2023屆山東省新高考復(fù)習 專題3 立體幾何解答題30題專項提分計劃解析版-高考數(shù)學總復(fù)習總結(jié)歸納集錦專題資料

2023屆山東省新高考復(fù)習

專題3立體幾何解答題30題專項提分計劃

1.(2022?山東德州?統(tǒng)考三模)已知底面48CD為菱形的直四棱柱，被平面AE尸G所截幾何

體如圖所示.

(2)若45=2,NOA3=60",三棱錐GACD的體積為芋，直線與底面A8C。所成角的

正切值為立，求銳二面角A-EC-4的余弦值.

2

【答案】(1)證明見解析

⑵李

4

［分析1(1)根據(jù)題意可證AC_L平面BDG,可得AC±BG,得證BG±平面ACE,得BGLAE,

再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可證/G〃4E；(2)根據(jù)題意可得GD=2,FC=3,利用空間向量

求二面角.

【詳解】(1)連接8。，交AC「點0,底面48co為菱形，JAC28。，

由直叫棱柱得G￡)_L底面八BC。，又ACu平面ABC。，???GO_LAC,

又BDlGD=D,BD,60<=平面8。6,

，ACJ_平面3QG,因為BGu平面4OG,

，ACA.BG

已知CE_L4G,乂4CCE=C,AC,CEu平面AC￡,

JBGJ■平面ACE,

因為AEu平面BOG,???

???平面ABE〃平面CI'GD

平面AEFGr平面ABE=AE，平面4ER71r平面CFG。=GF,

/.FG//AE,則尸G_L8G

(2)已知AB=2,NOA8=60"可求30=2,AC=243

由VGACD=gx；x2x2xsin120"xG。=竽，則GD=2

在直四棱柱中，尸C_L底面A8C￡),

所以/￡4C為比線AF與底面46C。所成角，tanZE4C=—=—?則尸。=3

AC2

在平面AC尸內(nèi)作Oz〃b,可知0z_L底面A3CQ,如圖，以。為原點，建立空間直角坐標

系。一冷2,

則A電0,0),8(0,1,0),C(-行,(),())，G(0,-l,2),尸(-百,0,3),

Of=QA+4￡=O4+G"=(75,0,0)+(-⑸,1)=(0,1,1)

則CE=(瓜1,1),C8=(75,1,0)

設(shè)平面6CE的法向量為〃i=(x,y,z),

mCE=0fV5x+y+z=0

則上_八=<_J

m-CB=0\j3x+y=0

取x=l,得y=-6，z=0,得〃?=(1,-6,0),

由(1)知BG_L平面4CE所以平面ACE的一個法向量為〃=BG=(0,-2,2)

則8s伉〃)=的。=4=與

所以銳二面角A-EC-8的余弦值為亞

4

2.（2022?山東煙臺?統(tǒng)考三模）如圖，在平面五邊形PA8CD中，LRID為正三角形，AD〃BC,

NZM8=90。且八￡>=AA=2BC=2.將二PAD沿AO翻折成如圖所示的四棱錐P—/WCD,使

得PC=8.F,Q分別為A4,C石的中點.

⑴求證：戶Q平面P4D：

DF1

（2）若言=3,求平面EFC與平面小。夾角的余弦值.

1乙

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

70

I分析】（1）取OC的中點M,連接M尸，MQ.可得面MQF〃面尸4。，從而川.證FQ1平

面PAD；

（2）取A。的中點O,連接OP,0C,以0為坐標原點，分別以O(shè)。，OC，。戶的方向為

肛y,z軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系,用向量法求解即可.

（1）

解：（1）證明：取OC的中點M,連接M/LMQ.

則MQ〃0￡>,MF//DA.

因為MQ（Z面FAD，MEN面FAO,

所以，MQ〃面PAD,MF面尸AO,

因為MQcME=M,

所以，面MQ尸〃面尸4。.

因為尸Qu面MQ尸，所以F?！媸珹D.

（2）

（2）取A。的中點。，連接OP,0C,

因為-A4D為正三角形，AD=2,所以O(shè)P_L4O且OP=G，

在直角梯形48C。中，AD〃BC,ZDAB=90°,AB=2BC=2,

所以，OCJLAD且OC=2,

又因為PC=Q，

所以在△POC中，O產(chǎn)+OC=PC】,即OP_LOC,

所以，以。為坐標原點，分別以。。，oc，。夕的方向為x,y,z軸的正向，建江如圖所

示的空間直角坐標系，

則。(1,0,0),C(0,2,0),網(wǎng)一1,1,0),P(0.0,G),

￡>?=(-1,0,^).

因為第=<，即OE=：DP=[-"o,坐],2>0,

PE23133J

所以,E目用，

所以七0二(一:2,-4],所=(_|,1,_亭.

設(shè)”=(N,y,zJ為平面EFC的一個法向量,

2073.

n-EC=0X,2j,Z,=

則即《~3-T°取〃=(3,-3,-8@.

n-EF=05,右c

一…一丁口

又平面尸AO的一個法向?qū)?=(0/,0),設(shè)平面EFC與平面尸4。夾角為。，

〃叫3x/210

L!

COSa=iTT-i='/

W.同J9+9+19270

3.(2022?山東淄博?統(tǒng)考三模)已知如圖，在多面體ABCEF中，AC=BC=2,乙4c8=120,

。為A8的中點，EF//CD,EF=1,8b_L平面AE7L

B

D

A

（I）證明：四邊形"DC為矩形；

（2）當三棱錐A-體積最大時，求平面與平面畫夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵立

4

【分析】（1）依題意可得CO_LA8且CO=1,從而得到四邊形EFDC為平行四邊形，由線

面垂直的性質(zhì)得到8/J_￡F,從而得到CD_L3/\即可得到CD_L平面A8尸，從而得到

CD1DF,即可得證；

（2）由（1）可得丫=!5楨^￡尸=/利用基本不等式求出三棱錐應(yīng)戶體積最大

36

值，建立如圖所示空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；

（1）

解：因為NAC3=120,AC=BC=2,。為48的中點.

所以8_LA8,且CD=BCsin30o=l,

又因為歷=1,所以CD=EF,因為EF//CD,

所以四邊形EFOC為平行川邊形，

因為4尸_1_平面AM,砂u平面AM,所以BF上EF.所以COJ.B尸，

因為B/7AB=B,所以CQJ■平面QPu平面

所以CDJ.。尸，所以四邊形E&X?為矩形.

（2）

解：由（1）可知，）■/平面八平面AM,A/u平面4￡7L所以尸，

AB=2>lBC2-CD2=2s/3，

所以三棱錐A-8所的體積

222

V=^SASFEF=^AFBF<-^（AF+BF）=-^AB=lt

當且僅當Ab=8/時等號成立，此時

據(jù)（1）,以。為坐標原點，分別以D4,8,D/所在的直線為x,），,z軸建立空間直角坐標系

。種如圖所示.

由已知可得下列點的坐標：A(x/l0,0),B(->/3,0,0),尸(0,0,百)，E(0,-l,x/3),

所以A8=(-2>/^0,()),泰=(一6,-1,6),

設(shè)平面AfiE的法向量為〃?=(x,y,z),貝叫_,

m-AB=0

-x/5x-y+\/3z=0廠

即｛j-，取y=6，則x=0,z=1，

-2V3x=0

所以平面ABE的一個法向最為機=(0,x/3,1),

因為BF=(7l0,g)是平面4￡F的法向量，

設(shè)平面AQ■與平面.夾角為，，貝iJcosgnFyj__|=—^77=—，

2-V64

故平面AM與平面4BE夾角的余弦值為它.

4

4.(2022?山東?山東師范大學附中?？寄M預(yù)測)如圖甲，平面圖形A8CDE中，

AE=DE=BD=BC=\,BCA.BD,DE//AB,/EAB=60，沿8。將△8CO折起，使點C

到F的位置，如圖乙，使BF工BE,EG=BF.

(1)求證；平面GE8F_L平面A￡G；

(2)點M是線段Q上的動點，當AM與平面AEG所成角的正弦值為立時，求平面M48與

7

平面AEG所夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵手

4

【分析】(1)推導(dǎo)出8尸_L平面A3OE，可得出AE_L8F，再證明出AE_L8E,利用線面用

直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)證明出EGJ■平面4BDE,AE工BE,然后以點E為坐標原點，EA、EB、EG所在

直線分別為X、)'、z軸是立空間直角坐標系，設(shè)點M(0,尢|),其中OwawG，利用空間

向量法可得出關(guān)廣2的等式，求出義的值，可求得股的坐標，然后利用空間向量法可求得

平面MAB與平面AEG所夾角的余弦值.

(1)

證明：翻折前ACJ_A7),翻折后，對應(yīng)地，BFVBD,

又因為BEcBD=B,所以，3廠_!_平面/\4?！?

AEu平面ABZ汨，:.AEJ.BF,

在底面4ACDE中，AE=DE=BD=BC=\,DE//AB,

所以，四邊形A8DE為等接梯形，因為/￡44=60,.?.44￡。=/3?！?120，

因為BD=DE，則N8EO=NOAE=30，:&EB=ZAED-NBED=90,

.?.AE工BE,又因為八E_LBF,BEBF-B,AE_L平面，

因為AEu平面AEG,因此，平面G￡BF_L平面AEG.

(2)

解：在RtAABE中，ZAEB=90,NE48=60，AE=l,則BE=AEtan60=6,

因為EG=8尸，則EG〃8/且EG=8/=8C=1,

因為_L平面ABDE,「.EG±平面ABDE,

AEIBE^以點E為坐標原點，EA.EB、EG所在直線分別為“、＞\z軸建立如下圖

所示的空間直角坐標系，

則A(1,O,O)、.0,后0)、設(shè)點”(0,41),其中04446,

所以，易知平面AEG的?個法向量為2=(0,1.0),

由已知條件可得|cos<AM,m>

因為KG解得義邛，所以，AB=(-l,^,0),AM=-耳1

設(shè)平面ARM的法向軟為〃=(M)，,z),

n-AB=-x+6y=0

則J3,?。?，=百，可得“=（3,6,2）,

n-AM=-x+——y+z=0

3.

—m-n二",因此，平面MAA與平面AEG所夾角的余弦值為正

H-H-44

5.(2022?山東聊城?統(tǒng)考三模)已知四邊形ABC。為平行四邊形,E為C。的中點,4B=4,VA￡)E

為等邊三角形，將三角形沿4E折起，使點。到達點P的位置.，且平面APE_L平面"C￡

(I)求證：APA.BE；

⑵試判斷在線段上是否存在點”，使得平面4E"與平面AEP的夾角為45。.若存在，試

確定點尸的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，點F為線段PB的靠近點P的三等分點

【分析】（1）由8E_LAE結(jié)合平面AEP_L平面ABCE得出8￡_1_平面"￡,再由線面垂直的

定義得出A尸_L8￡；

（2）以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

（1）

證明：因為四邊形A3CQ為平行四邊形，且VAOE為等力三角形，

所以N8CE=120。.

又E為CO的中點，JWWCE=ED=DA=CB,即.8CE為等腰三角形，

所以NCE8=30。.

所以N4E8=I8O0—Z4ED-NBEC=90",

即BELAE.

又因為平面■平面ABCE,

產(chǎn)面APEc'F面ABCE=AE,BEu平面ABCE,

所以RE_L平面A尸E,

又APu平面APE,所以BE_LAP.

（2）

解：取AE的中點。，連接。。，由于V4PE為正三角形，則PO_LAE,

又平面4PEJ_平面A8CE,平面APEc平面ABCE=AE,POu平面EAP,

所以尸。_1_平面ABCE,PO=&,BE=26

取AB的中點G,則OG/8E,

由（1）WBELAE,所以O(shè)G_LAE,

以點O為原點，分別以QA,OG,。。所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系O—xyz,

則0(0,0,0),A(1,0,0),B(-l,2>/3,0),P(0,0,V3),E(-1,0,0),

則￡4=(2,0,0),EB=(0,26,0),躅=(-1,2石,-6),律=(1。6),

假設(shè)存在點F,使平面AEF與平面AEP的夾角為45。,

設(shè)P/二408=(—42瘋,一瘋)，AG[0,1]

則￡F=￡P(guān)+PF=(1,0,^)+(-2,2G/1,-G/1)=(1—%2、石％退一血)，

設(shè)平面AE尸的法向量為"i=（x,y,x）,

EF^ni=0(l-2)x4-2x/32y+(>/3->/32)z=0

由，，取z=2九

E4w=2x=0

得〃?=(0,%-1,24)：

由（1）知E8為平面4EP的一個法向量，

「日仆_1/\fh-EB\273|2-1|>/2

J?是，cos45°Ncos(/n,EH)--------=--~~/=—，

\in\\EB\26"5儲-2/1+12

解得4=5或工一1（舍去）,

所以存在點F,且當點尸為線段P8的靠近點尸的三等分點時，平面AEF與平面AEP的夾

角為45。.

6.（2022?山東濟南?濟南市歷城第二中學?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱人3C-A4a中,

A4,J_底面ABC,=3C=Jl4B=Ji4C,點M為4G的中點.

（1）證明：AG〃平面ABM；

⑵AC上是否存在點M使二面角BS的大小町,若存在，求券的值;若不存在，

請說明理由.

【答案】（I）證明見解析

（2）存在，器=2

【分析】（1）連接AB1與A］交于點0,連接OM,證明OM〃AG，根據(jù)線面平行的判定

定理即可得證；

（2）建立空間直角坐標系4一盯z,不妨設(shè)43=1,設(shè)M0M,0）,0<a<\,利用向量法求

出。，從而可得出的結(jié)論.

(1)

解：連接4片與交于點0,則。為A片的中點，連接OM,

因為點M為/G的中點，

所以O(shè)M〃AG，

因為OMu平面ABM,AG（Z平面ABM,

所以AG〃平面ABM；

（2）

解：因為BC=J￡48=0AC，

所以月加+月。2=4。2,所以A814C,

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)一冷？,

設(shè)AB=1,則8（1,0,0）,A（0.0,V2）,M6,g,問，

設(shè)N（0,〃,0）,（）<?<1,

所以網(wǎng)=（-1,0/，*=（另,0）,AN=（0"6）,

設(shè)平面8AM的?個法向量為機=（冷用4）,

m-BAy=-x1+>/2Z1=0

則有《11，取玉=及，得加=（"-&』），

加..=5%+/=。'）

設(shè)平面AMN的一個法向量為〃=（盯He）,

則有2~2九，取9=-&得〃=卜&,、5,。），

n-AyN=ay2-\/2z2=0

因為kos（〃?,“卜"_^=J"/川，=《,解得或a=-6（舍）,

1"網(wǎng)^y/574+d23

■=2,

所以AC上存在點N,當二=2時，二面角8-A"-N的大小為

CN4

7.（2022?山東濟南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正三棱錐Q-ABC中，叢=2,M,N分別為PC.AC

的中點，BM1MN.

⑴求點P到平面ABC的距離：

⑵求平面BMN與ABC夾角的余弦值.

【答案】（1）苧

⑵w

【分析】（1）首先利用垂直關(guān)系證明PA_L平面P8C,根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知?AP氏PC

三條線兩兩互相垂直，再利用等體積轉(zhuǎn)化求點到平面的距離；

（2）以點P為原點,建立空間直角坐標系，分別求平面8MN和平面A8C的法向量，利用

法向量夾角公式，即可求解二面角的余弦值.

(1)

因為M,N分別為PC,C4的中點，所以MV〃%：

因為8MLMN,所以。4_L8M,

取8c中點為。，連接PD.AO，

因為尸一A8C為正三棱錐.所以8C_LPD,BC1AD,且尸Dc">=。，

PRADu平面PA。，所以6C_Z平面A4。，所以BCIPA,又8MlBC=B，

所以B4_L平面P8C,所以PAP3,PC三條線兩兩互相垂直，等邊三角形A8C的底邊長

AB=j22+2?=2&，

匕-「sc=gSgsc.PA=gx1x2x2x2=g,S詆=；x(2拒)x等=

設(shè)點尸到平面A8C的距離為d,所以％ABC=-S摻BC?d=3叵d，

r-AtfL3LlAtfk.3

因為％T8C=KdBC，所以d=空,所以點P到平面A6c的距離為拽；

33

(2)

如圖，以P為原點，PA,PB,PC所在直線為x,九z軸建立空間直角坐標系，

則P(0,0,0),71(2,0,0),8(020),C(0,0,2),A/(0,0,1),N(l,0,l),

所以MN=(1,0,0),BM=(O,-2,l),

設(shè)平1\\\BMN的法向量為q=(xpy\,Z|),

".MN=°解何［X=

,

n}BM=0解(導(dǎo)1_2k+4=0

令)-1，得〃I=(0,1,2),

AB=(-2,2,0),淺=(-2,0.2),

設(shè)平面ABC的法向量為n,=(x,,y2,z2)>

…小?48C=0W解,,得|-2x->+2K=0,、

由，14+24=()'令-’得巧成⑷,

八馬

設(shè)平面BMN與平面A8C的夾角為0,所以cos。=在

"5'

所以平面BMN與平面A8c夾角為余弦值為近

5

c

【點睛】

8.(2022?山東.山東師范大學附中校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABCD^,底面ABCD

為菱形，=APA.PD,AD工PB,且AO=必=2,線段A。的中點為0.

(2)求二面角。―P8—C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵空

7

【分析】(I)連接BO,證明MAD1.平面PBO,可得出PO_LA。，再利用中垂線的性質(zhì)可

證得結(jié)論成立；

(2)證明出PO_LO4,然后以點0為坐標原點，OA.。3、OP所在直線分別為4、5、z

軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

(1)

證明：連接6。，在菱形A6C。中，NA6C=4，則zJMO=g,且AB=AT>,

JD

所以，△A8。為等邊三角形，因為。為8。中點，所以，BOA.AD,

又因為AO_LA8,BOPB=B,所以，AO_L平面尸8。，

POu平面戶3。，..POLAD,:.PA=PD.

(2)

解：TAPJ.PD,O為AD的中點，所以,OP=3AO=1,

因為△ABD為等邊三角形，BO_LA。，則齊=45r=6,

所以，0產(chǎn)+0B?=PB?,OPLOB,

因為A。_L平面尸OB,以點。為坐標原點，Q4、。8、OP所在直線分別為X、＞\Z軸建

立如下圖所示的空間直角坐標系,

則網(wǎng)0,后0）、C（—2,0,石）、0（-1,0,0）、*0,0,1）,

LIIU

設(shè)平面PBD的法向量為〃?=（玉,*,zJ,。8=(1,瓜0),DP=(I,0,l),

則:言2M°加=6可得加二（6

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（士,％，z2），4c=(—2,0,0),3P=((),—石,1),

n-BC=-2xy=0/c

則；,取必=1，可得〃=0/，6),

n-BP=->j3y2+z2=0'

由圖可知，二面角。-依-C為銳角，因此，二面角O-P8-C的余弦值為名女.

7

9.（2022?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1,在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E是CD的

中點，將二沿4E折起至△必止的位置，使得平面PAE_L平面ABCE,如圖2.

圖1

（I）證明：平面PAE1平面P8K.

⑵M為CE的中點，求直線8M與平面以M所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵嚼

【分析】(1)由=平面處￡=>BE_L4=平面PAEJ.平面P8E：

(2)先說明PO,OAO產(chǎn)西兩垂直，再以。為原點，OAOEOP分別為x?，z軸建立空間直

角坐標系，利用線面角的向量公式可求出結(jié)果.

(1)

在矩形48C。中，AB=ZBC=\,E是CD的中點，

==所以4E?+8爐=48"所以跖_LA￡，

在折疊后的圖形中，也有3_LAE,

因為平面_平面A4C￡平面PAE|'1平面A3c￡=AE,

BEu平面ABCE且BE,AE,所以〃E_L平面RAE，

因為QAu平面Q4￡,所以AE_LQ4,

因為B4J_莊，且PEcBE=E，

所以R4_L平面陽E.

(2)

取AE的中點。，AB的中點產(chǎn)，連PO，OF,

因為P4=PE,所以PO_LAO,因為OF//BE,BE1AE,所以O(shè)A_LN,

因為4E_L平面P4E,所以BE_LPO,所以O(shè)FJ.PO,

所以尸0,04。尸兩兩垂直，

以O(shè)為原點，OA。尸分別為X，)。軸建立空間直角坐標系，如圖：

設(shè)平面Q4M的法向量〃=(x,，,z),

/?-PA=—x--z=0

22

,令彳=1,得y=5,z=l,得〃=(1,5,1),

44

V2_15>/2

8730

44

所以直線AM與平面所成角的正弦值為

x/1+25+1-21845

16+16

10.（2022?山東臨沂?統(tǒng)考三模）在正方體A8CO-A/CR中，￡為弓倒的中點，過44七的

平面截此正方體，得如圖所示的多面體，尸為棱C&上的動點.

（1）點”在棱8C上，當時，PH//平面從七片，試確定動點?在棱CG上的位置,

并說明理由:

（2）若A8=2,求點。到平面4"的最大距離.

【答案】（1）尸為CG中點，證明見解析

【分析】（1）取8C中點G,利用線面平行性質(zhì)定理和面面平行性質(zhì)定理推出GG〃口，

即可得到點尸的位置.

（2）建立空間直角坐標系，計算平面A所的法向量，然后用公式求解點。到平面AE尸的

最大距離.

（1）

設(shè)平面BCC.B,與平面AEB1的交線為/,

因為"/〃平面AE81,平面BCGBQ平面NEB】=/,FHu平面BCC4

所以尸H/〃.

由正方體ABC。-A4GR知，平面石〃平面8。。圈，

又因為平面4。。渡、平面4￡旦二4e，平面BCG及平面AEB|=/,

所以AE/〃，所以AE〃四

取8C中點G,連接CG,易知AE〃GG，所以GC"FH,

又因為〃為CG中點，所以F為cq中點.

以點。為原點，DAOCDR分別為X軸，軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則

有D(0,Q0),A(2,Q0),E(l,0,2)1(Q2j)?其中/?0.2]

AE=(-l,0,2)MF=(-2,2,r),DA=(2,0,0)

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)

n-AE=O-x+2z=0

則有《不妨取x=2,

n-AF-0-2x+2y+Zz=0

2s/6

亍，當/=2,即點產(chǎn)與點G重合時，取等.

所以點。到平面AEF的最大距離為.

3

B

x

11.（2022?山東濰坊?統(tǒng)考三模）如圖所示，已知平行六面體ABC。-中，側(cè)面

的G底面從皿"3=2,"作幺。弓,a為線段w勺中點.

（I）證明：AQ〃平面C/）；

（2）已知二面角4-G。-C的余弦值為電，求直線4c與平面。出。所成角的正弦值.

7

【答案】（1）見解析

〃、3鬧

—

【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）先建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解線面角即可.

（1）

連接AC,BD交于點O,連接AG

由平行六面體?！?，且。

ABCA4GRO]C1=^A1C1=^AC=AO,qq〃A

所以四邊形為平行四邊形，所以a月〃。G

又因為QAa平面。產(chǎn)。，。Gu平面C8。，

所以A?〃平面GB。.

（2）

取AB中點”，

在GA上取點G,使得GD_LDC,

因為/W3=4O=2,ZBAD=y,所以△84。為正三角形，所以O(shè)”_LAB，

又因為A5CD,所以O(shè)H_LCD

因為平面CDD?"L'『?面ABCD，平面CORGI平面ABCD=CD,

H.O"u平面A5CO,所以平面A8CD.所以

以。為原點，。〃,。。,。(；分別為工軸，丁軸，z軸正方向建立空間直角坐標系.

設(shè)。。=/，有

4(6-1,0)制"1,0)1(020)

。'肌-爭，爭-0(0,0,0)

OG=加,2-奉卓,08二便」,0)

易知平面G的法向量〃=(1,0,0),設(shè)平面C8。的法向量/”=(x,y,z),

卜。5=。=吁也]

[mDCl=0tJ

因為二面角5-￡。一C的余弦值為立，所以cos<皿〃>=jti=g?

V2

7曲〃|7

所以A(X/5,-2,1),CA=|X/3,-4,1)

所以sigcosvmCAj」"^2+4肉叫_3阿

所以s%-8SV'〃O”麗丁力+16+1?13+3

故直線AC與平面C/。所成角的正弦值為

35

12.(2022.山東濟南,統(tǒng)考三模)如圖I,正方形八“6中，E,尸分別為邊4C,八。的中點，

將四邊形EFQC沿直線"'折起，使得平面COFE_L平面ABEE如圖2,點M,N分別滿足

AM=2MC，F(xiàn)N=NE.

(I)求證：4V工平面BMN；

(2)求平面AEW與平面8WV夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵羋

10

【分析】(1)連接4E交8N于點G,連接MG,則由面面垂直的性質(zhì)可得CE_L平面4BER

由己知可得MG〃CE,則MG_L平面A3ERMG工AN,AN工NB,再由線面垂直的判定

可得結(jié)論，

(2)分別以杼1,FE,廣。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解

即可

(1)

連接4E交8N于點G,連接MG,設(shè)48=2，

因為平面8莊_1平面ABEF,

平面COFEc平面A8￡V=律，CEc=T;iECDFE,CE工EF,

所以CE_L平面A8EF,

因為點N是E產(chǎn)的中點，NE〃A8,

所以AG=2GE,

又因為AM=2WC,所以MG〃C￡,

所以MG_L平面48EF,因為ANu平面ABEF,

所以MG_LAN,

又AB=2,AN=NB=C，所以AN上NB,

因為N8cMG=G,NB,MGu平面ZM/N,

所以AN工平面8MM

(2)

因為平面8莊_L'F面4龍匕平面CD/rEc平面4%戶二EADF入EF,

所以O(shè)F/平面ASM,

因為4尸u平面人肝尸,所以。尸_LA廠.

所以以，F(xiàn)E,尸。兩兩垂直，

所以分別以以，F(xiàn)E,五。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示

所以尸(0,0,0),71(1,0,0).加(；,*|),

所以￡4=(1,0,0),FM=

\。DJ

設(shè)平面4EM的法向量為〃=(x,y,z),

n-FA=x=0,,,

由IFA/0n1令y=l，得〃=(°，1，-2),

由(1)知平面BMN的法向量為4V=(—1,1,0),

n-AN\Jjo

設(shè)平面AQW與平面8MN的夾角為。，所以cos6=-n~=—,

〃AN10

13.(2022?山東?煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，平面48CQL平面A/犯點石為半圓弧AB

上異于A,8的點，在矩形48C。中，AB=^BC，設(shè)平面48E與平面CQE的交線為/.

⑴證明：/〃平面A8CQ；

⑵當/與半圓弧AB相切時，求二面角A-OE-C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）4

【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得線線平行，進而可得線面平行.

（2）根據(jù)空間坐標法，計算法向量，進而可得二面角大小，或者根據(jù)長度關(guān)系，可用幾何

法找到二面角，進而利用余弦定理求解.

【詳解】（1）證明：:四邊形A8C。為矩形，???A8〃CO,

TABu平面ABE,CZ）（Z平面ABE，

CD〃平面ABE

又COu平面COE,平面A8Ec平面C￡>E=/,

???/〃C。，

??.CQu平面A8CQ,???/〃平面ABC。.

（2）（法一）取AMrc的中點分別為O.F,連接OE,OF,則

???平面"C。工平面AM、且交線為A8,，。尸1平面AM,

又OEu平面ABE,OF±OE,

當/與半圓弧A8相切時，OE工I,即O￡_LA8,

以O(shè)E,OB,。尸所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設(shè)BC=g，易得A（0,T,0）,C（0,l,V2）,D（0,-l,x/2）,E（LO,O）,

則=/\D=（0,0,V2）,DC=（0,2,0）,

設(shè)，〃=（E.y.zJ為平面/ME的?個法向量，

則［3八?即［島］。，

DEm=0$+x—\j2zi=0

z.=0r/、

???1，令&=1,則m=。,TO）,

〔芭=->1

DCn=O

設(shè)亢=（孫%/2）為平面DCE的一個法向量，則，

DEn=0

2y=0fy=0（廠\

即《2,2，令馬=-1,則"=_&,o,7）,

V

x2+y2-\l2z2=0[X2=>J2Z2

./、〃八〃-72X

??COS<772,72）=7——7=-j=--j==一/一5—,

IHHIV2-x/33

易知二面角A-O6C的平面角大小即為〈科公，

???二面角4-QE-C的余弦值為一走.

3

（法二）當/與半圓弧A/3相切時，AE上EB，A￡=所，，A8=V^AE，

???平面A3CZ）工平面ABE其交線為A3，D4u平面43CD,

I.D4_L平面/WE,又AEu平面ABE,ADA1AE,

同理C8_L8E,

不妨設(shè)6c=0，則6E=AE=AO=0，AB=DC=2,

???由勾股定理得DE=CE=2,

取DE的中點凡連接4尸，F(xiàn)C,AC,

貝”DE上AF,DEICF.

，NAAC是二面角A-QE-C的平面角，

易知A/7=KZ)E=1,CF=DE=>/3?\IAC=\lAB2+BC2=46?

工在△AFC中，有cos4尸C■何=-四，

2xlxV33

，二面角A-DE-C的余弦值為-立.

3

14.（2022.山東濱州.山東省北鎮(zhèn)中學?？寄M預(yù)測）如圖所示，在直三棱柱43C

A4G，AA=6,△ABC是邊長為4的等邊三角形，。、E、尸分別為棱B￡、AA,^的

中點，點P在棱8c上，且BC=4CP

G

(I)證明：A尸〃平面。CE；

(2)求點B到平面APF的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵竽

【分析】(1)取8C的中點。，取C。的中點Q,利用中位線可以證得四邊形AEQP為平行

四邊形，從而得到用2AP,再利用線面平行的判定定理即可；

(2)利用等體積法求解點B到平面4尸尸的距離即可.

【詳解】(1)如圖，取的中點。，連接。。，取CO的中點Q,連接PQ,EQ.

VBC=4CPf:.CP=PO.：.PQHDO,PQ=^DO.

VAEDO,AE=-DO,PQAE,PQ=AE

2

???四邊形4EQ尸為平行四邊形，???￡QIAP

???EQu平面。CE,平面。C￡

???AP〃平面OCE.

(2)V.._.=-x-x3x4xsin60x3=3>73

32

AP2=16+9-2x12x1=13AP=內(nèi).易得P少=3右，AF=5

在△出尸中，由余弦定理cos/PA尸=223父=名叵.?.sm/pAb=上^

2x5x7131313

:?S=-x5xV13x-^^=—

2132

設(shè)點8到平面A尸尸的距離為d

^F-ABP=VB-"F即3J5=—Xt/XS.APF，：?d=~~~'

J3

G

15.(2022?山東濟寧?統(tǒng)考三模)如圖1,在平行四邊形A8CO中，A4=2,40=6,

NBAD=30"，以對角線B。為折痕把△A8O折起，使點A到達圖2所示點。的位置，且

PC=@.

B

圖1圖2

(1)求證：PD上BC；

(2)若點E在線段PC上，且二面角E-A力-C的大小為45,求三棱錐E-8CO的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(I)利用余弦定理結(jié)合勾股定理可證得結(jié)合平形四邊形的幾何性質(zhì)可

得出8C_L8O,利用勾股定理可得出PD_LCO,利用線面垂直的判定和定義“J'證得結(jié)論成

立；

(2)以點4為坐標原點，BC、BD、OP的方向分別為彳、丁、z軸的正方向建立空間直角

坐標系，'設(shè)PE=2PC，其中0W2W1,利用空間向量法可得出關(guān)于力的等式，解出義的值，

確定點E的位置，然后利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

(1)

證明：在△AB。中，由余弦定理可得8￡>2=A82+4)2-248?4Z)COSN84。

=4+3-2X2XGX等=1,

所以，AD2+BD2=AB2?:.AD±BD,

又因為四邊形ABC。為平行四邊形，所以，BCA.BD,

在，PCD中，PC=y/l,。。=6，8=2,:.PD2+CD2=PC2則尸￡>_LC￡>,

因為PD上BD,8OcCQ=O,.?.?￡>_L平面BCD,

3Cu平面8CQ,:.PD±BC.

(2)

解：因為PD1平面AC。，以點A為坐標原點，BC、BD、的方向分別為X、

丁、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則8(0,0,0)、C(75,O,O),￡)(0,1,0)、40,1,6),

設(shè)PE=%PC=%(G,T,-G)=(G%-4-&),其中0W4W1,

BE=8P+PE=e,1,G)+(包,一尢一向)=(G/U—4檔一6%),

設(shè)平面BDE的法向晟為〃;=(八,)，,z),Z?D=(0,1,0).

[m-BD=y=0

則|m.BE=ar+(lT)y+(G-網(wǎng)z=0'取"也可得加=(”1，°，孫

易知平面BCD的一個法向量為〃=(0,0,1),

??m-nDI&因為0W/IW1,解得％=；,

由已知可得cos<陽,/2>=LYJ=[J=—

?|葉MV2A2-22+l2

所以，石為PC的中點，因此，Vf_BCD=^_^=lxl5ABCDPD=7x^xlxV3xx/3=l

223624

16.(2022?山東東營?勝利一中?？寄M預(yù)測)如圖，A8,C。分別是圓臺上、下底面的直徑,

且ABCD,點E是下底面圓周上一點，AB=2母，圓臺的高為JR.

（1）證明：不存在點E使平面平面AOE；

（2）若OE=CE=4,求二面角的余注值.

【答案】（1）證明見解析；

3屈

⑵一

【分析】（1）引入輔助線先假設(shè)若題干成立，借此證明出AEL底面，顯然是不

對的；（2）建立坐標系，利用空間向量求解.

【詳解】（1）假設(shè)存在這樣的皮E使平面4EC_L平面4QE，C。是底面直徑，故ECLDE,

作O〃_LAE,乖足為，，由卜平血AEC_L平面AOE,平面AEC1平面AOE=AE，DHu

平面AOE,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，O〃_L平面/止C，又ECu平面田故DHtEC,

乂DH?DED,DH,DE\平面AO￡,故EC1平面AOE，故ECJ_AE,同理可證￡D_LAE，

又DEcCE=E,DE,CEu平面CDE于是4E_L平面EC。，又圓臺上下底面圓心連線垂直于

底面，但顯然上下底的圓心連線不和4￡平行，于是假設(shè)矛盾，故不存在點E使平面AECJ.

平面AOE.

（2）過。作AF_1_C。，垂足為尸，下以尸為原點，尸反尸力為MZ釉，過尸垂直于5。且落

在底面的射線為軸，建立空間直角坐標系.列出各點坐標

。（3忘,0,0）,A（2忘,0,阿,E（&2叵0）,8（0,0,阿

AF=（->/2,2>/2,-V14）,