三角恒等變換及解三角形-2021屆新高考數(shù)學知識點總結(jié)與題型歸納(解析版)

第12講：三角恒等變換及解三角形考點1：三角恒等變形一、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin((2)cos((3)tan(α±β)=tan變形式tanα±2.二倍角公式(1)sin2變形式sinα(2)cos2變形式cos2α=(3)tan23.輔助角公式y(tǒng)=asin其中φ所在的象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ4.化簡中常用1的技巧“1”的代換1=sin2α+cos2α典例精講【典例1】已知x，y∈R，滿足x2+2xy+4y2＝6，則z＝x2+4y2的取值范圍為（）A．[4，12] B．[4，+∞） C．[0，6] D．[4，6]【分析】x2+2xy+4y2＝6變形為（x+y）2+（3y）2＝6，設x+y=6cosθ，3y＝sinθ，θ∈[0，2π）．代入z＝x2+4y2【解答】解：x2+2xy+4y2＝6變形為（x+y）2+（3y）2＝6，設x+y=6cosθ，3y=∴y=2sinθ，x=6cosθ∴z＝x2+4y2＝（6cosθ-2sinθ）+4（2sinθ）＝4sin2θ﹣43＝2×（1﹣cos2θ）﹣23sin2θ+6＝8﹣4sin（2θ+π∵sin（2θ+π∴z∈[4，12]．故選：A．【點評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【典例2】已知函數(shù)f（x）＝sin（2x-π3），若方程f（x）=13在（0，π）的解為x1，x2（x1＜x2），則sin（x1A．-223 B．-32 【分析】由已知可得x2=5π6-x1，結(jié)合x1＜x2求得x1的范圍，再由sin（x1﹣【解答】解：∵0＜x＜π，∴2x-π3∈（-π又∵x1，x2是sin（2x-π3）=1∴x2∴sin（x1﹣x2）＝sin（2x1-∵x1＜x2，x2∴0＜x1＜5π12，則2x1-π3∈（-∴sin（x1﹣x2）=-2故選：A．【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．【典例3】已知sin2α=23，則A．3 B．2 C．3 D．2【分析】由二倍角化簡，sin2α＝2sinαcosα，可得2sinαcosαsi【解答】解：由sin2α＝2sinαcosα，可得2sinαcosαsi∴2tanαta即tan2α﹣3tanα+1＝0．可得tanα+1故選：C．【點評】本題主要考察了同角三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式的應用，屬于基本知識的考查．【典例4】已知，，則A． B． C． D．【分析】把已知等式兩邊平方，求得，進一步得到的值，聯(lián)立求得，，得到，代入得答案．【解答】解：由，，得，，則，，．聯(lián)立，解得，，．．故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用，是中檔題．【典例5】已知-π2＜A．-53 B．-255 【分析】2tanβ＝tan2α，∴2tan（β﹣α+α）=2tanα1-tan【解答】解：∵2tanβ＝tan2α，∴2tan（β﹣α+α）=2tanα∴2tan(β-α)+2tanα1-tan(β-α)tanα∴-16+2tanα1+8tanα化簡得tanα＝﹣2，∴α∈（-π∴sinα=-2故選：B．【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題．【典例6】若α∈(π2，π)A．-429 B．429 【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡已知等式可求cosα+sinα=23①，兩邊平方，解得sin2α=-79，可求cosα﹣sinα【解答】解：∵α∈(π2，π)∴3（cos2α﹣sin2α）=2∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=2∴cosα+sinα=2∴兩邊平方，可得：1+sin2α=29，解得：sin2α∴cosα﹣sinα=-(cosα-sinα∴由①+②可得：cosα=2-46，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（2-46故選：A．【點評】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．【典例7】已知，，則．【分析】根據(jù)條件得到，，進而求得，，再利用兩角和差公式運算即可【解答】解：，則有，兩邊平方可得：，則，即有又因為，所以，，則，（法一）將與聯(lián)立后解得，，則，所以．（法二）因為，所以．故答案為：．【點評】本題考查兩角和差的三角函數(shù)的求值，涉及方程思想，屬于中檔題【典例8】已知，是函數(shù)在，上的兩個零點，則A． B． C． D．0【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式，同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和差的三角公式分別進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：解法一：依題意，，故，由，得，且，所以，是方程的兩個異根．同理可證，，為方程的兩個異根．可以得到，理由如下：假設，則，又，，，則，這與已知相悖，故．從而，為方程的兩個異根，故．同理可求，所以．解法二：令，得．令，即，則，即為與直線在，上交點的橫坐標，由圖象可知，，故，又，所以．解法三：依題意，不妨設，則點，為直線與單位圓的兩個交點，如圖所示．取中點為，則，記．則，所以，．另一方面，，，故，從而．故選：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，以及利用三角函數(shù)輔助角公式，同角關(guān)系以及兩角和差的三角公式進行轉(zhuǎn)化計算是解決本題的關(guān)鍵．難度中等．

考點2：解三角形一、三角形當中的角與角之間的關(guān)系1.A+B+C=π2.sinA3.cosA4.tanA二、正弦定理1.正弦定理：asinA=2.正弦定理變形式：(1)sinA=a2R(2)a:b:c=3.正弦定理的應用(1)已知兩角和任意一邊，求另一角和其它的兩條邊(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其中的對角三、余弦定理1.余弦定理：a2b2c22.余弦定理變形式：cosAcosBcosC3.余弦定理的應用(1)已知三邊，求各角(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三個邊和其它的兩個角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的角和邊．四、面積公式1.SΔ=12aha=12bhb2.S3.S4.SΔ=

典例精講【典例1】在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．已知b=35，c=62，tan（A+π4）＝2，則A．15 B．35 C．3 D．【分析】先根據(jù)已知可得cosA的值，再根據(jù)余弦定理可得a．【解答】解：由tan（A+π4）=tanA+11-tanA=2，解得tanA由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝45+72﹣3610×∴a＝3．故選：C．【點評】本題考查了余弦定理，屬中檔題．【典例2】如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面積為33，則線段ABA．3 B．22 C．23 【分析】由已知可求△ADC的面積為3，利用三角形的面積公式可求AC＝23，根據(jù)余弦定理在△ACD中可求CD＝2，由已知可求∠C＝30°，BD＝4，在△ABC中，根據(jù)余弦定理即可解得AB的值．【解答】解：∵BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面積為33∴△ADC的面積為3，可得：12∴解得：AC＝23，∵△ACD中，CD2＝12+4﹣2×23∴解得CD＝2，∵∠DAC＝30°，AD＝2，BD＝2DC，∴∠C＝30°，BD＝4，∴在△ABC中，AB2＝（23）2+62﹣2×23×6×cos30°＝12，解得：AB＝2故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，注重考查了運算能力和轉(zhuǎn)化的思想方法，本題的難點在于將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ADC的面積，這樣才能把已知條件轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，再根據(jù)正弦定理，余弦定理得出相應的邊長，屬于中檔題．【典例3】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sinBsinC，cb=12A．2 B．12 C．2+23【分析】由條件利用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，再由余弦定理可得cosA=-12，可得A＝60°，利用正弦函數(shù)，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式從而求得tan【解答】解：在△ABC中，由sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sinBsinC，利用正弦定理可得：a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，再由余弦定理可得：cosA=b∴A＝60°，∵cb=12+3，由正弦定理可得：sin可得：sin（2π3-B）＝sinB（12+3），32cosB+12sin∴可得：tanB=1故選：B．【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角．【典例4】如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進50m到達B處，又測得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝3-1【分析】先在△ADB中用正弦定理求得BD，再在△DBC中用正弦定理求得sin∠DCB，然后根據(jù)∠DCB＝θ+π【解答】解：∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，在△ADB中，由正弦定理得：ABsin∠ADB=BDsin∠DAB，∴BD在△DBC中，CD＝25，∠DBC＝45°，BD＝25（6-2），由正弦定理BDsin∠DCB=∴sin（θ+π2）=3故答案為：3-1【點評】本題考查了正弦定理以及誘導公式，屬中檔題．【典例5】如圖所示，為了測量，處島嶼的距離，小明在處觀測，，分別在處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛40海里至處，觀測在處的正北方向，在處的北偏西方向，則，兩處島嶼間的距離為A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里【分析】分別在和中利用正弦定理計算，，再在中利用余弦定理計算．【解答】解：連接，由題意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，．在中，由余弦定理得．故選：．【點評】本題考查了解三角形的應用，合理選擇三角形，利用正余弦定理計算是關(guān)鍵，屬于中檔題．【典例6】已知的三邊分別為，，，若滿足，則面積的最大值為A． B． C． D．【分析】由三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理可求，進而利用基本不等式，從而可求，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值．【解答】解：由三角形面積公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，當時，取得最大值，的最大值為．故選：．【點評】本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，基本不等式，二次函數(shù)的最值的綜合應用，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化思想，難度中等．【典例7】的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，則的周長的最大值是A． B． C． D．【分析】由已知利用余弦定理可求，利用和的值，根據(jù)正弦定理表示出和，代入三角形的周長中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到周長的最大值．【解答】解：，由正弦定理可得：，，，，由，結(jié)合正弦定理得：，，，則，可知周長的最大值為．故選：．【點評】此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．

綜合練習一．選擇題（共5小題）1．已知函數(shù)，若直線是曲線的一條對稱軸，則．【分析】引入輔助角，根據(jù)對稱性的性質(zhì)可得，，從而，，結(jié)合誘導公式及二倍角公式即可求解．【解答】解：，的一條對稱軸方程是，，，．，．，，，．故答案為：．【點評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，突出考查其對稱性，考查分析、運算能力，屬于中檔題．2．若關(guān)于x的方程（sinx+cosx）2+cos2x＝m在區(qū)間[0，π）上有兩個根x1，x2，且|x1﹣x2|≥π4，則實數(shù)A．[0，2） B．[0，2] C．[1，2+1] D．[1，2【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：關(guān)于x的方程（sinx+cosx）2+cos2x＝m在區(qū)間[0，π）上有兩個根x1，x2，方程即sin2x+cos2x＝m﹣1，即sin（2x+π4）∴sin（2x+π4）=m-12在區(qū)間[0，π）上有兩個根x1，x2，且|x1﹣x∵x∈[0，π），∴2x+π4∈[π4，9π求得0≤m≤2，故選：B．【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．3．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形的一個銳角為α，且小正方形與大正方形面積之比為9：25，則sin2α的值為（）A．49 B．59 C．916【分析】由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系可得5sinα﹣5cosα＝3，兩邊平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵小正方形與大正方形面積之比為9：25，設小正方形的邊長為3，則大正方形邊長為5，由題意可得，小直角三角形的三邊分別為5cosα，5sinα，5，∵4個小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即5sinα﹣5cosα＝3，平方可得sin2α=16故選：D．【點評】本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，二倍角的正弦公式的應用，屬于中檔題．4．在中，角，，所對的邊分別為，，，表示的面積，若，，則A． B． C． D．【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得，結(jié)合的范圍可求，由余弦定理、三角形面積公式可求，結(jié)合范圍，可求的值，根據(jù)三角形面積公式可求的值．【解答】解：由正弦定理及，得，可得：，可得：，因為，所以；由余弦定理、三角形面積公式及，得，整理得，又，所以，故．故選：．【點評】本題主要考查正、余弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝3，c＝23，bsinA=acos(B+πA．1 B．2 C．3 D．5【分析】由正弦定理得bsinA＝asinB，與bsinA＝acos（B+π6），由此能求出B．由余弦定理即可解得【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：asinA=bsinB，得bsinA＝又bsinA＝acos（B+π∴asinB＝acos（B+π6），即sinB＝cos（B+π6）＝cosBcosπ6-sinBsinπ∴tanB=3又B∈（0，π），∴B=π∵在△ABC中，a＝3，c＝23，由余弦定理得b=a故選：C．【點評】本題考查角的求法，考查兩角差的余弦值的求法，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．二．填空題（共4小題）6．已知sin2（α+π6）+cos2（α-π3）=32【分析】根據(jù)α-π2=【解答】解：由sin2（α+π6）+cos2（α-π3）=32得sin2（α+π得sin2（α+π6）+sin2（α+π得sin2（α+π6）=34，得sin（α∵α∈（0，π），∴α+π6∈（π6∴α+π6=α=π6或α故答案為：π6或π【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題．7．在△ABC中，若tanA+tanB+tanAtanB＝1，則cos2A+cos2B的范圍為（32，2【分析】將已知條件切化弦可得A+B=π4，B=π4-A，再把cos2A+cos2B化成1【解答】解：由tanA+tanB+tanAtanB＝1得sinAcosA得sin（A+B）＝cos（A+B），得tan（A+B）＝1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=π4，∴B=π4-∴cos2A+cos2B＝cos2A+cos2（π4-A）=1+cos2A2+1+cos(π＝1+22sin（2A∵0＜A＜π4，∴2A+π4∈（π4，3π4cos2A+cos2B的范圍為（32，2故答案為：（32，2【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，屬中檔題．8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，3+bc=sinC+sinAsinC+sinA-sinB，則