將大于等于形式的約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)榈扔谛问降募s束條件。松弛變量就是未使用的資源，而剩余變量則是超過(guò)某一最低需求的量。當(dāng)所有的約束條件都寫(xiě)成了等式形式時(shí)欄2-2介紹了“IBM使用線性規(guī)劃技術(shù)幫助供應(yīng)鏈運(yùn)行制訂計(jì)劃和進(jìn)行管理”，這是線性規(guī)劃在實(shí)際中被就被稱為線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式。如果一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的解是不可行的或是無(wú)界的，那這個(gè)問(wèn)題就沒(méi)有最優(yōu)解。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第3章、線性規(guī)劃的靈敏度分析和最優(yōu)解的解釋章節(jié)內(nèi)容3-1 靈敏度分析的作用3-2 圖解法靈敏度分析3-3 優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋3-4 傳統(tǒng)靈敏度分析的不足3-5 電子通信公司問(wèn)題

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1of2)完成本章后，你將能夠：LO3.1 使用圖解法對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的解進(jìn)行靈敏度分析。LO3.2 使用計(jì)算機(jī)程序包如ExcelSolver對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的解進(jìn)行靈敏度分析，并解釋輸出結(jié)果。LO3.3 解釋線性規(guī)劃問(wèn)題中約束條件的對(duì)偶值(影子價(jià)格)。LO3.4 詳述并解釋線性規(guī)劃問(wèn)題中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)范圍。學(xué)習(xí)目標(biāo)(2of2)LO3.5 詳述并解釋線性規(guī)劃問(wèn)題中約束條件的可行范圍。LO3.6 解釋傳統(tǒng)靈敏度分析做出的假設(shè)，并能在假設(shè)不滿足時(shí)更新和求解新問(wèn)題。LO3.7 解釋線性規(guī)劃問(wèn)題中變量的遞減成本值。LO3.8 解釋沉沒(méi)成本和相關(guān)成本之間的差異，并能夠?qū)⑦m當(dāng)?shù)某杀炯{入線性規(guī)劃模型。引言靈敏度分析是研究當(dāng)一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題中的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，它對(duì)函數(shù)最優(yōu)解的影響程度。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)約束條件的右端值因?yàn)殪`敏度分析研究的是系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。所以在進(jìn)行靈敏度分析之前，首先要計(jì)算出原線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。因此靈敏度分析有時(shí)也被稱為后優(yōu)化分析。首先，我們將介紹如何使用圖解法進(jìn)行雙變量線性規(guī)劃問(wèn)題的靈敏度分析。其次，我們將介紹如何使用優(yōu)化軟件得到靈敏度分析報(bào)告。最后，我們將通過(guò)建模和求解三個(gè)更大的線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)擴(kuò)展對(duì)第二章中建模相關(guān)內(nèi)容的討論。3-1靈敏度分析的作用靈敏度分析對(duì)于決策者的重要性不言而喻。在真實(shí)世界里，周圍的環(huán)境、條件是在不斷變化的。運(yùn)用靈敏度分析，我們只需要改變相應(yīng)的系數(shù)就可以得到答案，而不需建立新的模型。靈敏度分析還可以用來(lái)分析模型的系數(shù)。哪個(gè)更能左右最優(yōu)解。例如，如果一個(gè)系數(shù)的最優(yōu)性范圍很窄，或者其估計(jì)值接近最優(yōu)性限制之一，管理層可能希望審查系數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，如有必要，用新的目標(biāo)函數(shù)解決修改后的線性規(guī)劃問(wèn)題。靈敏度分析的另一個(gè)用途是分析約束條件的右端值變化對(duì)最優(yōu)解的影響。3-2目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化圖解法求解Par公司問(wèn)題，如果目標(biāo)函數(shù)的斜率在直線A與直線B之間，極點(diǎn)③是最優(yōu)解

3-2極點(diǎn)③的CS最優(yōu)范圍

3-2極點(diǎn)③的CD最優(yōu)范圍

3-2極點(diǎn)②的CS最優(yōu)范圍

3-2同時(shí)變化

3-2約束條件的右端值

3-2對(duì)偶值

3-3優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋在上一章中，我們說(shuō)明了如何解釋線性規(guī)劃求解程序的結(jié)果。

在取近似值后，我們得到最優(yōu)解是S=540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋和

D=252個(gè)高級(jí)球袋，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是7668美元。我們將解釋對(duì)最優(yōu)解的靈敏度分析的輸出結(jié)果，特別是每個(gè)決策變量的遞減成本和約束條件的對(duì)偶值

。需要注意的是，ExcelSolver使用影子價(jià)格這個(gè)術(shù)語(yǔ)，而不是對(duì)偶值。3-3Par公司問(wèn)題的遞減成本和對(duì)偶值遞減成本解釋對(duì)偶值解釋一個(gè)變量的遞減成本等于這個(gè)變量非負(fù)約束的對(duì)偶值.非負(fù)約束為S,D≥0。因?yàn)閷⒎秦?fù)約束更改為S,D≥1對(duì)最優(yōu)解S=540和

D=252的值沒(méi)有影響，因此這個(gè)非負(fù)約束的對(duì)偶值（即遞減成本）均為零。對(duì)偶值列包含關(guān)于最優(yōu)解時(shí)四種資源的邊際價(jià)值的信息。切割和印染（約束1）的對(duì)偶值為4.375，精加工（約束3）的對(duì)偶值為6.9375，這告訴我們，增加一個(gè)小時(shí)的切割和印染時(shí)間將使最優(yōu)解的價(jià)值增加大約4.38美元，而增加一個(gè)小時(shí)的精加工時(shí)間將使最優(yōu)解的價(jià)值增加約6.94美元3-3Par公司問(wèn)題的允許增加和減少值目標(biāo)系數(shù)右端值變量S目前的利潤(rùn)系數(shù)為10，允許增加的幅度為3.5，允許減少的幅度為3.7。因此，只要標(biāo)準(zhǔn)球袋的利潤(rùn)貢獻(xiàn)在10?3.7=6.30美元和10+3.5=13.50美元之間，生產(chǎn)

S=540個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋和D=252個(gè)高級(jí)球袋就是最優(yōu)解對(duì)變量D的允許增加和減少也可以做類似的觀察。只要約束條件的右端值處于所給出的下限和上限之間，相應(yīng)的對(duì)偶值將會(huì)是右端值增加1個(gè)單位帶來(lái)的最優(yōu)解的變化。我們把這個(gè)對(duì)偶值適用的范圍稱作可行域。例如，最終約束條件的右端值（約束條件3）顯示出對(duì)偶值6.94美元對(duì)增加到900和減少到580都是可行的。3-3對(duì)偶值的深入理解相關(guān)成本取決于決策的制定，這種成本依賴于決策變量值的變化而變化。相關(guān)成本反映在目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中。當(dāng)某種資源的成本屬于沉沒(méi)成本時(shí)，對(duì)偶值就可以被解釋為公司愿意為得到額外一個(gè)單位這種資源而付出的金額.沉沒(méi)成本是不會(huì)受決策影響的，無(wú)論決策變量為何值，這種成本都會(huì)發(fā)生。

沉沒(méi)資源成本不反映在目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)中。當(dāng)某種資源的成本屬于沉沒(méi)成本時(shí)，對(duì)偶值則可以被解釋為這種資源的價(jià)值超過(guò)其成本的數(shù)額，也就是增加一個(gè)單位這種資源時(shí)，公司能付出的最大成本量。3-3Par公司問(wèn)題修改后的模型假設(shè)管理者希望生產(chǎn)一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋（輕便球袋）。設(shè)計(jì)部門(mén)估計(jì)每個(gè)新型球袋將需要0.8小時(shí)的切割和印染時(shí)間、1小時(shí)的縫制時(shí)間、1小時(shí)的成型時(shí)間和0.25小時(shí)的檢查和包裝時(shí)間。由于這種設(shè)計(jì)是獨(dú)一無(wú)二的，管理者認(rèn)為在當(dāng)前銷售期內(nèi)每個(gè)輕便球袋可以獲利12.85美元。令L為輕便球袋的產(chǎn)量，將其加入目標(biāo)函數(shù)以及4個(gè)約束條件，可以得到如下修改后的模型：3-3修改后的Par公司問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解最優(yōu)方案里包含280個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球袋、0個(gè)高級(jí)球袋和428個(gè)輕便球袋，最優(yōu)方案的值是8299.80美元。計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果表明，S和L的遞減成本都為0，這是因?yàn)橄鄳?yīng)的決策變量值在最優(yōu)解處已經(jīng)是正值。然而，變量D的遞減成本為-1.15美元，表明如果高級(jí)球袋的產(chǎn)量從0增加到1，那么最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值將減少1.15美元。另外一種解釋是，如果我們將高級(jí)球袋的成本降低1.15美元約束1和2分別有91.6和32小時(shí)的未用容量，而約束3和4在最優(yōu)解中是有效的，每增加一小時(shí)將使最優(yōu)解的價(jià)值增加8.10美元和19美元。3-4傳統(tǒng)靈敏度分析的不足從計(jì)算機(jī)輸出中獲得的傳統(tǒng)的靈敏度分析可以為求解方案對(duì)輸入數(shù)據(jù)變化的靈敏性提供有用的信息。計(jì)算機(jī)軟件提供的傳統(tǒng)的靈敏度分析還存在一些不足。本節(jié)討論三個(gè)不足：多系數(shù)同時(shí)變化系統(tǒng)輸出的靈敏度的結(jié)果是基于單函數(shù)系數(shù)變化的。它假設(shè)所有其他的系數(shù)都保持不變。因此，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件的右端值的變化范圍只能適用于單個(gè)系數(shù)發(fā)生變化的情況。約束系數(shù)的變化傳統(tǒng)的靈敏度分析沒(méi)有對(duì)約束條件中變量系數(shù)的變化帶來(lái)的變化提供信息。相反，我們必須簡(jiǎn)單地更改系數(shù)并重新運(yùn)行模型。特殊約束條件的對(duì)偶值兩邊都有變量的特殊約束條件往往會(huì)使對(duì)偶值產(chǎn)生非直覺(jué)的解釋。3-4Par公司問(wèn)題的非直覺(jué)對(duì)偶值

3-4高級(jí)球袋需求對(duì)總利潤(rùn)的影響為了更直觀地感受這個(gè)比例變化對(duì)總利潤(rùn)的影響，我們以5%為間隔，分別試驗(yàn)這個(gè)比例從5%增長(zhǎng)到100%的情況下利潤(rùn)的變化。這要求我們重解20個(gè)不同的模型。右圖給出了改變這個(gè)比例對(duì)利潤(rùn)的影響..可以看到，當(dāng)比例值大于55%時(shí)曲線變得更陡了，這說(shuō)明從55%開(kāi)始利潤(rùn)下降的速度發(fā)生了改變。因此，管理層從利潤(rùn)的角度考慮，30%是一個(gè)合理的要求，如果將這個(gè)比例增加到超過(guò)55%，那么將會(huì)帶來(lái)重大的利潤(rùn)損失。3-5電子通信公司問(wèn)題下表簡(jiǎn)要地列出了電子通信公司不同銷售渠道的銷售利潤(rùn)、廣告費(fèi)用、人力成本。公司的廣告費(fèi)用預(yù)算是5000美元，3個(gè)店面銷售渠道的最大的銷售時(shí)間是1800小時(shí)。公司現(xiàn)階段決定制造的產(chǎn)品數(shù)為600件，此外，全美連鎖零售店要求最少銷售150件產(chǎn)品。電子通信公司面臨的問(wèn)題是如何制定一個(gè)分銷策略使其總的銷售利潤(rùn)最大。公司必須決定如何分配各堂道的銷售量、銷售力度以及廣告預(yù)算。3-5建立數(shù)學(xué)模型我們首先寫(xiě)出電子通信公司的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目標(biāo)函數(shù)：利潤(rùn)最大化這個(gè)模型有4個(gè)約束條件，分別是：廣告支出<=廣告預(yù)算銷售時(shí)間<=最大可用時(shí)間產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量=公司要求的產(chǎn)量零售分銷量≥合同要求的最低分銷量對(duì)于這個(gè)模型，我們定義如下4個(gè)決策變量：M=航海器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量B=商用器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量

3-5計(jì)算機(jī)求解及其含義解釋,第1部分圖中的目標(biāo)函數(shù)值告訴我們模型的最大利潤(rùn)為48450美元。最優(yōu)解為M=25，B=425，R=150，D=0。決策變量D的遞減成本是-45，這告訴我們每生產(chǎn)一個(gè)通過(guò)直接郵購(gòu)渠道銷售的產(chǎn)品，利潤(rùn)就會(huì)減少45美元。換種說(shuō)法，也就是說(shuō)通過(guò)直接郵購(gòu)渠道銷售的產(chǎn)品利潤(rùn)必須由現(xiàn)在的60美元增加45美元，達(dá)到105美元，這樣才可以使用這種渠道來(lái)銷售產(chǎn)品。廣告預(yù)算約束條件的對(duì)偶值為3，表明每增加1美元廣告預(yù)算，目標(biāo)函數(shù)的值（利潤(rùn)）可以增加3美元。約束2上的25小時(shí)松弛告訴我們，分配的銷售團(tuán)隊(duì)1800小時(shí)的最大銷售時(shí)間足夠賣出產(chǎn)品。約束3的對(duì)偶值表明，如果公司的產(chǎn)量增加1個(gè)單位，利潤(rùn)就可以增加60美元。約束4顯示，這個(gè)約束條件允許減少的量是150，表明這種承諾可以減少到0，每減少1單位損失值是17美元。3-5計(jì)算機(jī)求解及其含義解釋,第2部分目標(biāo)函數(shù)系數(shù)表顯示了在當(dāng)前解或策略保持最優(yōu)的范圍內(nèi)，允許增加和減少的幅度。直郵渠道的45美元允許增加與其對(duì)偶值的前述觀察一致。右側(cè)約束值表可以與關(guān)于對(duì)偶值的前述觀察結(jié)合使用。例如，約束1的允許增加顯示，如果廣告預(yù)算增加最多850美元，利潤(rùn)將增加三倍(約束1的對(duì)偶值為3)。此外，約束4的150單位允許增加意味著，這種承諾可以減少到零，同時(shí)以每單位17美元的速率增加利潤(rùn)。3-5電子通信公司的最大利潤(rùn)策略重要的是再次指出，計(jì)算機(jī)軟件包為線性規(guī)劃問(wèn)題提供的靈敏度分析僅考慮一次一個(gè)變化，所有其他系數(shù)保持原始規(guī)定。如前所述，同時(shí)變化最好通過(guò)重新求解問(wèn)題來(lái)處理?？傊?，電子通信的利潤(rùn)最大化分銷策略涉及以下三個(gè)方面：（1）分配多少產(chǎn)量（2）分配多少?gòu)V告預(yù)算（3）分配多少銷售時(shí)間。本章小結(jié)本章的開(kāi)頭對(duì)靈敏度分析問(wèn)題進(jìn)行了討論：詳細(xì)研究了線性規(guī)劃問(wèn)題系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解所產(chǎn)生的影響.首先，我們介紹了如何使用圖解法分析目標(biāo)函數(shù)。系數(shù)和約束條件的右端值的變化對(duì)最優(yōu)解的影響。由于圖解法只限于分析雙決策變量的情況，我們又向讀者介紹了如何使用軟件對(duì)類似問(wèn)題進(jìn)行分析。接著，我們通過(guò)增加一個(gè)決策變量和增加一定百分比（比率）的約束條件對(duì)Par公司問(wèn)題進(jìn)行了修改。針對(duì)修改后的問(wèn)題，我們討論了如何建模、如何進(jìn)行靈敏度分析、靈敏度分析的不足以及模型軟件輸出結(jié)果的解釋。然后，為了加強(qiáng)對(duì)多于兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問(wèn)題的掌握，我們又舉了一個(gè)電子通信的例子，這是一個(gè)四決策變量的最大化問(wèn)題，包含兩個(gè)小于等于約束條件、一個(gè)等于約束條件和一個(gè)大于等于約束。在下一章中，我們將看到線性規(guī)劃的更多應(yīng)用。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第4章、線性規(guī)劃在營(yíng)銷、財(cái)務(wù)和運(yùn)營(yíng)管理領(lǐng)域的應(yīng)用章節(jié)內(nèi)容4-1 市場(chǎng)營(yíng)銷中的應(yīng)用4-2 財(cái)務(wù)中的應(yīng)用4-3 運(yùn)營(yíng)管理中的應(yīng)用

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)完成本章后，你將能夠：LO4.1 對(duì)營(yíng)銷領(lǐng)域的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行建模并求解。LO4.2 對(duì)財(cái)務(wù)領(lǐng)域的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行建模并求解。LO4.3 對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃和配送領(lǐng)域的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行建模并求解。LO4.4 對(duì)人員配置和排班領(lǐng)域的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行建模并求解。LO4.5 對(duì)混合問(wèn)題的線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行建模并求解。引言線性規(guī)劃被證明是在制定決策時(shí)最成功的定量化方法之一，兒乎應(yīng)用于各行各業(yè)。這些應(yīng)用包括:生產(chǎn)日程安排、媒體選擇、市場(chǎng)調(diào)研、財(cái)務(wù)規(guī)劃、資本預(yù)算、運(yùn)輸問(wèn)題、分銷系統(tǒng)設(shè)計(jì)、混合制造、人力資源管理以及混合問(wèn)題等。本章將介紹線性規(guī)劃在傳統(tǒng)商業(yè)領(lǐng)域的一系列應(yīng)用，包括營(yíng)銷、財(cái)務(wù)和運(yùn)營(yíng)管理等領(lǐng)域。

本章重點(diǎn)是建模、計(jì)算機(jī)求解以及計(jì)算結(jié)果的解讀。

我們依據(jù)所研究的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，并給出模型求解結(jié)果。

4-1市場(chǎng)營(yíng)銷中的應(yīng)用媒體選擇在媒體選擇中應(yīng)用線性規(guī)劃的目的在于幫助營(yíng)銷經(jīng)理將固定的廣告預(yù)算分配到不同的媒體中去。我們的目的是借用媒體使宣傳范圍、頻率和質(zhì)量最大化。預(yù)算分配方案的約束條件通常源于公司的政策、合同的要求以及媒體的可用數(shù)量等。REL發(fā)展公司在開(kāi)發(fā)一個(gè)環(huán)私人湖社區(qū)。

湖邊住宅的主要客戶是距社區(qū)100英里以內(nèi)的所有中高等收入家庭。該公司聘請(qǐng)BP&J公司來(lái)做廣告宣傳。

湖畔社區(qū)宣傳該公司聘請(qǐng)BP&J公司來(lái)做廣告宣傳?？紤]可用的廣告媒體和要覆蓋的市場(chǎng)，BP&J建議將第一個(gè)月的廣告限于5種媒體。

BP&J已經(jīng)搜集了單位媒體的潛在受眾人數(shù)和成本、每個(gè)媒體可提供的最多的廣告數(shù)量，以及5種媒體的單位影響力。媒體的單位影響力是通過(guò)單位宣傳質(zhì)量來(lái)衡量的所謂單位宣傳質(zhì)量即各個(gè)媒體一次廣告帶來(lái)的相對(duì)價(jià)值，是通過(guò)考慮眾多因素，如觀眾的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(年齡、收入和受教育程度)、呈現(xiàn)的形象和廣告的品質(zhì)。4-1廣告媒體選擇結(jié)合BP&J在廣告行業(yè)中的經(jīng)驗(yàn)獲得。下表列出了搜集的信息：4-1媒體選擇:問(wèn)題描述BP&J被委托選擇一個(gè)廣告媒體。更具體地說(shuō)，BP&J需要根據(jù)以下要求推薦每種廣告媒體的使用次數(shù)：每種廣告媒體的選用次數(shù)不得超過(guò)其每月的可用次數(shù)。REL發(fā)展公司提供給BP&J第一個(gè)月的廣告預(yù)算是30000美元。REL發(fā)展公司對(duì)如何分配這些資金有如下要求:

至少要用10次電視廣告電視廣告的費(fèi)用不得超過(guò)18000美元

潛在受眾人數(shù)至少要達(dá)到50000人4-1媒體選擇:建立模型決策變量要做出的決策是:每個(gè)媒體的使用次數(shù)是多少。我們首先定義如下決策變量：DTV=日間電視使用次數(shù)ETV=晚間電視使用次數(shù)W=網(wǎng)站使用次數(shù)SN=周日?qǐng)?bào)紙雜志使用次數(shù)R=電臺(tái)使用次數(shù)目標(biāo)函數(shù)

4-1媒體選擇:完整的線性規(guī)劃（LP）模型根據(jù)已知信息，可知模型的約束條件為:Max65DTV+90ETV+40W+60SN+20R

s.t.DTV≤15可用媒體ETV≤10可用媒體W≤25可用媒體SN≤4可用媒體R≤30可用媒體1500DTV+3000ETV+

400W+1000SN+100R≤30,000預(yù)算DTV+

ETV≥10電視約束1500DTV+3000ETV≤18,000電視約束1000DTV+2000ETV+1500W+2500SN+300R≥50,000受眾人數(shù)DTV,ETV,W,SN,R

≥0非負(fù)性4-1媒體選擇:問(wèn)題求解5個(gè)變量，9個(gè)約束的線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解已給出。4-1媒介選擇：結(jié)果解讀最優(yōu)解決方案要求社區(qū)的廣告在日間電視、網(wǎng)站、周日?qǐng)?bào)紙、雜志和電臺(tái)上投放。此時(shí)達(dá)到的最優(yōu)影響力是2370，而受眾總數(shù)為61500。遞減成本:若要晚間電視出現(xiàn)在最優(yōu)解決方案中，其單位影響力至少要增加65。對(duì)偶值:預(yù)算限制(約束條件6)的對(duì)偶值為0.06，即預(yù)算費(fèi)每增加1美元，廣告總影響力會(huì)增加0.06。約束條件7的對(duì)偶值為-25.000，這表明可用電視廣告數(shù)量每增加1個(gè)單位，投放的廣告影響力會(huì)減少25。4-1市場(chǎng)調(diào)查應(yīng)用市場(chǎng)調(diào)查開(kāi)展市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查以了解消費(fèi)者的特點(diǎn)、態(tài)度以及偏好，專門(mén)為客戶公司提供此類信息調(diào)查服務(wù)的公司被稱為市場(chǎng)調(diào)查公司。這類公司提供的典型服務(wù)包括:調(diào)查設(shè)計(jì)，開(kāi)展市場(chǎng)調(diào)查，分析收集數(shù)據(jù)，提供市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告，為顧客公司的營(yíng)銷提供對(duì)策建議。

在調(diào)查設(shè)計(jì)階段，應(yīng)對(duì)調(diào)查對(duì)象的數(shù)量和類型設(shè)定目標(biāo)或限額。市場(chǎng)調(diào)查公司的目標(biāo)是議最小的成本滿足客戶需求。MISMarketSurvey,Inc.(MSI)專門(mén)評(píng)定消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品、服務(wù)和廣告活動(dòng)的市場(chǎng)反應(yīng)。一個(gè)客戶公司要求MSI幫助了解消費(fèi)者對(duì)一種近期推出的家居產(chǎn)品的市場(chǎng)反應(yīng)。

在與客戶會(huì)面的過(guò)程中，MSI同意開(kāi)展人戶調(diào)查，調(diào)查的家庭包括有兒童家庭和無(wú)兒童家庭。同時(shí)MSI還同意采用日間和夜間兩種調(diào)查方式。

4-1市場(chǎng)調(diào)查:問(wèn)題描述具體地說(shuō)，客戶的合同要求MSI依照以下限制條款進(jìn)行1000次訪問(wèn)：至少訪間400個(gè)有兒童家庭。至少訪間400個(gè)無(wú)兒童家庭。夜間訪問(wèn)的家庭數(shù)量不得少于日間訪問(wèn)的數(shù)量。至少40%的有兒童家庭必須在夜間訪問(wèn)。至少60%的無(wú)兒童家庭必須在夜間訪問(wèn)。因?yàn)樵L問(wèn)有兒童家庭需要額外的時(shí)間，而且夜間訪問(wèn)員的報(bào)酬要比日間訪問(wèn)員的報(bào)酬高，所以調(diào)查成本因訪問(wèn)類型的不同而不同。

基于以往的調(diào)查經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)的單次訪問(wèn)費(fèi)用如下表所示：

4-1市場(chǎng)調(diào)查：建立模型決策變量在為MSI問(wèn)題建立線性規(guī)劃模型時(shí)，我們首先定義如下決策變量:DC=日間訪問(wèn)有兒童家庭的數(shù)量EC=夜間訪問(wèn)有兒童家庭的數(shù)量DNC=日間訪問(wèn)無(wú)兒童家庭的數(shù)量ENC=夜間訪問(wèn)無(wú)兒童家庭的數(shù)量目標(biāo)函數(shù)和約束條件

4-1市場(chǎng)調(diào)查:完整的線性規(guī)劃（LP）模型加上非負(fù)約束后，這個(gè)有4個(gè)變量、6個(gè)約束條件的線性規(guī)劃模型可以寫(xiě)為:Min20DC+25EC+18DNC+20ENC

s.t.DC+EC+DNC+

ENC=1000訪問(wèn)總次數(shù)DC+EC≥400有兒童家庭DNC+

ENC≥400無(wú)兒童家庭?DC+EC?

DNC+

ENC≥0夜間訪問(wèn)?0.4DC+0.6EC≥0夜間訪問(wèn)有兒童家庭?0.6DNC+0.4ENC≥0夜間訪問(wèn)無(wú)兒童家庭DC,EC,DNC,ENC≥0非負(fù)約束4-1市場(chǎng)調(diào)查:問(wèn)題求解下圖是此模型的求解結(jié)果：4-1市場(chǎng)調(diào)查:結(jié)果解讀計(jì)算結(jié)果表明按以下的訪問(wèn)計(jì)劃將會(huì)使總成本達(dá)到最小，即20320美元。因此，日間將安排480次訪問(wèn)，夜間將安排520次訪問(wèn)訪問(wèn)有兒童家庭的家庭數(shù)量為400個(gè)，訪問(wèn)無(wú)兒童家庭的家庭數(shù)量為600個(gè)。對(duì)偶值:靈敏度分析表明約束條件1的對(duì)偶值為19.2。換句話說(shuō)，如果訪問(wèn)總數(shù)量的約束條件從1000增加到1001.約束條件5和6的對(duì)偶值顯示，對(duì)于有兒童和無(wú)兒童的家庭，每增加一次晚間訪問(wèn)的增量成本分別為5美元和2美元。剩余變量:約束條件3的剩余變量的值為200，這表明訪問(wèn)的無(wú)兒童家庭的家庭數(shù)量比要求的多200個(gè)。類似地，約束條件6的對(duì)偶值2表明，如果必須在夜間比要求的最小數(shù)量再多訪問(wèn)一個(gè)家庭(無(wú)兒童)，那么總訪問(wèn)成本會(huì)增加2美元。約束條件5和6中剩余變量的零值表明成本更高的夜間訪問(wèn)的家庭數(shù)量剛好達(dá)到最低限要求。4-2財(cái)務(wù)中的應(yīng)用投資組合在財(cái)務(wù)管理中、線性規(guī)劃常被用于資本預(yù)算、資產(chǎn)分配、有價(jià)證券選擇、財(cái)務(wù)規(guī)劃和許多與此相關(guān)的問(wèn)題。投資組合選擇問(wèn)題所涉及的情況是財(cái)務(wù)經(jīng)理從多種投資(如股票和債券)中選擇一些具體的投資方案。投資組合選擇問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)通常是使預(yù)期收益最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化。約束條件通常表現(xiàn)為對(duì)允許的投資類型、國(guó)家法律、公司政策、最大可接受風(fēng)險(xiǎn)等方面的限制。威爾特(Welte)共同基金公司假設(shè)現(xiàn)在有一家坐落于紐約的威爾特(Welte)共同基金公司。公司最近通過(guò)發(fā)行工業(yè)債券而獲得了100000美元的現(xiàn)金。公司首席金融分析師建議新的投資全用于石油、鋼鐵行業(yè)或政府債券上。

分析師們已經(jīng)確定了5個(gè)投資機(jī)會(huì)，并預(yù)計(jì)了其年收益率。4-2投資組合:問(wèn)題描述問(wèn)題要求威爾特公司的管理層提出以下投資要求:對(duì)任何行業(yè)(石油或鋼鐵)的投資額不得多于50000美元對(duì)政府債券的投資額至少是對(duì)鋼鐵行業(yè)投資額的25%對(duì)太平洋石油這樣高收益但高風(fēng)險(xiǎn)的投資項(xiàng)目，投資額不得多于對(duì)整個(gè)石油行業(yè)投資的60%怎樣設(shè)計(jì)投資方案(投資項(xiàng)目及金額)呢?決策變量和目標(biāo)函數(shù)

4-2投資組合:完整的線性規(guī)劃（LP）模型威爾特共同基金公司投資問(wèn)題的完整線性規(guī)劃模型如下：Max

0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G

s.t.A+P+M+H+G=100,000可用資金A+P≤50,000石油行業(yè)最大投資額M+H≤50,000鋼鐵行業(yè)最大投資額?

0.25M?0.25H+G≥0政府債券最小投資額?0.60A+0.40P≤0太平洋石油A,P,M,H,G≥0非負(fù)約束4-2投資組合:問(wèn)題求解這個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解決方案如下所示：4-2投資組合:結(jié)果解讀最優(yōu)解決方案顯示投資結(jié)構(gòu)應(yīng)包含除中西部鋼鐵以外的所有投資機(jī)會(huì)。此投資組合的預(yù)期年收益為8000美元，即8%的年收益率。遞減成本:M的遞減成本下降0.011告訴我們，目標(biāo)函數(shù)的中西部鋼鐵的系數(shù)應(yīng)先增加0.011，考慮中西部鋼鐵的投資才是明智的。這樣的話，中西部鋼鐵的年收益率應(yīng)該是0.064+0.011=0.075。這使得這種投資與現(xiàn)在所用的Huber鋼鐵投資選擇一樣令人滿意。松弛變量:此約束條件的松弛變量表明，目前鋼鐵行業(yè)的投資額是10000美元，它低于投資限額的50000美元。對(duì)偶值:約束條件1的對(duì)偶值0.069表明，為投資組合每多提供1美元，目標(biāo)函數(shù)值將增加0.069美元。如果能以低于6.9%的成本獲得更多資金，管理者應(yīng)考慮取得這些資金。4-2財(cái)務(wù)計(jì)劃應(yīng)用Hewlitt公司的公司義務(wù)Hewlitt公司建立了一項(xiàng)提前退休項(xiàng)目，作為公司重組的一部分。在自愿簽約期臨近時(shí)，68位雇員辦理了提前退休手續(xù)。

因?yàn)檫@些人的提前退休，在接下來(lái)的8年里，公司將承擔(dān)以下責(zé)任，每年年初支付的現(xiàn)金需求（千美元）如下所示：政府債券的投資公司的財(cái)務(wù)人員必須決定現(xiàn)在應(yīng)準(zhǔn)備多少錢(qián)，以便應(yīng)付為期8年的支出計(jì)劃。該退休項(xiàng)目的財(cái)務(wù)計(jì)劃包括政府債券的投資及儲(chǔ)蓄。對(duì)于政府債券的投資限于如下表所示的3種選擇。4-2財(cái)務(wù)計(jì)劃:問(wèn)題描述決策變量政府債券的面值是1000美元，這意味著盡管價(jià)格不同，但到期時(shí)，都要支付1000美元。表中所示的回報(bào)率是基于面值的。在制訂這個(gè)計(jì)劃時(shí)，財(cái)務(wù)人員假定沒(méi)用于投資債券的資金都用于儲(chǔ)蓄，且每年都可以獲得4%的利息。我們定義如下決策變量：F:為8年期退休計(jì)劃準(zhǔn)備的總金額B1:在第1年年初買入的債券1的數(shù)量B2:在第1年年初買入的債券2的數(shù)量B3:在第1年年初買入的債券3的數(shù)量Si:在第i年年初投資于儲(chǔ)蓄的金額（i=1,2,…,8）

目標(biāo)函數(shù)和約束條件

4-1財(cái)務(wù)計(jì)劃:完整的線性規(guī)劃（LP）模型Hewlitt公司財(cái)務(wù)計(jì)劃問(wèn)題的完整線性規(guī)劃模型如下所示：MaxF

s.t.F?1.15B1?

1B2?1.35B3?S1

=430第1年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S1?S2=210第2年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S2?S3=222第3年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S3?S4=231第4年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S4?S5=240第5年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S5?S6=195第6年0.055B2+

0.1175B3+1.04S6?S7=225第7年0.1175B3+1.04S7?S8=255第8年F,B1,B2,B3,S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8≥04-2財(cái)務(wù)計(jì)劃:問(wèn)題求解這個(gè)包含12個(gè)變量、8個(gè)約束條件的線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解如下所示：4-2財(cái)務(wù)計(jì)劃:結(jié)果解讀

總的滿足8年期退休計(jì)劃所需要的最小資金總額為1728.79385美元。分別用1150美元、1000美元和1350美元作為每種債券的現(xiàn)價(jià)，我們可以將這三種債券的最初投資額列入右表。該方案表明了636148美元（見(jiàn)S1）將在第1年年初用于儲(chǔ)蓄，公司在第1年年初可用1728794美元選擇具體的債券和儲(chǔ)蓄投資，而且可以用余下的錢(qián)來(lái)滿足退休計(jì)劃第1年的現(xiàn)金需求430000美元。由債券所得的利息加上到期債券的面值就能滿足從第5年到第8年的現(xiàn)金需求。對(duì)偶值在這一應(yīng)用中得到了有趣的闡釋。每個(gè)式子的右端值對(duì)應(yīng)著該年應(yīng)支付的金額。注意，對(duì)偶值為正值，表明每一年需要支付的費(fèi)用每增加1000美元，則會(huì)使得總費(fèi)用以對(duì)偶值的1000倍增加。同時(shí)注意，對(duì)偶值逐年減少表示在早期幾年內(nèi)的現(xiàn)金需求對(duì)F的最優(yōu)值影響較大。4-3運(yùn)營(yíng)管理中的應(yīng)用自制/外購(gòu)決策在許多生產(chǎn)和運(yùn)營(yíng)管理中，都用到了線性規(guī)劃的方法，包括生產(chǎn)計(jì)劃、人員分配、庫(kù)存控制和生產(chǎn)能力計(jì)劃等。根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃的最優(yōu)求解方案，經(jīng)理人員能夠?yàn)橐环N或多種產(chǎn)品制定一個(gè)跨多周期（周或月）的高效率、低成本的生產(chǎn)計(jì)劃。傳統(tǒng)的約束還有：滿足產(chǎn)能、勞動(dòng)力和庫(kù)存空間等條件。Janders公司準(zhǔn)備推出兩款新的泵，其中一款用于醫(yī)療輸血市場(chǎng)，名為“輸血泵”；另一款用于工程市場(chǎng)，名為“功能泵”。Janders公司每種泵都由三種零部件構(gòu)成：一個(gè)基座、一個(gè)泵芯和一個(gè)泵頂。兩種泵使用相同的基座，但泵芯和泵頂不同。所有的零件都可以由公司自己生產(chǎn)或從外部購(gòu)買。4-3運(yùn)營(yíng)管理:問(wèn)題描述問(wèn)題要求Janders公司的預(yù)測(cè)師們指出市場(chǎng)將需要3000臺(tái)功能泵和2000臺(tái)輸血泵。但是，由于生產(chǎn)能力有限。這家公司僅能夠安排200個(gè)小時(shí)的日常生產(chǎn)時(shí)間和50個(gè)小時(shí)的加班時(shí)間來(lái)生產(chǎn)泵。加班時(shí)間要每小時(shí)支付給員工9美元的津貼，即額外的成本。Janders公司的問(wèn)題是決定每種零部件多少由自己生產(chǎn)，多少?gòu)耐獠抠?gòu)買。決策變量

4-3運(yùn)營(yíng)管理:完整的線性規(guī)劃（LP）模型對(duì)于Janders公司的自制/外購(gòu)問(wèn)題，加上非負(fù)約束之后的完整模型是：Min0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.75TTM+0.78TTP+9OTs.t.BM+

BP=5,000基座FCM+

FCP=3,000功能泵泵芯TCM+

TCP=2,000輸血泵泵芯FTM+

FTP=3,000功能泵泵頂TTM+TTP=2,000輸血泵泵頂OT≤50加班時(shí)間BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM?60OT≤12,000生產(chǎn)能力BM,BP,FCM,FCP,TCM,TCP,FTM,FTP,TTM,TTP,OT≥0非負(fù)約束4-3運(yùn)營(yíng)管理:問(wèn)題求解這個(gè)包含11個(gè)變量、7個(gè)約束條件的線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解如下圖所示：4-3運(yùn)營(yíng)管理：結(jié)果解讀得到的最優(yōu)解說(shuō)明了該公司所需要的全部5000個(gè)基座、667個(gè)功能泵泵芯和2000個(gè)輸血泵泵芯應(yīng)由其自行生產(chǎn)。而余下的2333個(gè)功能泵泵芯、所有的功能泵泵頂和所有的輸血泵泵頂應(yīng)從外部購(gòu)買。加班生產(chǎn)是不必要的，與這個(gè)最佳自制或外購(gòu)相應(yīng)的最小總成本是24443.33美元。遞減成本一列顯示了如果要使用加班時(shí)間，加班津貼必須每小時(shí)減少4美元。也就是說(shuō)，如果加班津貼是每小時(shí)9-4=5（美元）或更少，Janders公司會(huì)考慮用加班時(shí)間生產(chǎn)的零部件代替采購(gòu)的零部件。約束條件7關(guān)于生產(chǎn)能力的對(duì)偶值是-0.083，這表明每增加1小時(shí)的生產(chǎn)能力所帶來(lái)的價(jià)值是：0.083×60=5（美元）。約束條件7的右端端范圍表示這個(gè)結(jié)論在日常生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)19000分鐘或316.7小時(shí)的情況下是不變的。目標(biāo)函數(shù)BP的系數(shù)的變化范圍是從0.583（=0.600-0.017）到無(wú)窮大。如果基座的采購(gòu)價(jià)格為每個(gè)0.583美元或更多，那么基座的購(gòu)買數(shù)量仍然為零。但是當(dāng)采購(gòu)價(jià)格低于0.583美元時(shí)，Janders公司將開(kāi)始購(gòu)買而非生產(chǎn)基座配件。類似地，通過(guò)靈敏度分析也能得到其他零部件購(gòu)買的價(jià)格范圍。4-3混合問(wèn)題應(yīng)用石油工業(yè)在實(shí)際應(yīng)用中，管理層必須決定每種資源的購(gòu)買量，以在成本最低的情況下滿足產(chǎn)品的規(guī)格以及市場(chǎng)的需求?；旌蠁?wèn)題經(jīng)常發(fā)生在石油行業(yè)、化工行業(yè)以及食品行業(yè)。在這一節(jié)中，我們將介紹線性規(guī)劃在石油行業(yè)應(yīng)用的一個(gè)混合問(wèn)題。GrandStrand石油公司想知道在生產(chǎn)這兩種汽油產(chǎn)品的過(guò)程中，如何混合這3種石油成分才能獲利最大。GrandStrand石油公司現(xiàn)存的資料顯示，一般規(guī)格汽油的售價(jià)是2.90美元/加侖，而特殊規(guī)格汽油是3.00美元/加侖。

在當(dāng)前的生產(chǎn)計(jì)劃期內(nèi)，GrandStrand石油公司可以得到的3種石油成分每加侖的成本和供應(yīng)量見(jiàn)下表：4-3混合問(wèn)題:問(wèn)題描述問(wèn)題要求

目標(biāo)函數(shù)

4-3混合問(wèn)題:約束條件

4-3混合問(wèn)題:完整的線性規(guī)劃（LP）模型包括6個(gè)決策變量和10個(gè)約束條件的完整線性規(guī)劃模型如下：s.t.≤5,000≤10,000≤10,000≤0≥0≤0≥0≤0≥0≥10,000≥04-3混合問(wèn)題:問(wèn)題求解GrandStrand石油公司混合問(wèn)題的最優(yōu)解決方案見(jiàn)圖4-3混合問(wèn)題:結(jié)果解讀最優(yōu)的方案獲得了7100美元的利潤(rùn)。最優(yōu)的混合生產(chǎn)策略顯示，應(yīng)生產(chǎn)10000加侖的一般規(guī)格汽油。一般規(guī)格汽油由1250加侖的成分1、6750加侖的成分2和2000加侖的成分3混合制成。而15000加侖的特殊規(guī)格汽油由3750加侖的成分1、3250加侖的成分2和8000加侖的成分3混合制成。松弛/剩余:約束條件4: 使用石油成分1生產(chǎn)10000加侖一般規(guī)格汽油時(shí)，成分1的使用量低于其最大使用量1750加侖。約束條件5: 使用石油成分2生產(chǎn)10000加侖一般規(guī)格汽油時(shí)，成分2的使用量高于其最小使用量2750加侖。約束條件8: 使用石油成分2生產(chǎn)15000加侖特殊規(guī)格汽油時(shí)，成分2的使用量低于其最大使用量3500加侖。約束條件9: 使用石油成分3生產(chǎn)15000加侖特殊規(guī)格汽油時(shí)，成分3的使用量高于其最小使用量3500加侖。本章小結(jié)本章列舉了大量的應(yīng)用實(shí)踐，解釋了怎樣利用線性規(guī)劃來(lái)輔助決策。

我們構(gòu)造并求解了銷售、財(cái)務(wù)以及運(yùn)營(yíng)管理等問(wèn)題的模型，并解釋了計(jì)算機(jī)軟件輸出的結(jié)果。本章的許多案例都是線性規(guī)劃應(yīng)用的真實(shí)情況的微縮。

然而，在實(shí)際應(yīng)用中:問(wèn)題不一定能如此簡(jiǎn)單地描述出來(lái)與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)據(jù)也不可能輕松獲取問(wèn)題很可能涉及更多的決策變量和約束條件

但是，本章中對(duì)應(yīng)用情況的詳細(xì)分析是將線性規(guī)劃應(yīng)用于真實(shí)問(wèn)題的一個(gè)良好開(kāi)端。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第5章、線性規(guī)劃高級(jí)應(yīng)用章節(jié)內(nèi)容5-1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析5-2 收益管理5-3 投資組合模型和資產(chǎn)分配5-4 博弈論

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)完成本章后，你將能夠：LO5.1 運(yùn)用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，建立衡量效率的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.2 建立收益管理的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.3 建立投資組合的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.4 建立博弈論的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.5 能夠從線性規(guī)劃解決方案中識(shí)別兩人零和博弈的純策略。LO5.6 利用線性規(guī)劃確定混合策略并計(jì)算混合策略博弈的最優(yōu)概率。引言本章將繼續(xù)線性規(guī)劃的應(yīng)用研究，并介紹四種線性規(guī)劃的新應(yīng)用。

5.1節(jié)介紹數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA），它采用線性規(guī)劃方法來(lái)衡量有相同目標(biāo)的運(yùn)營(yíng)單元的相對(duì)效率，我們將以醫(yī)院績(jī)效測(cè)評(píng)來(lái)講述該方法的應(yīng)用。

5.2節(jié)將介紹收益管理，收益管理是對(duì)不能保存或者不易保存的一類產(chǎn)品，在已知固定庫(kù)存容量條件下，管理短期需求，以最大化可能取得的收益。收益管理在航空行業(yè)尤其重要，我們將通過(guò)確定五個(gè)城市間航班的全價(jià)票與折扣票價(jià)的最優(yōu)分配來(lái)闡明這個(gè)概念。5.3節(jié)將說(shuō)明線性規(guī)劃如何用于優(yōu)化與客戶的風(fēng)險(xiǎn)偏好相一致的投資組合。5.4節(jié)將介紹博弈論，這是對(duì)兩個(gè)或更多的決策制定者（參與者）如何能以最優(yōu)方式參與競(jìng)爭(zhēng)的研究。這里，我們用兩家公司互相競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)份額的一個(gè)線性規(guī)劃模型來(lái)說(shuō)明。5-1數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)DEA的應(yīng)用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）是用線性規(guī)劃技術(shù)衡量具有相同目標(biāo)和目的的運(yùn)營(yíng)單元的相對(duì)效率的方法。例如，用DEA衡量連鎖快餐店中每個(gè)店面的效率，找出低效率店面，并為低效率店面的效率提升提供初步的對(duì)策建議。.DEA還用于衡量醫(yī)院、銀行、法院、學(xué)校等組織的相對(duì)效率。在這些應(yīng)用中，每個(gè)機(jī)構(gòu)或組織的績(jī)效是相對(duì)于同系統(tǒng)中所有工作單元的績(jī)效來(lái)衡量的。醫(yī)院績(jī)效衡量總醫(yī)院、大學(xué)醫(yī)院、縣醫(yī)院和州醫(yī)院的管理者聚在一起討論如何幫助彼此共同改進(jìn)醫(yī)院績(jī)效。一個(gè)顧問(wèn)建議他們考慮采用DEA衡量這四家醫(yī)院中每所醫(yī)院的相對(duì)績(jī)效。在討論如何完成這種衡量時(shí)，我們首先確定出下面三種輸入指標(biāo)和四種輸出指標(biāo)。輸入指標(biāo)全日制（FTE）非醫(yī)務(wù)人員數(shù)目物資花費(fèi)可使用病床總天數(shù)輸出指標(biāo)醫(yī)療保險(xiǎn)患者服務(wù)天數(shù)無(wú)醫(yī)療保險(xiǎn)患者服務(wù)天數(shù)培訓(xùn)過(guò)的護(hù)士人數(shù)培訓(xùn)過(guò)的實(shí)習(xí)醫(yī)生人數(shù)5-1DEA方法概述下面我們將以縣醫(yī)院相對(duì)效率衡量為例來(lái)說(shuō)明線性規(guī)劃模型是怎樣構(gòu)建的。首先，基于有相同目標(biāo)的所有運(yùn)營(yíng)單元的輸入和輸出，構(gòu)建一個(gè)虛擬合成單元，在這個(gè)例子中是一家虛擬醫(yī)院。

對(duì)這四家醫(yī)院的每個(gè)輸出指標(biāo)，虛擬醫(yī)院的輸出由全部四家醫(yī)院的相應(yīng)輸出加權(quán)平均計(jì)算而得。

對(duì)每個(gè)輸入指標(biāo)，虛擬醫(yī)院的輸入由全部四家醫(yī)院的相應(yīng)輸入采用相同的權(quán)重加權(quán)平均計(jì)算而得。四家醫(yī)院年消耗的資源四家醫(yī)院提供的年服務(wù)5-1DEA:決策變量

5-1DEA:輸出指標(biāo)

5-1DEA:輸出的約束條件

5-1DEA:輸入指標(biāo)

5-1DEA:輸入的約束條件為了完成輸入的約束條件方程，我們必須寫(xiě)出每個(gè)約束條件的右端值的表達(dá)式。首先，要注意到右端值是虛擬醫(yī)院的可用資源。在DEA方法中，這些右端值是縣醫(yī)院輸入值的一個(gè)百分比。因此，我們必須引入下面的決策變量：E:

縣醫(yī)院輸入可用于虛擬醫(yī)院的百分比如果E=1，虛擬醫(yī)院可用的FTE非醫(yī)務(wù)人員數(shù)目就為275.70，與縣醫(yī)院使用的FTE非醫(yī)務(wù)人員數(shù)目相同。

5-1DEA:完整的線性規(guī)劃（LP）模型完整的模型如下所示：MinE

s.t.wg+wu+wc+ws=1權(quán)重的總和48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72醫(yī)療保險(xiǎn)43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98非醫(yī)療保險(xiǎn)253wg+148wu+175wc+160ws≥175護(hù)士41wg+27wu+23wc+84ws≥23實(shí)習(xí)醫(yī)生285.20wg+

162.30wu+275.70wc+210.40ws?275.70E≤0FTE非醫(yī)務(wù)人員123.80wg+

128.70wu+348.50wc+154.10ws?348.50E≤0物資106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws?104.10E≤0可使用病床總天數(shù)E,wg,wu,wc,ws≥0非負(fù)5-1DEA:模型求解縣醫(yī)院效率評(píng)價(jià)的DEA線性規(guī)劃模型有5個(gè)決策變量和8個(gè)約束條件，最優(yōu)解如下：5-1DEA:結(jié)果解讀我們首先注意到目標(biāo)函數(shù)值顯示縣醫(yī)院的效率得分為0.905。這個(gè)分?jǐn)?shù)告訴我們虛擬醫(yī)院通過(guò)使用不超過(guò)縣醫(yī)院需要輸入資源的90.5%，可以達(dá)到至少縣醫(yī)院能達(dá)到的每個(gè)輸出的水平。我們看出虛擬醫(yī)院是由總醫(yī)院（wg=0.212）、大學(xué)醫(yī)院（wu=0.260）、和州醫(yī)院（ws=0.527）加權(quán)平均形成的。剩余變量(約束2-5)虛擬醫(yī)院的每個(gè)輸出至少與縣醫(yī)院一樣多，相比縣醫(yī)院，它多出1.6個(gè)培訓(xùn)過(guò)的護(hù)士和37個(gè)培訓(xùn)過(guò)的實(shí)習(xí)醫(yī)生松弛變量(約束6-8)約束條件6和7的松弛值說(shuō)明虛擬醫(yī)院使用的FTE非醫(yī)務(wù)人員和物資花費(fèi)資源比縣醫(yī)院使用資源的90.5%還少。由此，我們得出結(jié)論，縣醫(yī)院與同組其他醫(yī)院相比是相對(duì)低效率的。鑒于DEA分析的結(jié)果，醫(yī)院管理者應(yīng)該檢查縣醫(yī)院的運(yùn)營(yíng)作業(yè)以確定應(yīng)該如何更有效地利用相關(guān)資源。5-1DEA方法總結(jié)下面的分步步驟能幫助你為其他類型的DEA應(yīng)用構(gòu)建線性規(guī)劃模型。注意，我們要衡量其相對(duì)效率的運(yùn)營(yíng)單元被記作第j個(gè)運(yùn)營(yíng)單元。步驟1. 定義決策變量，也就是權(quán)重（每個(gè)運(yùn)營(yíng)單元都有一個(gè)），用于確定虛擬運(yùn)營(yíng)單元的輸入和輸出。步驟2. 寫(xiě)出要求權(quán)重總和等于1的一個(gè)約束條件。步驟3. 對(duì)每個(gè)輸出指標(biāo)，寫(xiě)出一個(gè)要求虛擬運(yùn)營(yíng)單元的輸出大于或等于第j個(gè)運(yùn)營(yíng)單元對(duì)應(yīng)輸出的約束條件。步驟4. 定義一個(gè)決策變量E，它用于確定第j個(gè)運(yùn)營(yíng)單元的輸入可用于虛擬運(yùn)營(yíng)單元的比例。步驟5. 對(duì)每個(gè)輸入指標(biāo)，寫(xiě)出一個(gè)要求虛擬運(yùn)營(yíng)單元的輸入小于或等于虛擬運(yùn)營(yíng)單元可用資源的約束條件。步驟6. 寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，即MinE。收益管理休閑航空公司收益管理是在庫(kù)存水平一定的情況下，通過(guò)對(duì)不易保存產(chǎn)品的短期需求管理，以取得潛在收益的最大化。這個(gè)方法最早由美國(guó)航空公司提出，最初是用于確定航班中折扣價(jià)座位和全價(jià)座位的數(shù)量?，F(xiàn)在的應(yīng)用領(lǐng)域包括旅館、公寓出租、汽車出租、郵輪以及高爾夫球場(chǎng)。為了說(shuō)明收益管理的基本原理，我們將用一個(gè)線性規(guī)劃模型為休閑航空公司（LeisureAir）建立一個(gè)收益管理計(jì)劃，這是一家為匹茲堡、紐瓦克、夏洛特、默特爾比奇和奧蘭多提供航空服務(wù)的地區(qū)航空公司。5-2休閑航空公司:問(wèn)題描述休閑航空公司有兩架波音737-400飛機(jī)，一架的駐場(chǎng)在匹茲堡出，另一架的駐場(chǎng)在紐瓦克。

兩架飛機(jī)都有一個(gè)容量為132個(gè)座位的經(jīng)濟(jì)艙。每天早上駐場(chǎng)在匹茲堡的飛機(jī)在夏洛特中途停留后飛往奧蘭多，駐場(chǎng)在紐瓦克的飛機(jī)在夏洛特中途停留后飛往默特爾比奇。每天結(jié)束前，兩架飛機(jī)再回到其出發(fā)地。為了把問(wèn)題的規(guī)?？刂圃谝粋€(gè)合理的范圍內(nèi)，我們只考慮早上匹茲堡到夏洛特、夏洛特到奧蘭多、紐瓦克到夏洛特，以及夏洛特到默特爾比奇的航程。休閑航空公司的機(jī)票有兩個(gè)價(jià)位等級(jí)：折扣票Q等級(jí)以及全價(jià)票Y等級(jí)。預(yù)訂折扣票Q等級(jí)必須提前14天并且要在目的地城市停留一晚（周六）。使用全價(jià)票Y等級(jí)可以在任何時(shí)間預(yù)訂，而且日后改簽也沒(méi)有任何損失。

為了確定休閑航空能為其顧客提供航線和費(fèi)用選擇，我們不僅須考慮每個(gè)航班的起飛地和目的地，還得考慮費(fèi)用等級(jí)。5-2休閑航空公司:模型建立休閑航空16個(gè)起飛地—目的地—旅程費(fèi)5月5日，休閑航空為其16個(gè)ODIF確定費(fèi)用并對(duì)顧客需求進(jìn)行預(yù)測(cè)。決策變量為了建立一個(gè)線性規(guī)劃模型來(lái)確定休閑航空應(yīng)為每種費(fèi)用等級(jí)分配多少個(gè)座位，我們需要定義16個(gè)決策變量，即為每個(gè)起飛地—目的地—旅程費(fèi)定義一個(gè)變量。我們用P代表匹茲堡，N代表紐瓦克，C代表夏洛特，M代表默特爾比奇，O代表奧蘭多，決策變量采用下面的形式：PCQ:

分配給匹茲堡—夏洛特Q等級(jí)的座位數(shù)PMQ:分配給匹茲堡—默特爾比奇Q等級(jí)的座位數(shù)POQ:分配給匹茲堡—奧蘭多Q等級(jí)的座位數(shù)PCY:

分配給匹茲堡—夏洛特Y等級(jí)的座位數(shù) ?NCQ:分配給紐瓦克—夏洛特Q等級(jí)的座位數(shù) ?COY:分配給夏洛特—奧蘭多Y等級(jí)的座位數(shù)5-2休閑航空公司:約束條件容量的約束條件

需求的約束條件5-2休閑航空公司:完整的線性規(guī)劃（LP）模型

5-2休閑航空公司:模型求解休閑航空收益管理問(wèn)題的最優(yōu)解如圖所示：5-2休閑航空公司:結(jié)果解讀最優(yōu)解的值是103103美元。最優(yōu)解顯示PCQ=33，PMQ=44，POQ=22，PCY=16，等等。我們看到約束條件6的對(duì)偶值為85美元。對(duì)偶值告訴我們?nèi)绻俣嘣黾右粋€(gè)Q等級(jí)座位給匹茲堡—默特爾比奇，收益將增加85美元。收益的這個(gè)增量被稱作這個(gè)起飛地—目的地—旅程費(fèi)的出價(jià)。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)ODIF的出價(jià)會(huì)告訴休閑航空預(yù)訂代理，當(dāng)這個(gè)ODIF售空后再增加一個(gè)額外預(yù)訂的價(jià)值。通過(guò)觀察圖中需求的約束條件的對(duì)偶值，我們看到最高的對(duì)偶值（出價(jià)）為約束條件8（PCY≤16）的376美元。給定這個(gè)收益貢獻(xiàn)，預(yù)訂代理將最可能接受此額外預(yù)訂，盡管這樣會(huì)導(dǎo)致航班的超量預(yù)訂。然而，當(dāng)前解中的出價(jià)信息和一些簡(jiǎn)單的決策規(guī)則也能使預(yù)訂代理做出改進(jìn)公司收益的決策。理論上，每次在一個(gè)起飛地—目的地—旅程費(fèi)的容量?jī)?nèi)接受一個(gè)預(yù)訂，線性規(guī)劃模型就應(yīng)該被更新，進(jìn)行重新求解以得到新的座位分配和出價(jià)信息。在實(shí)踐中，因?yàn)樯婕按罅亢桨?，所以?shí)時(shí)更新分配是不實(shí)際的。5-3投資組合模型和資產(chǎn)分配共同基金的投資組合資產(chǎn)分配是關(guān)于決定如何分配投資資金到多種資產(chǎn)種類的過(guò)程，如股票、債券、共同基金、房地產(chǎn)和現(xiàn)金等。

投資組合模型用于確定應(yīng)該在每種資產(chǎn)種類上分配的投資資金的比例。它的目標(biāo)是建立一個(gè)投資組合，使風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)達(dá)到最佳平衡。Hauck投資服務(wù)公司希望建立一個(gè)投資組合模型，用于確定一個(gè)由6種共同基金構(gòu)成的最佳投資組合。共同基金的年回報(bào)率Hauck投資服務(wù)公司的投資組合管理者認(rèn)為下表可以代表這6種共同基金下一年回報(bào)的所有可能性。第1年所有共同基金的年回報(bào)都是好的，第2年大部分共同基金的回報(bào)也是好的，但是第3年小市值價(jià)值基金的回報(bào)不好，第4年中期債券基金的回報(bào)不好，第5年6種共同基金中有4種的回報(bào)都不好。5-3保守的投資組合決策變量Hauck投資服務(wù)公司的一個(gè)投資組合管理者被要求為公司的保守客戶建立一個(gè)投資組合，這類客戶對(duì)風(fēng)險(xiǎn)有很強(qiáng)烈的規(guī)避傾向。.經(jīng)理的任務(wù)是決定投資在這6種共同基金上的各個(gè)比例，以使投資組合能以最小的風(fēng)險(xiǎn)提供最大可能的回報(bào)。

為了確定每種共同基金的投資比例，我們使用下面的決策變量：FS=外國(guó)股票基金的投資比例IB=中期債券基金的投資比例