專題05 線段、角（對角線）的計(jì)數(shù)模型解讀與提分精練-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊同步課堂（北師大版2024）

第第頁專題05線段、角（對角線）的計(jì)數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面分割的計(jì)數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形分割個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.線段的計(jì)數(shù)模型 2模型2.角度的計(jì)數(shù)模型 6模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型 9模型4.多邊形的對角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型 13 17模型1.線段的計(jì)數(shù)模型如果線段上有n個(gè)點(diǎn)（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么該線段上共有多少條線段？我們先取n=5進(jìn)行研究，如下圖：結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；證明：①以A為端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD、AE，有4條；②以B為端點(diǎn)的線段有：BC、BD、BE，有3條；③以C為端點(diǎn)的線段有：CD、CE，有2條；④以D為端點(diǎn)的線段有：DE，有1條；故圖中線段總數(shù)量：4+3+2+1=10（條）注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；結(jié)論拓展：若有n個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2024·自貢·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)、、、是直線上的四個(gè)點(diǎn)，圖中共有線段（

）A．7條 B．6條 C．5條 D．4條【答案】B【分析】可用公式法直接確定線段的個(gè)數(shù)．【詳解】解：當(dāng)一條線上由n個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有1+2+3+……+（n-1）=個(gè)線段∴此題圖中共有==6（條）故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查同一直線上點(diǎn)與線段的數(shù)量關(guān)系，做到不重不漏是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級·重慶·假期作業(yè)）如圖所示，由泰山始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵禾┥健獫?jì)南——淄博——濰坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種．A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】設(shè)泰山??濟(jì)南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，數(shù)出利用上述五點(diǎn)為端點(diǎn)的線段條數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)泰山??濟(jì)南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，則共有線段：、、、、、、、、、，共10條，，∴要為這次列車制作的單程火車票10種．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段、射線，要注意單程票，切記理解成往返車票而出錯(cuò)．例3．（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）某列車往返于菏澤至臨沂，運(yùn)行途中停靠的車站依次是：菏澤——巨野——濟(jì)寧——兗州——臨沂，那么這次列車需要制作火車票（

）種．A．6 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，根據(jù)每個(gè)點(diǎn)做起點(diǎn)都有4個(gè)終點(diǎn)車站求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，這次列車需要制作火車票：（種），故選：D．例4．（23-24七年級上·重慶·期中）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；(2)當(dāng)線段上有個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有多少條？(3)根據(jù)上述信息解決下面的問題：①某學(xué)校七年級共有20個(gè)班級進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩個(gè)班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個(gè)車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點(diǎn)站與終點(diǎn)站之分）？【答案】(1)3，6，10(2)線段總共有條(3)①該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行190場；②需要設(shè)置132種車票【分析】（1）根據(jù)線段的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）中的等式，得到以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有條；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）當(dāng)線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）．答案：3，6，10（2）當(dāng)線段上有個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；因?yàn)椋l），所以（條）．答：線段總共有條．（3）①當(dāng)時(shí)，（場）．答：該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行190場．②當(dāng)線段上（除兩端點(diǎn)，）有10個(gè)點(diǎn)時(shí)，∴，，∴車票有（種）．答：需要設(shè)置132種車票．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到一條線段上有個(gè)點(diǎn)，可以得到條線段．例5．（23-24七年級下·浙江舟山·期末）【問題提出】歐洲杯正如火如荼進(jìn)行中，本次比賽支參賽球隊(duì)分成個(gè)小組，小組賽每小組支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，（任何一隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場且只比賽一場，不同小組之間不進(jìn)行小組賽），則本次歐洲杯總計(jì)有幾場小組賽比賽？【構(gòu)建模型】為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出個(gè)點(diǎn)（任意個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），每個(gè)點(diǎn)與另外個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，實(shí)際只有條線段．（1）若某次比賽有支隊(duì)伍進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知一共要安排_(tái)_____場比賽；（2）根據(jù)以上規(guī)律，若有支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則一共要安排_(tái)_____場比賽．【實(shí)際應(yīng)用】（3）年歐洲杯足球賽，總計(jì)需要安排_(tái)_____場小組賽．（4）甬舟鐵路預(yù)計(jì)年通車，屆時(shí)杭州到舟山的車程將縮短至一個(gè)半小時(shí)左右，從起點(diǎn)杭州站出發(fā)，途經(jīng)紹興、余姚、寧波、馬岙，至終點(diǎn)白泉站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為______種．【答案】（1）．（2）（3）（4）30【分析】本題考查了歸納總結(jié)和配對問題，涉及列代數(shù)式及其求值、有理數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)于的關(guān)系式，再根據(jù)實(shí)際情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖②線段數(shù)量進(jìn)行作答．（2）當(dāng)有支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽時(shí)，即在平面內(nèi)畫出個(gè)點(diǎn)（任意個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），每個(gè)點(diǎn)與另外個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，實(shí)際只有條線段，即可得求出比賽的場數(shù)．（3）根據(jù)題意可得，一個(gè)小組會(huì)有場比賽，故六個(gè)小組則共有有場比賽．（4）因?yàn)樾熊囃荡嬖谏宪嚺c下車，所以不需要除去每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況，即一個(gè)車站與另外個(gè)車站都可各形成一張車票，即張車票，得出六個(gè)車站一共形成了種車票．【詳解】（1）由圖②可知，圖中實(shí)際共有條線段，∴根據(jù)題意，可得支隊(duì)伍進(jìn)行單循環(huán)比賽一共要安排場比賽．故答案為：．（2）當(dāng)有支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽時(shí)，即在平面內(nèi)畫出個(gè)點(diǎn)（任意個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），每個(gè)點(diǎn)與另外個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，實(shí)際只有條線段，即根據(jù)以上規(guī)律，若有支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則一共要安排場比賽，故答案為：．（3）根據(jù)題意可得，歐洲杯支參賽球隊(duì)分成個(gè)小組，由上可得一個(gè)小組會(huì)有場比賽，故六個(gè)小組則共有有場比賽，即本次歐洲杯總計(jì)有幾場小組賽比賽，故答案為．（4）由題意可得一共有六個(gè)車站，因?yàn)樾熊囃荡嬖谏宪嚺c下車，所以不需要除去每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況，即每兩個(gè)車站就會(huì)有兩種車票，∴一個(gè)車站與另外個(gè)車站都可各形成一張車票，即張車票，∴這樣六個(gè)車站一共形成了種車票．故答案為．模型2.角度的計(jì)數(shù)模型若過點(diǎn)O作了有n條射線，那么該圖形中共有多少個(gè)角？我們先取n=5進(jìn)行研究，如下圖：結(jié)論：角的數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；證明：①以O(shè)A為角的一邊有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4個(gè)；②以O(shè)B為角的一邊有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3個(gè)；③以O(shè)C為角的一邊有：∠COD、∠COE，有2個(gè)；④以O(shè)D為角的一邊有：∠DOE，有1個(gè)；故圖中角總數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）注意：線段的定義為兩點(diǎn)間的一段直線，因此“直線+兩個(gè)端點(diǎn)”是其核心要素；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個(gè)）。例1．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖所示，圖中小于平角的角共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)角的定義，理清圖示意思即可求解．【詳解】解：先數(shù)出以為一邊的角，再數(shù)出以、、為一邊的角，把他們加起來．也可根據(jù)公式：來計(jì)算，其中，指從點(diǎn)發(fā)出的射線的條數(shù)．∵圖中共有四條射線，∴圖中小于平角的角共有個(gè)．故選：．【點(diǎn)睛】此題通過數(shù)角的個(gè)數(shù)，考查同學(xué)們總結(jié)規(guī)律的能力或公式應(yīng)用的能力，掌握角的概念是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，圖中一共有（

）個(gè)銳角．A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】先數(shù)圖中最小的角有3個(gè)，再數(shù)兩個(gè)小角組成的角有2個(gè)，最后確定有3個(gè)小角組成的角有1個(gè)，從而可得答案．【詳解】解：（個(gè)），答：一共有6個(gè)銳角．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用，掌握“數(shù)角的順序與方法，做到不重復(fù)，不遺漏”是解本題的關(guān)鍵．例3．（23-24七年級上·河南平頂山·階段練習(xí)）如下圖，在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角；畫3條射線，圖中共有個(gè)角；畫條射線所得的角的個(gè)數(shù)是．【答案】10【分析】由題意根據(jù)圖形數(shù)出即可得出畫3條射線，圖中角的個(gè)數(shù)，進(jìn)而依據(jù)結(jié)果得出規(guī)律即可.【詳解】解：∵在已知角內(nèi)畫射線，畫1條射線，圖中共有3個(gè)角，3=；畫2條射線，圖中共有6個(gè)角，6=；畫3條射線，圖中共有10個(gè)角，10=；…，∴畫n條射線，圖中共有個(gè)角.故答案為：10，．【點(diǎn)睛】本題考查對角的概念和規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)求出的結(jié)果探索得出規(guī)律．例4．（23-24七年級上·湖北孝感·期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個(gè)角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個(gè)角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個(gè)角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個(gè)角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊(duì)之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個(gè)角；②由題意可得，從點(diǎn)分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個(gè)角；③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)分別引條射線，，∴得到個(gè)角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，．∴全部賽完共需120場比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型3.直線交點(diǎn)計(jì)數(shù)模型與平面分割的計(jì)數(shù)模型n條直線，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢？最多能將平面分成多少部分呢？直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)101+1=2211+1+2=431+2=31+1+2+3=741+2+3=61+1+2+3+4=11n例1．（23-24七年級上·湖南婁底·期末）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字兩直線相交，最多1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)；像這樣的十條直線相交最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．30個(gè) B．35個(gè) C．40個(gè) D．45個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個(gè)交點(diǎn)．【詳解】解：10條直線兩兩相交，最多有n(n?1)=×10×9=45．故選：D．【點(diǎn)睛】此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法．例2．（2023春·浙江嘉興·七年級?？茧A段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了或個(gè)部分，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．例3．（23-24七年級上·廣西賀州·期末）如圖①，兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn)．如圖②，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)．如圖③，四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)．如圖④，五條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．則n條直線相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查的是直線兩兩相交的交點(diǎn)數(shù)量的探究，先分別求解三條直線，四條直線，五條直線的最多交點(diǎn)數(shù)量，再總結(jié)歸納即可得解．【詳解】解：三條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，四條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，五條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，六條直線交點(diǎn)最多為個(gè)；……n條直線交點(diǎn)最多為．故答案為：例4．（23-24七年級上·重慶·課后作業(yè)）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，……，像這樣，8條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)；（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37，【分析】（1）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時(shí)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可得出n條直線相交最多有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時(shí)最多把平面分成幾部分，總結(jié)出規(guī)律即可n條直線最多把平面分成幾部分．【詳解】解：（1）2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交最多有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；7條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6=21個(gè)交點(diǎn)，8條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)交點(diǎn)，…n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；（2）1條直線最多把平面分成1+1=2部分；2條直線最多把平面分成1+1+2=4部分；3條直線最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4條直線最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；5條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；7條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；8條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；…n條直線最多把平面分成【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，體現(xiàn)了從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，有一定的挑戰(zhàn)性，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．例5．（23-24七年級下·河南南陽·開學(xué)考試）我們知道，兩條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（如圖①）；三條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（如圖②）；四條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)（如圖③）；五條直線兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)（如圖④）；六條直線兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)……條直線兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)呢（用含的代數(shù)式表示）：(1)完成下表直線數(shù)…交點(diǎn)數(shù)…(2)在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？【答案】(1)；；(2)這一輪要進(jìn)行場比賽【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，而，，，，故可猜想，條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn),進(jìn)行一場比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】（1）解：①兩條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)：；②三條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)：；③四條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)：；④五條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)：，⑤六條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)：…條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；故答案為：；；（2）解：該類問題符合上述規(guī)律，所以可將代入，即；故這一輪要進(jìn)行場比賽模型4.多邊形的對角線條數(shù)計(jì)數(shù)模型和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出對角線，這些對角線能把多邊形分割成多少個(gè)三角形呢？n邊形共有多少條對角線呢？結(jié)論：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形；n邊形共有對角線。證明：由連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫多邊形的對角線，可知，從n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，這些對角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形∵n邊形有個(gè)頂點(diǎn)，∴共有n條對角線又∵能形成對角線的兩個(gè)點(diǎn)之間只算1條對角線（即上面的計(jì)算相當(dāng)于每條對角線重復(fù)計(jì)算了一次），∴n邊形有條對角線．例1．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）過一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線共有4條，則該多邊形是（

）A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形【答案】C【分析】本題考查多邊形的對角線公式，根據(jù)從每一個(gè)頂點(diǎn)處可以作的對角線的條數(shù)為計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵過一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對角線有4條，∴多邊形的邊數(shù)為，∴這個(gè)多邊形是七邊形．故選：C．例2．（23-24八年級上·陜西商洛·階段練習(xí)）若過邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線剛好將該邊形分成5個(gè)三角形，則的值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】經(jīng)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，再求對角線條數(shù)即可．【詳解】解：由題可知：，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的對角線與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求解．例3．（23-24七年級上·重慶南岸·期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出8條對角線，那么這個(gè)多邊形對角線的總條數(shù)是（

）A．88 B．80 C．44 D．40【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形的對角線的條數(shù)問題，．掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線和其對角線總數(shù)為是解題關(guān)鍵．根據(jù)一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有8條對角線，可求出該多邊形的邊數(shù)為11，再根據(jù)n邊形對角線的總數(shù)為即可求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，∵一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共引8條對角線，∴，解得：，∴總的對角線的條數(shù)為：（條）．故選：C．例4．（23-24八年級上·湖北咸寧·期末）如圖，一個(gè)四邊形有2條對角線，一個(gè)五邊形有5條對角線，一個(gè)六邊形有9條對角線，則一個(gè)凸邊形有條對角線．【答案】【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，根據(jù)已有多邊形對角線的條數(shù)，歸納出規(guī)律成為解題的關(guān)鍵．先確定一個(gè)四邊形共有2條對角線，一個(gè)五邊形共有5條對角線，一個(gè)六邊形共有9條對角線，據(jù)此歸納規(guī)律即可解答．【詳解】解：一個(gè)四邊形共有2條對角線，一個(gè)五邊形共有5條對角線，一個(gè)六邊形共有9條對角線，則一個(gè)n邊形共有（，且n為整數(shù)）條對角線．故答案為：．例5．（2023春·山東聊城·七年級校聯(lián)考期末）某中學(xué)七年級數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究：“邊形共有多少條對角線”這一問題時(shí)，設(shè)計(jì)了如下表格，請?jiān)诒砀裰械臋M線上填上相應(yīng)的結(jié)果：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)____________多邊形對角線的總條數(shù)__________________應(yīng)用得到的結(jié)果解決以下問題：①求十二邊形有多少條對角線？②過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)的和可能為嗎？若能，請求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】填表：；①54；②可以為，這個(gè)多邊形的邊數(shù)1014【分析】根據(jù)題意求出相應(yīng)數(shù)據(jù)，填表即可；①由表格探求的邊形對角線總條數(shù)公式：得出最終結(jié)果；②從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引條對角線，這些對角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)為，據(jù)此求解．【詳解】解：填表如下：多邊形的邊數(shù)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)3多邊形對角線的總條數(shù)59故答案為：3，，，；把代入得，．十二邊形有條對角線．能．由題意得，23，解得=1014．多邊形的邊數(shù)n是正整數(shù)，過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)的和可以為，這個(gè)多邊形的邊數(shù)1014．【點(diǎn)睛】本題考查邊形對角線公式，過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線條數(shù)與這些對角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)，掌握對角線數(shù)量形成的規(guī)律，熟練應(yīng)用規(guī)律是解題關(guān)鍵．1．（2024·安徽蚌埠·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)線段的定義“直線上兩點(diǎn)間的有限部分（包括兩個(gè)端點(diǎn)）”找出以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段即可選擇．【詳解】解：根據(jù)題意可知：以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：AB，AC，AD共3條，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的定義，理解線段的定義，正確找出以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·四川眉山·七年級統(tǒng)考期中）六個(gè)好朋友見面互相握手致意，每兩個(gè)人握一次手，握手的次數(shù)一共是（

）A．20 B．30 C．15 D．36【答案】C【詳解】試題分析：簡單的排列問題．第一個(gè)人握手5次,第二個(gè)人握手4次,第三個(gè)人握手3次,第四個(gè)人握手2次,第五個(gè)人握手1次，共計(jì)15次故選C考點(diǎn)：簡單的排列問題3．（2023秋·四川成都·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AOE是一條直線，圖中的角共有（）A．4個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】D【詳解】解：圖中的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，∠AOE，共10個(gè)，故選D．點(diǎn)評：本題考查了對角的定義的理解，注意：數(shù)角時(shí)從一邊數(shù)，目的是為了做到不重不漏，題目較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．4．（2023春·山東泰安·七年級校考階段練習(xí)）平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線，則n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】兩點(diǎn)確定一條直線；不同三點(diǎn)最多可確定3條直線；不同4點(diǎn)最多可確定（1+2+3）條直線，不同5點(diǎn)最多可確定（1+2+3+4）條直線，因?yàn)?+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8個(gè)點(diǎn)最多可確定28條直線．故選：C．5．（2023秋·陜西榆林·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖棋盤上有黑、白兩色棋子若干，找出所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線，這樣直線共有多少條（）A．6條 B．5條 C．4條 D．3條【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)題意可以畫出適合條件的幾種情況，從而可以解答本題．解：如下圖所示：則所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線共有四條：①豎直的三顆黑色的，②豎直的三顆白色的，③斜著三顆黑色的，④斜著三顆白色的，故選C．考點(diǎn)：直線、射線、線段．6．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）A．46個(gè) B．55個(gè) C．56個(gè) D．67個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個(gè)．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了過平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．7．（2023春·江蘇宿遷·七年級校考期中）若一個(gè)邊形從一個(gè)頂點(diǎn)最多能引出條對角線，則是(

)A．5 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】可根據(jù)邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線與邊的關(guān)系：，列方程求解．【詳解】解：設(shè)多邊形有條邊，則，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線．解題的關(guān)鍵是明確多邊形有條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)所有的對角線有條，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成個(gè)三角形．8．（2023秋·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出m條對角線，它們將五邊形分成n個(gè)三角形．則m、n的值分別為（

）A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3【答案】C【分析】從一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是n-3，分成的三角形數(shù)是n-2．【詳解】解：對角線的數(shù)量m=5-3=2（條）；分成的三角形的數(shù)量為n=5-2=3（個(gè)）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對角線及分割成三角形個(gè)數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶：一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是n-3，分成的三角形數(shù)是n-2．9．（23-24八年級下·湖南邵陽·期中）我們學(xué)習(xí)多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線，…，請你計(jì)算凸十邊形對角線的總條數(shù)（

）A．35 B．44 C．54 D．64【答案】A【分析】本題主要考查了對角線條數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一個(gè)n邊形的對角線條數(shù)為．根據(jù)一個(gè)n邊形的對角線條數(shù)為進(jìn)行求解即可．【詳解】解：一個(gè)四邊形共有2條對角線，一個(gè)五邊形共有5條對角線，一個(gè)六邊形共有9條對角線……一個(gè)十邊形共有條對角線，故A正確．故選：A．10．（23-24七年級·黑龍江大慶·期末）往返A(chǔ)，B兩地的客車，中途停靠兩個(gè)站，客運(yùn)站根據(jù)兩站之間的距離確定票價(jià)（距離不相等，票價(jià)就不同）．若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價(jià)共有種．【答案】6【分析】本題考查直線、射線、線段，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)線段的數(shù)量解答即可．【詳解】解：如圖，圖中共有條線段，即，，，，，，因此不同的票價(jià)共有6種，故答案為：6．11．（23-24八年級上·湖南張家界·期末）我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)，1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面最多分成部分……，n條直線將平面最多分成部分，則=．【答案】【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．根據(jù)題意，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，n條直線將平面最多分成部分，進(jìn)而得到，再進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是得到．【詳解】解：∵1條直線將平面分成部分，2條直線將平面最多分成部分，3條直線將平面最多分成部分，4條直線將平面形多分成部分……，∴n條直線將平面最多分成部分，∴，∴．故答案為：．12．（2023秋·四川達(dá)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系:如果線段AB上有三個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有3條，如果線段AB上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)有6條，如果線段AB上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有10條，當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有多少.【答案】條【分析】根據(jù)給出的條件進(jìn)行觀察找出規(guī)律：當(dāng)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)為：條，問題可解．【詳解】解：當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)為故答案為：條【點(diǎn)睛】本題考查線段條數(shù)計(jì)算和規(guī)律性探索，解答關(guān)鍵是辨別線段數(shù)目增長的規(guī)律．13．（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點(diǎn)引出1條射線，那么圖中共有3個(gè)角；如果引出2條射線，共有6個(gè)角；如果引出n條射線，共有個(gè)角．【答案】【分析】首先分析在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)端點(diǎn)引1條射線，有1+2個(gè)角，引2條線段，有1+2+3個(gè)角，···進(jìn)而得出引n條線段，有角的個(gè)數(shù)，得出答案即可．【詳解】在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)端點(diǎn)引1條射線，有1+2=3（個(gè)）角，引2條線段，有1+2+3=6（個(gè)）角，···引n條線段，有（個(gè)）角，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)角的個(gè)數(shù)，掌握數(shù)字變化規(guī)律式解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）從一個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)和其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成10個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，過這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)能作條對角線．【答案】129【分析】從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，把n邊形分為（n-2）的三角形．【詳解】由題意可知，n-2=10，解得n=12．∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12;12-3=9,∴過這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)能作9條對角線.故答案為12；9.【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是掌握從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以把n邊形分為（n-2）的三角形．15．（2023秋·安徽蕪湖·七年級?？计谀┤鐖D，兩條直線相交只有1交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，則（1）五條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；（2）條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)（，且為正整數(shù)）.【答案】【分析】根據(jù)圖形相鄰兩個(gè)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的差為從2開始的連續(xù)整數(shù)，然后列式計(jì)算即可得解；根據(jù)圖形列出交點(diǎn)個(gè)數(shù)的算式，然后計(jì)算即可得解．【詳解】解：三條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，四條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，五條直線交點(diǎn)最多為個(gè)，六條直線交點(diǎn)最多為個(gè)；……n條直線交點(diǎn)最多為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，發(fā)現(xiàn)規(guī)律題，觀察出相鄰兩個(gè)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的差為連續(xù)整數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．（23-24七年級上·湖北荊門·單元測試）如圖，在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條射線，可得6個(gè)銳角；畫3條射線，可得10個(gè)銳角…照此規(guī)律，畫10條射線，可得銳角個(gè)．

【答案】66【分析】此題考查角的概念，解題關(guān)鍵在于掌握從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是，難度適中．根據(jù)題意，從基本圖形出發(fā)，看每一次所得銳角個(gè)數(shù)比上一次增加多少個(gè)銳角，尋找一般規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵在銳角內(nèi)部，畫1條射線，可得個(gè)銳角；在銳角內(nèi)部，畫2條射線，可得個(gè)銳角；在銳角內(nèi)部，畫3條射線，可得個(gè)銳角；…∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是：，∴畫10條不同射線，可得銳角（個(gè)）．故答案為：66．17．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）（1）在一條直線上取1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、…、n個(gè)點(diǎn)，分別可以得到多少條線段？請畫示意圖幫助分析，直接填寫下表回答：直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)12345…n共有線段條數(shù)…（2）平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)、…、n個(gè)點(diǎn)，過任意兩點(diǎn)作一條直線，最多可以作幾條直線？請畫示意圖幫助分析，直接填寫下表回答：平面內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)2345…n最多可作直線條數(shù)…【答案】（1）圖見解析，0，1，3，6，10，；（2）圖見解析，1，3，6，10，【分析】（1）根據(jù)題意畫出示意圖即可求出直線上取1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)時(shí)的線段條數(shù)，找到點(diǎn)的個(gè)數(shù)和線段條數(shù)之間的關(guān)系即可求出n個(gè)點(diǎn)時(shí)線段的條數(shù)．（2）根據(jù)題意畫出示意圖即可求出平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)時(shí)最多可作直線條數(shù)，找到點(diǎn)的個(gè)數(shù)和直線條數(shù)條數(shù)之間的關(guān)系即可求出n個(gè)點(diǎn)時(shí)線段的條數(shù)．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，在一條直線上取1個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，共有0條線段；在一條直線上取2個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，共有1條線段；在一條直線上取3個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，共有3條線段；在一條直線上取4個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，共有6條線段；在一條直線上取5個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，共有10條線段；…在一條直線上取n個(gè)點(diǎn)時(shí)，共有條線段；故答案為：0，1，3，6，10，；．（2）當(dāng)平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，最多可作1條直線；當(dāng)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，最多可作3條直線；當(dāng)平面內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，最多可作6條直線；當(dāng)平面內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，如圖所示，最多可作10條直線；…當(dāng)平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可作條直線；故答案為：1，3，6，10，．【點(diǎn)睛】此題考查了直線，線段的概念和兩點(diǎn)確定一條線段，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線，線段的概念和兩點(diǎn)確定一條線段．18．（23-24七年級上·重慶·單元測試）閱讀并填空：問題：在一條直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個(gè)問題，我們可以這樣考慮，以為端點(diǎn)的線段有，，共3條，同樣以為端點(diǎn)，以為端點(diǎn)，以為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個(gè)3，即4×3＝12（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有條線段．那么，若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有條線段．知識遷移：若在一個(gè)銳角內(nèi)部畫2條射線，，則這個(gè)圖形中總共有個(gè)角；若在內(nèi)部畫條射線，則總共有個(gè)角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個(gè)火車站，若一列火車往返過程中，必須停靠每個(gè)車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】610620【分析】問題：根據(jù)線段的定義以及閱讀部分提供的思路解答；知識遷移：結(jié)合問題部分的解題思路，再根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計(jì)算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則；；；知識遷移：在內(nèi)部畫2條射線，則圖中有個(gè)不同的角，在內(nèi)部畫n條射線，則圖中有個(gè)不同的角；學(xué)以致用：5個(gè)火車站代表的所有線段的條數(shù)，，需要車票的種數(shù)：（種）．故答案為：6，10，，6，，20；【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段的計(jì)數(shù)問題，角的計(jì)數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．19．（24-25七年級上·重慶·假期作業(yè)）數(shù)學(xué)中規(guī)定：連接多邊形任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線．正多邊形……邊數(shù)456…一個(gè)頂點(diǎn)可畫對角線數(shù)量123…對角線總數(shù)量259…聰聰是個(gè)喜歡思考的學(xué)生，他發(fā)現(xiàn)正多邊形的對角線數(shù)量和正多邊形的邊數(shù)存在某種規(guī)律（如圖），照這樣的規(guī)律，正七邊形共有條對角線，正n邊形共有條對角線．【答案】14【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，關(guān)鍵是掌握計(jì)算公式；觀察題意可知，根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)每個(gè)引出條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為（，且n為整數(shù)）【詳解】解：根據(jù)分析可知，n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，∴正n邊形共有條對角線。當(dāng)時(shí)，所以從正七邊形的有條對角線，故答案為：，20．（2023秋·河北衡水·七年級統(tǒng)考期末）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角；

（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個(gè)不同的角?

（3）3條射線呢?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個(gè)不同的角?

請你先解答以上問題，再結(jié)合已學(xué)過的知識，針對類似的圖形也提出三個(gè)問題并作答．(要求：畫出圖形，寫出題干，提出問題并作答)【答案】（2）6；（3）10；有個(gè)不同的角；提出三個(gè)問題并作答見解析.【分析】（2）根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；（3）在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個(gè)數(shù)即得畫3條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；把角換成線段，增加的射線條數(shù)換成線段上點(diǎn)的個(gè)數(shù)解答即可．【詳解】解：（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB共1+2+3=6個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個(gè)不同的角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則有個(gè)不同的角．提出問題：（1）如圖3，線段AB上有一個(gè)點(diǎn)C，則圖3中共有條不同的線段；（2）如圖4，線段AB上有兩個(gè)點(diǎn)C、D，則圖中共有幾條不同的線段？（3）線段AB上有3個(gè)點(diǎn)呢?你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)能有幾條不同的線段?解：（1）圖3中有：AC、AB、CB共3條不同的線段；故答案為：3；（2）如圖4，圖中有：AC、AD、AB、CD、CB、DB共1+2+3=6條線段；（3）線段AB上有3個(gè)點(diǎn)C、D、E時(shí)，如圖5，在圖4的基礎(chǔ)上增加了線段AE、BE、CE和DE，共有6+4=10條不同的線段；線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，則有條不同的線段．【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．21．（23-24七年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）【問題初探】（1）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)T、Y、R、S，根據(jù)下列語句畫圖：①作射線；②作直線、交于點(diǎn)M；③連接、交于點(diǎn)O．（2）我們還可以觀察到，經(jīng)過圖中的不在同一直線上的4個(gè)點(diǎn)，最多能畫出______條直線：經(jīng)過不在同一直線上的5個(gè)點(diǎn)，最多能畫出______直線；【類比分析】（3）如果在同一平面里，有不在同一條直線上的20個(gè)點(diǎn)，你能算出共有多少條線段嗎？【學(xué)以致用】（4）按照這個(gè)規(guī)律回答下列問題：①2022年卡塔爾世界杯足球賽進(jìn)入8強(qiáng)賽（即有8個(gè)隊(duì)參加比賽）時(shí)，如果進(jìn)行的是單循環(huán)賽（每兩個(gè)隊(duì)只比賽一次），則需要進(jìn)行多少場比賽？②某球迷乘火車從A站出發(fā)，沿途經(jīng)過3個(gè)站后到達(dá)B站，那么在A、B兩站之間需要多少種不同的票價(jià)？需要多少種車票？【答案】（1）①圖見解析②圖見解析③圖見解析（2）6，10（3）190條（4）①28②10種，20種【分析】本題考查畫直線，射線，線段，直線，線段的數(shù)量問題．（1）根據(jù)要求作圖即可；（2）直接數(shù)出直線的條數(shù)即可；（3）根據(jù)每兩個(gè)點(diǎn)確定一條線段，所以每一個(gè)點(diǎn)與剩下的19個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成一條線段，重復(fù)計(jì)算2次，除以2，進(jìn)行求解即可．（4）①根據(jù)每個(gè)隊(duì)都要跟剩余的7個(gè)隊(duì)踢一場比賽，重復(fù)計(jì)算2次，除以2即可；②同①法，求出需要多少種不同的票價(jià)，再根據(jù)從到和從到需要2套票，乘以2即可．理解直線，射線，線段的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）①作射線，如圖所示；②作直線、交于點(diǎn)M，如圖所示；③連接、交于點(diǎn)O，如圖所示．（2）圖中的不在同一直線上的4個(gè)點(diǎn)，最多能畫出6條直線，圖中的不在同一直線上的5個(gè)點(diǎn)，最多能畫出10條直線；故答案為：6，10；（3）∵每兩個(gè)點(diǎn)確定一條線段，∴每個(gè)點(diǎn)都能跟剩余的的點(diǎn)組成一條線段，∴可以畫出：條線段；（4）①∵每個(gè)隊(duì)都要跟剩余的7個(gè)隊(duì)踢一場比賽，且每兩個(gè)隊(duì)只比賽一次，∴需要進(jìn)行場比賽；②由題意，得從到共有5個(gè)站點(diǎn)，每兩個(gè)站點(diǎn)之間票價(jià)不同，∴共有：種不同的票價(jià)；∵從到和從到的票的種類不一樣，∴需要種車票．22．（2023秋·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀并填空：問題：在一條直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個(gè)問題，我們可以這樣考慮，以為端點(diǎn)的線段有，，3條，同樣以為端點(diǎn)，以為端點(diǎn)，以為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個(gè)3，即4×3＝12（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有______條線段．那么，若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有______條線段；若在一條直線上有個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有______條線段．知識遷移：若在一個(gè)銳角內(nèi)部畫2條射線，，則這個(gè)圖形中總共有______個(gè)角；若在內(nèi)部畫條射線，則總共有______個(gè)角．學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個(gè)火車站，若一列火車往返過程中，必須?？棵總€(gè)車站，則鐵路局需為這段線路準(zhǔn)備______種不同的車票．【答案】6，10，，6，，20【分析】問題：根據(jù)線段的定義解答；知識遷移：根據(jù)角的定義解答；學(xué)以致用：先計(jì)算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答．【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則；；；知識遷移：在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個(gè)不同的角，在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=個(gè)不同的角；學(xué)以致用：5個(gè)火車站代表的所有線段的條數(shù)×5×4=10，需要車票的種數(shù)：10×2=20（種）．故答案為：6，10，，6，，20；【點(diǎn)睛】此題考查了線段的計(jì)數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．23．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）（1）【探究一】如圖1，我們可以用不同的算法來計(jì)算圖形的面積．①方法1：如果把圖1看成一個(gè)大正方形，那么它的面積為；②方法2：如果把圖1看成是由2個(gè)大小不同的正方形和2個(gè)大小相同的小長方形組成的圖形，那么它的面積為；（寫成關(guān)于a、b的兩次三項(xiàng)式）用兩種不同的算法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到等式．（2）【探究二】如圖2，從一個(gè)頂點(diǎn)處引n條射線，請你數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)銳角呢?①方法1：一路往下數(shù)，不回頭數(shù)．以O(shè)A1為邊的銳角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）個(gè)；以O(shè)A2為邊的銳角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）個(gè)；以O(shè)A3為邊的銳角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）個(gè)；以O(shè)An－1為邊的銳角有∠An－1OAn，共有1個(gè)；則圖中銳角的總個(gè)數(shù)是；②方法2：每一條邊都能和除它以外的（n－1）條邊形成銳角，共有n條邊，可形成n（n－1）個(gè)銳角，但所有銳角都數(shù)了兩遍，所以銳角的總個(gè)數(shù)是；用兩種不同的方法數(shù)銳角個(gè)數(shù)，可以得到等式．（3）【應(yīng)用】分別利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中運(yùn)用的思想解決問題．①計(jì)算：19782＋20222；②多邊形中連接任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段叫做對角線，如五邊形共有5條對角線，則十七邊形共有條對角線，n邊形共有條對角線．【答案】（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)【分析】（1）①根據(jù)邊長為(a+b)的正方形面積公式求解即可；②利用矩形和正方形的面積公式求解即可；（2）①根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求和即可；②根據(jù)題意求解即可；（3）①利用（1）的規(guī)律求解即可；②根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為n(n-3)（n≥3，且n為整數(shù)）可得答案．【詳解】解：（1）①大正方形的面積為；②由2個(gè)大小不同的正方形和2個(gè)大小相同的小長方形組成的圖形的面積為；可以得到等式：=；故答案為：①；②；=；（2）①圖中銳角的總個(gè)數(shù)是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②銳角的總個(gè)數(shù)是n（n－1）；可以得到等式為（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；故答案為：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22＝2×（20002＋222）＝2×[4000000＋（20＋2）2]＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；②一個(gè)四邊形共有2條對角線，即×4×(4-3)=2；一個(gè)五邊形共有5條對角線，即×5×(5-3)=5；一個(gè)六邊形共有9條對角線，即×6×(6-3)=9；……，一個(gè)十七邊形共有×17×(17-3)=119條對角線；一個(gè)n邊形共有n(n-3)（n≥3，且n為整數(shù)）條對角線．故答案為：119，n(n-3)．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，完全平方公式，多邊形的對角線，對于這種圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）問題提出：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？構(gòu)建模型：生活中的許多實(shí)際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：(1)如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場就用一條線段把它們連接起來．由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場，即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成5×4條線段，而每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有＝10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．(2)若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排場比賽；(3)根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場比賽．實(shí)際應(yīng)用：(4)9月1日開學(xué)時(shí)，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識，請班上42位新同學(xué)每兩個(gè)人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手次．拓展提高：(5)往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為種【答案】(1)10(2)15(3)(4)861(5)要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為30種【分析】（1）根據(jù)圖①線段數(shù)量進(jìn)行作答．（2）根據(jù)圖②線段數(shù)量進(jìn)行作答．（3）根據(jù)每個(gè)點(diǎn)存在條與其他點(diǎn)的連線，而每兩個(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，提出假設(shè)，當(dāng)時(shí)均成立，假設(shè)成立．（4）根據(jù)題意，代入求解即可．（5）根據(jù)題意，代入求解即可．【詳解】（1）解：由圖①可知，圖中共有10條線段，所以該校一共要安排10場比賽．（2）由圖②可知，圖中共有15條線段，所以該校一共要安排15場比賽，故答案為：15；（3）根據(jù)圖①和圖②可知，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則每個(gè)點(diǎn)存在條