高中數(shù)學(xué)必修二《第九章 統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)教案

《第九章統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí)教案

9.1隨機(jī)抽樣

9.1.1簡單隨機(jī)抽樣

【基礎(chǔ)知識拓展】

1.抽簽法的優(yōu)缺點(diǎn)與操作步驟

(1)優(yōu)點(diǎn)：簡單易行.當(dāng)總體的個(gè)數(shù)不多時(shí)，使總體處于“攪拌均勻”的狀

態(tài)比較容易，這時(shí)，每個(gè)個(gè)體都有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而能夠保證樣本的代表

性.

(2)缺點(diǎn)：僅適用于個(gè)體數(shù)較少的總體.當(dāng)總體容量非常大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力又

不方便，況且，如果號簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平.

(3)用抽簽法從容量為”的總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本的步驟：

①編號：給總體中的所有個(gè)體編號(號碼可以從1到加；

②制作號簽：將1?N這M個(gè)號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可以用

小球、卡片、紙條等制作)；

③均勻攪拌：將號簽放在一個(gè)不透明的容器里，攪拌均勻；

④抽取號碼：每次從容器中不放回地抽取一個(gè)號簽，連續(xù)抽取〃次；

⑤構(gòu)成樣本：從總體中將與抽到的號簽上的號碼一致的人體抽取，就構(gòu)成了

一個(gè)容量為〃的樣本.

2.隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)缺點(diǎn)及操作步驟

(1)優(yōu)點(diǎn)：簡單易行.它很好地解決了當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)抽簽法制簽

難的問題.

(2)缺點(diǎn)：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多，需要的樣本量也較大時(shí)，用隨機(jī)數(shù)表法

抽取樣本仍不方便.

(3)隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟：

①編號：對總體的個(gè)體進(jìn)行編號(每個(gè)號碼位數(shù)一致)；

②選定初始值：在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始；

③選號：從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到的號碼若不在編號中，

則跳過，若在編號中，則取出，如果得到的號碼前面已經(jīng)取出，也跳過，如此繼

續(xù)下去，直到取滿為止；

④確定樣本：根據(jù)選定的號碼抽取樣本.

3.抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的區(qū)別

抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少，樣本量也較小的抽

樣，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多，但樣本量較小的抽樣.

4.用樣本估計(jì)總體，主要基于以下兩點(diǎn)：

一是在很多情況下總體的個(gè)數(shù)往往很多，甚至無限，不能一一加以考察；二

是有些從總體中抽取個(gè)體的試驗(yàn)常有破壞性，因而抽取的個(gè)體不允許太多。

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判（正確的打7：錯(cuò)誤的打“X”）

（D簡單隨機(jī)抽樣就是隨便抽取樣本.（）

（2）使用抽簽法抽簽時(shí)，后抽簽的人占優(yōu)勢.（）

（3）利用計(jì)算器生成隨機(jī)數(shù)時(shí)，按一次“=”鍵可生成一個(gè)隨機(jī)數(shù).（）

答案⑴X（2）X（3）V

2.做一做

（1）下列調(diào)查：①每隔5年進(jìn)行一次人口普查；②報(bào)社等進(jìn)行輿論調(diào)查；③

燈泡使用壽命的調(diào)查；④對入學(xué)報(bào)名者的學(xué)歷檢查；⑤從20臺(tái)電視機(jī)中抽出3

臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中屬于抽樣調(diào)查的是（）

A.①②③B.②③⑤

C.②③④D.①③⑤

（2）下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的有（）

A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

答案（1）B（2）B

【核心素養(yǎng)形成】

題型一簡單隨機(jī)抽樣的判斷

例1下列5個(gè)抽樣中，簡單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)是（）

①從無數(shù)個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；

②倉庫中有1萬支火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；

③某連隊(duì)從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴青海參加抗

震救災(zāi)工作；

④一彩民選號，從裝有36個(gè)大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽

出6個(gè)號簽.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐個(gè)判斷.①不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楹?/p>

單隨機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體中的個(gè)體數(shù)是有限的；②不是簡單隨機(jī)抽樣，

雖然“一次性抽取”和“逐個(gè)抽取”不影響個(gè)體被抽到的可能性，但簡單隨機(jī)抽

樣要求的是“逐個(gè)抽取”；③不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)?0名官兵是從中挑出來

的，是最優(yōu)秀的，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機(jī)抽樣中“等可

能抽樣”的要求；④是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w中的個(gè)體數(shù)是有限的，并且是從

總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能的抽樣.綜上，只有④是簡單隨機(jī)抽

樣.

［答案］B

【解題技巧】簡單隨機(jī)抽樣必須具備的特點(diǎn)

(1)被抽取樣本的總體中的個(gè)體數(shù)是有限的.

(2)抽取的樣本是從總體中逐個(gè)抽取的.

(3)簡單隨機(jī)抽樣是一種等可能的抽樣.

如果三個(gè)特征有一個(gè)不滿足，就不是簡單隨機(jī)抽樣.

【跟蹤訓(xùn)練】

判斷下面的抽樣方法是否為簡單隨機(jī)抽樣，并說明理由.

(1)某班45名同學(xué)，指定個(gè)子最矮的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的某項(xiàng)活動(dòng)；

(2)從20個(gè)零件中一次性抽出3個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢查.

解(D不是簡單隨機(jī)抽樣.

因?yàn)橹付▊€(gè)子最矮的5名同學(xué)，是在45名同學(xué)中特指的，不存在隨機(jī)性，

不是等可能抽樣.

(2)不是簡單隨機(jī)抽樣.

因?yàn)橐淮涡猿槿?個(gè)不是逐個(gè)抽取，不符合簡單隨機(jī)抽樣的特征.

題型二用抽簽法抽取樣本

例2(1)上海某中學(xué)從40名學(xué)生中選1人作為上海男籃啦啦隊(duì)的成員，采

用下面兩種選法，則抽簽法的序號是.

①將這40名學(xué)生從1?40進(jìn)行編號，相應(yīng)地制作1?40的40個(gè)號簽，把這

40個(gè)號簽放在一個(gè)暗箱中攪勻，然后隨機(jī)地從中抽取1個(gè)號簽，與這個(gè)號簽編

號一致的學(xué)生幸運(yùn)入選；

②將39個(gè)白球與1個(gè)紅球(球除顏色外，其他完全相同)混合放在一個(gè)暗箱

中攪勻，讓40名學(xué)生逐一從中摸取一球，摸到紅球的學(xué)生成為啦啦隊(duì)成員.

(2)在社區(qū)公益活動(dòng)中，某單位共有50名志愿者參與了報(bào)名，現(xiàn)要從中隨機(jī)

抽出6人參加一項(xiàng)活動(dòng)，請用抽簽法進(jìn)行抽樣，并寫出過程.

［解析］(1)①滿足抽簽法的特征，是抽簽法；②不是抽簽法，因?yàn)槌楹灧?/p>

要求所有的號簽編號互不相同，而②中39個(gè)白球無法相互區(qū)分.

(2)第一步，將50名志愿者編號，號碼依次為1,2,3,…，50；

第二步，將號碼分別寫在大小、形狀、質(zhì)地都相同的紙條上，揉成團(tuán)，制成

號簽；

第三步，將所有號簽放入一個(gè)不透明的箱子中，攪拌均勻；

第四步，一次取出1個(gè)號簽，連取6次(不放回抽取)，并記錄其編號；

第五步，將對應(yīng)編號的志愿者選出即可.

［答案］⑴①(2)見解析

【解題技巧】抽簽法的五個(gè)步驟

____4給總體中所有的個(gè)體編號

編號—(號碼可以從1到N)_________

廠H、將1~%這7個(gè)號碼寫在形狀、大小、

電怨、質(zhì)地都相同的號簽上___________

LL,將號簽放在一個(gè)不透明的容器中，

I攪拌一攪拌均勻

，一每次從容器中不放回地抽取一個(gè)號

何甜簽.并記短算編號,連續(xù)抽取n次

從總體中，將與抽到的號簽編號一

取樣懺致的個(gè)體取由________________

【跟蹤訓(xùn)練】

從20架鋼琴中抽取5架進(jìn)行質(zhì)量檢查，請用抽簽法確定這5架鋼琴.

解第一步，將20架鋼琴編號，號碼是01,02,…，20.

第二步，將號碼分別寫在相同的紙條上，揉成團(tuán)，制成號簽.

第三步，將得到的號簽放入一個(gè)不透明的袋子中，并充分?jǐn)噭?

第四步，從袋子中逐個(gè)不放回地抽取5個(gè)號簽，并記錄上面的編號.

第五步，所得號碼對應(yīng)的5架鋼琴就是要進(jìn)行質(zhì)量檢查的對象.

題型三用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本

例3(1)要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行

實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001,002,…，850進(jìn)行編

號，如果從隨機(jī)數(shù)表第3行第6列的數(shù)開始向右讀，請依次寫出最先檢驗(yàn)的4

顆種子的編號：.(下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第8行)

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97742467624281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269696682731050372931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695556719981050717512867358074439523879

(2)現(xiàn)有一批零件,其編號為600,601,602,999.利用原有的編號從中

抽取一個(gè)容量為10的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查，若用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)法，怎樣設(shè)

計(jì)方案？

［解析］(1)從隨機(jī)數(shù)表第3行第6列的數(shù)2開始向右讀，第一個(gè)小于850

的數(shù)字是227,第二個(gè)數(shù)字是665,第三個(gè)數(shù)字是650,第四個(gè)數(shù)字是267,符合

題意.

(2)用計(jì)算器生成隨機(jī)數(shù)，第一步，進(jìn)入計(jì)算器的計(jì)算模式，調(diào)出生成隨機(jī)

數(shù)的函數(shù)并設(shè)置參數(shù)；

第二步，按“=”鍵生成一個(gè)符合條件的隨機(jī)數(shù)，繼續(xù)重復(fù)按鍵，生

成多個(gè)隨機(jī)數(shù)，如果生成的隨機(jī)數(shù)重復(fù)，則跳過去不讀，直到產(chǎn)生10個(gè)沒有重

復(fù)的隨機(jī)數(shù)為止；

第三步，以上10個(gè)號碼對應(yīng)的10個(gè)零件就是要抽取的對象.(答案不唯一)

［答案］(1)227,665,650,267(2)見解析

【解題技巧】利用隨機(jī)數(shù)表法抽樣時(shí)應(yīng)注意的問題

(1)編號要求位數(shù)相同，若不相同需先調(diào)整到一致后再進(jìn)行抽樣，如當(dāng)總體

中有100個(gè)個(gè)體時(shí)，為了操作簡便可以選擇從00開始編號，那么所有個(gè)體的號

碼都用兩位數(shù)字表示即可，從00?99號.如果選擇從001開始編號那么所有個(gè)

體的號碼都必須用三位數(shù)字表示，即從001?100.很明顯每次讀兩個(gè)數(shù)字要比讀

三個(gè)數(shù)字節(jié)省時(shí)間.

(2)第一個(gè)數(shù)字的抽取是隨機(jī)的.

(3)當(dāng)隨機(jī)數(shù)選定，開始讀數(shù)時(shí)，讀數(shù)的方向可左、可右、可上、可下，但

應(yīng)是事先定好的.

(4)讀數(shù)不在總體編號內(nèi)的和已取出的不算，依次下去，直至得到容量為〃

的樣本.

【跟蹤訓(xùn)練】

⑴總體由編號為01,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)

表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左

到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號為()

78166572080263140702436997280198

3.2.0.4...9..2.3.4...4..9.3.5....8.2..0.0...3..6..23....4.8..69....6.9.3.8...7.4.8..1...”

A.08B.07

C.02D.01

(2)某合資企業(yè)有3000名職工，要從中隨機(jī)抽出200人去參觀學(xué)習(xí).請用信

息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)法進(jìn)行抽取，并寫出過程.

答案(DD(2)見解析

解析(1)從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取

兩個(gè)數(shù)字開始向右讀，第一個(gè)數(shù)為65,不符合條件，第二個(gè)數(shù)為72,不符合條

件，第三個(gè)數(shù)為08,符合條件，以下符合條件的數(shù)依次為02,14,07,01,故第5

個(gè)數(shù)為01.故選D.

(2)第一步,將3000名職工依次編號為1,2,3,…，3000；

第二步，用電子表格軟件生成隨機(jī)數(shù)，在電子表格軟件的任一單元格中，輸

入“=RANDBETWEEN(1,3000)”，則生成一個(gè)1?3000范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)；

第三步，利用電子表格軟件的自動(dòng)填充功能得到200個(gè)沒有重復(fù)的隨機(jī)數(shù)；

第四步，這200個(gè)號碼應(yīng)應(yīng)的200名職工就是要抽取的職工.

題型四用樣本均值估計(jì)總體均值

例4某燈泡廠為測量一批燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽查了20只燈泡，

它們的使用壽命變量值(單位：h)如下所示：

624847120569818452457618132519082426

20182248246525769877371628199825432007

則由這些樣本觀測數(shù)據(jù)，估計(jì)這批燈泡的平均使用壽命是多少？

［解］抽出的20只燈泡的使用壽命組成一個(gè)樣本，可以用樣本的平均使用

壽命來估計(jì)這批燈泡的平均使用壽命.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得樣本的均值為1658h.

因此，可以估計(jì)這批燈泡的平均使用壽命大約是1658h.

【解題技巧】

(1)計(jì)算數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，需理解組中值的意義和數(shù)據(jù)“權(quán)數(shù)”的意義.

(2)用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，體現(xiàn)了重要的統(tǒng)計(jì)思想.

【跟蹤訓(xùn)練】

為了解一批輪胎的性能，汽車制造廠從這批輪胎中隨機(jī)抽取了8個(gè)進(jìn)行測試,

每個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)(單位：1000km)為:96,112,97,108,100,103,86,98.

則估計(jì)這批輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)的平均數(shù)為()

A.100B.99

C.98D.97

答案A

解析用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)，得這批輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)的平均

數(shù)約為

96+112+97+108+1004-103+86+98

---------------------------------------------------=100.

8

【課堂達(dá)訓(xùn)練】

1.為了檢查一批光盤的質(zhì)量，從中抽取了500張進(jìn)行檢測，則這個(gè)問題中

樣本量是（）

A.500張光盤B.500

C.500張光盤的質(zhì)量D.這批光盤

答案B

解析樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量，故這個(gè)問題中洋本量是500.故選

B.

2.下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是（）

A.從100個(gè)學(xué)生家長中一次性隨機(jī)抽取10人做家訪

B.從38本教輔參考資粒中選取內(nèi)容講解較好的3本作為教學(xué)參考

C.從自然數(shù)集中一次性抽取20個(gè)進(jìn)行奇偶性分析

D.某參會(huì)人員從最后一排20個(gè)座位中隨機(jī)選擇一個(gè)坐下

答案D

解析A不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槭恰耙淮涡浴背槿?B不是簡單隨機(jī)抽樣，

因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被抽到的概率不相等；C不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槭恰耙淮涡浴背?/p>

取，且“總體容量無限”.D是簡單隨機(jī)抽樣.

3.從52名學(xué)生中選取5名學(xué)生參加“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽，若采用簡

單隨機(jī)抽樣抽取，則每人入選的可能性（）

A.都相等，且為看B.都相等，且為J

1U

5

C.都相等，且為GD.都不相等

答案C

解析對于簡單隨機(jī)抽樣，在抽樣過程中每一個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)都相等

（隨機(jī)抽樣的等可能性）.若樣本容量為〃，總體的個(gè)體數(shù)為M則用簡單隨機(jī)抽

樣時(shí)，每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是￡體現(xiàn)了這種抽樣方法的客觀性和公平

性.因此每人入選的可能性都相等，且為與.

4.從某批零件中抽取50個(gè)，然后再從50個(gè)中抽出40個(gè)進(jìn)行合格檢查，發(fā)

現(xiàn)合格品有36個(gè)，則該產(chǎn)品的合格率約為()

A.36%B.72%

C.90%D.25%

答案C

36

解析—X100%=90%.

5.為了調(diào)查某班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所需的時(shí)間，在該班隨機(jī)抽查了8

名學(xué)生，他們每天完成家庭作業(yè)所需時(shí)間(單位：分鐘)分別為

60,55,75,55,55,43,65,40.

(1)求這組樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(2)估計(jì)該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時(shí)間，按照學(xué)校要求，學(xué)生每天

完成家庭作業(yè)所需的平均時(shí)間不能超過G0分鐘，該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的

平均時(shí)間是否符合學(xué)校的要求？

解(1)這組樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為)x(60+55+75+55+55+43+65+

O

40)=56.

(2)由樣本平均數(shù)，估計(jì)該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時(shí)間為56分鐘.

???56<60,???該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時(shí)間符合學(xué)校的要求.

9.1.2分層隨機(jī)抽樣

9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑

【基礎(chǔ)知識拓展】

1.分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)

由于層與層之間有明顯的區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間的差異不明顯，在抽取樣本時(shí),

一般在每層抽樣時(shí)隨機(jī)抽樣，以保證公平、公正，在實(shí)際操作時(shí)，應(yīng)先計(jì)算抽樣

比仁需嚷T然后再計(jì)算每層需要抽取的個(gè)數(shù)：抽樣比x該層個(gè)體數(shù)目=

部樣本最量x該層個(gè)體數(shù)目.

2.分層隨機(jī)抽樣的適用條件

分層隨機(jī)抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與

總體結(jié)構(gòu)的一致性，這對提高樣本的代表性非常重要.當(dāng)總體是由差異明顯的幾

個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層隨機(jī)抽樣的方法.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)在分層隨機(jī)抽樣中，每層被抽到的個(gè)體數(shù)是一樣的.()

(2)分層隨機(jī)抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不一樣.()

(3)樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù).()

答案⑴X(2)X(3)X

2.做一做

(1)為調(diào)查某班學(xué)生的平均身高，從50名學(xué)生中抽取5名，因?yàn)槟猩纳?/p>

高和女生的身高有顯著不同，所以獲取樣本時(shí)宜采用________抽樣.

(2)一個(gè)班共有54人，其中男女人數(shù)比為5：4,若抽取9人參加教改調(diào)查

會(huì)，則應(yīng)抽取男同學(xué)人.

(3)已知數(shù)據(jù)心如四，豆的平均數(shù)為2,則數(shù)據(jù)3即3&3感3否的平均數(shù)是

答案(1)分層隨機(jī)⑵5(3)6

【核心素養(yǎng)形成】

題型一分層隨機(jī)抽樣的概念

例1(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般

干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機(jī)關(guān)對政府機(jī)構(gòu)改革的意見，要從

中抽取20人，用下列哪種方法最合適()

A.抽簽法B.簡單隨機(jī)抽樣法

C.分層隨機(jī)抽樣法D.隨機(jī)數(shù)法

(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型隨機(jī)抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后

每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，若分層隨機(jī)抽樣要保證每個(gè)人體等可能抽樣，必

須進(jìn)行()

A.每層等可能抽樣

B.每層可以不等可能抽樣

C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣

D.所有層抽取個(gè)體數(shù)量相同

［解析］(1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣法.

(2)保證每個(gè)個(gè)體等可能的被抽取是簡單隨機(jī)抽樣和比例分配的分層隨機(jī)抽

樣的共同特征，為了保證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比

等可能抽取.

［答案］(DC(2)C

【解題技巧】使用分層隨機(jī)抽樣的原則

(1)將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，

即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則.

(2)比例分配的分層隨機(jī)油樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中

進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，使每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比等于抽樣比.

【跟蹤訓(xùn)練】

下列問題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣方法抽樣的是()

A.某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號是1?40.有一次報(bào)告

會(huì)坐滿了聽眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進(jìn)行座談

B.從10臺(tái)冰箱中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查

C.某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，洼地4000畝，

現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量

D.從50個(gè)零件中抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)

答案C

解析A的個(gè)體沒有呈現(xiàn)出較大差異，不適合用分層隨機(jī)抽樣法；B的總體

容量較小，用簡單隨機(jī)抽樣法比較方便；C總體容量較大，巨各類田地的產(chǎn)量差

別很大，宜采用分層隨機(jī)抽樣方法；D與B類似.

題型二分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用

例2一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的

有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有

關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān),

應(yīng)該怎樣抽取?

［解］用比例分配的分層隨機(jī)抽樣來抽取樣本，步驟如下：

(1)分層.按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲

的職工；50歲及50歲以上的職工.

(2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù).抽樣比為例=:，則在不到35歲的職工中抽

5005

取125X2=25(人)；

5

在35歲至49歲的職工中抽取280Xg=56(人)；

在50歲及50歲以上的職工中抽取95x1=19(人).

□

(3)在各層分別按隨機(jī)數(shù)法抽取樣本.

(4)匯總每層抽樣，組成樣本.

【解題技巧】利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的操作步驟

【跟蹤訓(xùn)練】

某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總

人數(shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

很喜愛喜愛一般不喜愛

2435456739261072

電視臺(tái)為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中再抽取60人進(jìn)行

更為詳細(xì)的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣?

解采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽樣比為赤而;=訴.

JL乙UUU乙UU

“很喜愛”的有2435人，應(yīng)抽取2435X熹七12（人）；

乙UU

“喜愛”的有4567人，應(yīng)抽取4567X焉A23（人）；

“一般”的有3926人，應(yīng)抽取3926X焉-20（人）；

“不喜愛”的有1072人，應(yīng)抽取1072X熹比5（人）.

乙UU

因此，采用分層隨機(jī)抽樣的方法在“很喜愛”“喜愛”“一般”“不喜愛”

的人中應(yīng)分別抽取12人、23人、20人、5人.

題型三分層隨機(jī)抽樣的綜合應(yīng)用

例3某校高一年級有24個(gè)班，共1000名學(xué)生，他們參加了一次數(shù)學(xué)測

試.學(xué)校統(tǒng)計(jì)了所有學(xué)生的成績，得到下列統(tǒng)計(jì)圖.

某校離?年級男女生某校高?年級數(shù)學(xué)泅試男

的人數(shù)分布扇形圖女生成績的平均數(shù)條形圖

（1）求該校高一年級學(xué)生本次測試成績的平均數(shù).

（2）假設(shè)要抽取300名學(xué)生，按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，應(yīng)抽取

男生多少名？女生多少名？

［解］（1）由題意并結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖，可知男生共有1000X60%=600（名），

女生共有1000X40%=400（名）.由成績的平均數(shù)條形圖可得，該校高一年級學(xué)

生本次測試成績的平均數(shù)三=（80X600+82.5X400）?1000=81（分）.

（2）抽取300名學(xué)生，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，則男生應(yīng)抽取

600X儒=180（名），女生應(yīng)抽取400X湍=120（名）.

【解題技巧】

(1)解決統(tǒng)計(jì)問題要做好數(shù)據(jù)的處理和數(shù)據(jù)的分析.

(2)條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分

在總體的百分比大小.

■跟蹤訓(xùn)練3

有4萬個(gè)不小于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取了3000個(gè)數(shù)，統(tǒng)計(jì)如下表：

數(shù)據(jù)X70<K7980<X8990〈水99

個(gè)數(shù)8001300900

平均數(shù)78.18591.9

請根據(jù)表格中的信息，估計(jì)這4萬個(gè)數(shù)的平均數(shù)約為()

A.92.16B.85.23

C.84.73D.77.97

答案B

解析這3000個(gè)數(shù)的平均數(shù)為：

78.1X800+85X1300+91.9X900”“

標(biāo)5=85.23,

于是用樣本的平均數(shù)去估計(jì)總體的平均數(shù)，則這4萬個(gè)數(shù)的平均數(shù)約為

85.23.

題型四獲取數(shù)據(jù)的途徑

例4簡單設(shè)計(jì)一份問卷，調(diào)查學(xué)生對高一各學(xué)科的態(tài)度.

［解］請按自己的感受把下面這些學(xué)科的序號填在空格里.

①語文②數(shù)學(xué)③外語④物理⑤化學(xué)⑥生物⑦歷史⑧地理

⑨政治⑩體育?藝術(shù)(音樂、美術(shù))?技術(shù)

我喜歡的學(xué)科

我感覺壓力最大的學(xué)科

我不喜歡的學(xué)科

我覺得有用的學(xué)科

我覺得內(nèi)容多的學(xué)科

我覺得內(nèi)容少的學(xué)科

【解題技巧】調(diào)查問卷中問題設(shè)計(jì)的要求

(1)問卷中的問題必須設(shè)計(jì)詳細(xì)，以便被調(diào)查者順利回答.

(2)把比較容易的，不涉及個(gè)人的問題排在比較靠前的位置，較難的、涉及

個(gè)人的問題放在后面.

【跟蹤訓(xùn)練】

為調(diào)查小區(qū)平均每戶居民的月用水量，下面是三名同學(xué)設(shè)計(jì)的方案：

學(xué)生甲：我把這個(gè)用水量調(diào)查表放在互聯(lián)網(wǎng)上，只要登陸網(wǎng)站的人就可以看

到這張表，他們填的表可以很快地反饋到我的電腦中，這樣就可以很快估算出小

區(qū)平均每戶居民的月用水量；

學(xué)生乙：我給我們居民小區(qū)的每一個(gè)住戶發(fā)一張用水調(diào)查表，只要一兩天就

可以統(tǒng)計(jì)出小區(qū)平均每戶居民的月用水量；

學(xué)生丙：我在小區(qū)的電話號碼本上隨機(jī)地選出一定數(shù)量的電話號碼，然后逐

個(gè)給這些住戶打電話，問一下他們的月用水量，然后就可以估算出小區(qū)平均每戶

居民的月用水量.

請問：這三位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案中哪一個(gè)較合理？你有何建議？

解學(xué)生甲的方法得到的樣本只能夠反映上網(wǎng)居民的用水情況，它是一種方

便樣本，所得到的樣本代表性差，不能很準(zhǔn)確地獲得平均每戶居民的月用水量.

學(xué)生乙的方法實(shí)際上是普查，花費(fèi)的人力、物力更多一些，但是如果統(tǒng)計(jì)過

程不出錯(cuò)，就可以準(zhǔn)確地得到平均每戶居民的月用水量.

學(xué)生丙的方法是一種隨機(jī)抽樣的方法，所在小區(qū)的每戶居民都裝有電話的情

況下，建議用隨機(jī)抽樣方法獲得數(shù)據(jù)，用學(xué)生丙的方法，既節(jié)省人力、物力，又

可以得到比較精確的結(jié)果.

【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1.某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀

況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法

是()

A.簡單隨機(jī)抽樣B.抽簽法

C.隨機(jī)數(shù)法D.分層隨機(jī)抽樣

答案D

解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例

相同，因此用的是分層隨機(jī)抽樣，且樣本量的分配方式為比例分配.

2.對一個(gè)容量為/V的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣和比

例分配的分層隨機(jī)抽樣兩種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率

分別為4,斗貝4（）

A.P）P2B.PKP?

C.P\=P?D.無法確定

答案C

解析簡單隨機(jī)抽樣和比例分配的分層隨機(jī)抽樣都是等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體

被抽中的概率均談

3.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)

三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法抽取一個(gè)容量為

90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（)

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

答案B

901

解析先求抽樣比彳=3600+5400+180。―120,再各層按抽樣比分別抽取,

則甲校抽取3600義念=301人），乙校抽取5400X焉=45（人），丙校抽取

1800X焉=15（人），故選B.

JL乙U

4.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用比例

分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從該校四個(gè)年級的本科生中抽取一個(gè)容量為300

的樣本進(jìn)行調(diào)查，己知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比

為4：5：5：6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.

答案60

4

解析根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為而即X300=60.

5.某校500名學(xué)生中，0型血有200人，A型血有125人，B型血有125人,

AB型血有50人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個(gè)容量為20的樣

本.按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，各種血型的人分別抽多少？

解用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽樣.

201111

V^0=^??200X-=8,125X-=5,50X-=2.

故0型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.

9.2用樣本估計(jì)總體

9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)

【基礎(chǔ)知識拓展】

1.頻率分布直方圖能夠直觀、形象地反映樣本的分布規(guī)律，可以大致估計(jì)

出總體的分布，但是從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)繪制成

頻率分布直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.在頻率分布直方圖中，由

頻率

于長方形的面積5=組距乂就=頻率，所以各個(gè)小長方形的面積表示相應(yīng)各組

的頻率，這樣頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)在各個(gè)小組的頻率的大

小，各個(gè)小長方形的面積總和等于1.

2.一般地，樣本量越大，這種估計(jì)就越精確,總體估計(jì)要掌握：（1）“表”（頻

率分布表）；（2）“圖”（頻率分布直方圖）.

提醒：直方圖的縱軸（小長方形的高）一般是頻率除以組距的商，橫軸一般是

數(shù)據(jù)的大小，小長方形的面積表示頻率.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判（正確的打7：錯(cuò)誤的打“X”）

（1）頻率分布直方圖的縱軸表示頻率.（）

（2）數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小亙組蒜頻看數(shù)趙來表示.（）

（3）頻率分布直方圖把樣本數(shù)據(jù)落在各小組的比例大小直觀化，更有利于我

們從整體上把握數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn).（）

答案⑴X（2）V（3）V

2.做一做

⑴將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為8個(gè)組，如下表:

組號12345678

頻數(shù)1013X141513129

則第3組的頻率為()

A.0.03B.0.07

C.0.14D.0.21

(2)一個(gè)容量為〃的樣本，分成若干組，已知某組的頻率和頻數(shù)分別為0.125

和40,則〃的值為()

A.640B.320

C.240D.160

(3)一個(gè)容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下：[10,20),2；[20,30),

3；[30,40),4；[40,50),5；[50,60),4；[60,70],2,則樣本在[10,50)上的

頻率為()

(4)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長

(單位：cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在

抽測的60株樹木中，有株樹木的底部周長小于100cm.

順率/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

8090100110120130

答案(1)C(2)B(3)D(4)24

【核心素養(yǎng)形成】

題型一頻率分布直方圖的畫法

例1從某校高一年級1002名新生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的身高樣本,

數(shù)據(jù)如下(單位：cm),試作出該樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖.

168165171167170165170152175174

165170168169171166164155164158

170155166158155160160164156162

160170168164174171165179163172

180174168164174171165179163169

151168158168176155165165169162

177158175165169151163166163167

178165158170169159155163153155

167163164158168167161162167168

161165174156167166162161164166

［解］(1)在全部數(shù)據(jù)中發(fā)出最大值180,最小值151,計(jì)算極差=180—151

=29.

9Q

(2)取組距為3,則組數(shù)為w■能10.

(3)從第一組［150.5,153.5)開始，統(tǒng)計(jì)出各組的頻數(shù)，再計(jì)算各組的頻率,

并將結(jié)果填入下表：

分組頻數(shù)統(tǒng)計(jì)頻數(shù)頻率

[150.5,153.5)iF40.04

[153.5,156.5)正下80.08

[156.5,159.5)正T70.07

口59.5,162.5)正正100.10

[162.5,165.5)正正正正下230.23

[165.5,168.5)正正正正190.19

[168.5,171.5)正正正150.15

[171.5,174.5)正一60.06

[174.5,177.5)iF40.04

[177.5,180.5]iF40.04

合計(jì)1001

頻率分布直方圖如圖.

()(6.)7

06

605

S()4

S()3

S02

0|

6。

身商/cm

【解題技巧】繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)

(1)計(jì)算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，可選一

個(gè)數(shù)當(dāng)參照.

(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定

分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多.

(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)時(shí)，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一

組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn).

(4)列頻率分布表時(shí)，可通過逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi)，以“正”

字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).

(5)畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻

率.

【跟蹤訓(xùn)練】

美國歷屆總統(tǒng)中，就任時(shí)年齡最小的是羅斯福，他于1901年就任，當(dāng)時(shí)年

僅42歲；就任時(shí)年齡最大的是特朗普，他于2016年就任，當(dāng)時(shí)70歲.下面按

時(shí)間順序(從1789年的華盛頓到2016年的特朗普，共45佳)給出了歷屈美國總

統(tǒng)就任時(shí)的年齡：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,

52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,

54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.

(D將數(shù)據(jù)分為7組，列出頻率分布表，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖；

(2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時(shí)年齡的分布情況.

解(1)以4為組距，列頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[42,46)20.0444

[46,50)70.1555

[50,54)80.1778

[54,58)160.3556

[58,62)50.1111

[62,66)40.0889

[66,70]30.0667

合計(jì)451.0000

畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖，如圖所示.

(2)從頻率分布表中可以看出，將近60%的美國總統(tǒng)就任時(shí)的年齡在50歲至

60歲之間，45歲及45歲以下和65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對較小.

題型二頻率分布直方圖的應(yīng)用

例2為了迎接某市作為全國文明城市的復(fù)查，愛衛(wèi)會(huì)隨機(jī)抽取了60位路

人進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查項(xiàng)目是自己對該市各方面衛(wèi)生情況的滿意度(假設(shè)被問卷

的路人回答是客觀的)，以分?jǐn)?shù)表示問卷結(jié)果，并統(tǒng)計(jì)他們的問卷分?jǐn)?shù)，把其中

不低于50分的分成五段：［50,60),［60,70),…，［90,100］后畫出如圖所示的

部分頻率分布直方圖，觀察圖形信息，回答下列問題：

(1)求出問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)低于50分的被問卷人數(shù);

(2)估計(jì)全市市民滿意度在60分及以上的百分比.

［解］(1)因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1,

故低于50分的頻率為

f=l-(0.015X2+0.030+0.025+0.005)X10=0.1,故低于50分的人數(shù)

為60X0.1=6.

(2)依題意，60分及以上的頻率和為

(0.015+0.030+0.025-F0.005)X10=0.75,

所以抽樣滿意度在60分及以上的百分比為75%.

于是，可以估計(jì)全市市民滿意度在60分及以上的百分比為75%.

【解題技巧】頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布指的是一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小，一般用頻率

分布直方圖反映樣本的頻率分布，其中：

(D頻率分布直方圖中縱地表示頻畚率點(diǎn)；

(2)頻率分布直方圖中，各個(gè)小長方形的面積等于頻率，各個(gè)小長方形的面

積之和為1;

(3)長方形的高的比也就是頻率之比.

【跟蹤訓(xùn)練】

從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖(如圖所示)，由圖中數(shù)據(jù)可知a=.若要從身高在［120,130),

［130,140),［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)

活動(dòng)，則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為.

答案0.0303

解析因?yàn)轭l率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,所以10X(0.005

+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由圖可知身高在［120,150］內(nèi)

的學(xué)生人數(shù)為100X10X(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在［140,150］內(nèi)

的學(xué)生人數(shù)為10,所以從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為三;X10=3.

題型三統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用

例3某省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“每天鍛煉一小時(shí)”寫入課程表，為

了響應(yīng)這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動(dòng)項(xiàng)目是什么？(只寫一項(xiàng))”

的問題，對在校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù).圖1是根據(jù)這組

數(shù)據(jù)繪制的柱形圖.請結(jié)合柱形圖回答下列問題：

(1)該校對多少名學(xué)生進(jìn)號了抽樣調(diào)查？

(2)本次抽樣調(diào)查中，最喜歡籃球活動(dòng)的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比

是多少？

圖2

(3)若該校九年級共有200名學(xué)生，圖2是根據(jù)各年級學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生

總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形圖，請你估計(jì)全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動(dòng)的人數(shù)約為

多少？

［解］(1)由圖1知4+8+10+18+10=50(名)，所以該校對50名學(xué)生進(jìn)

行了抽樣調(diào)查.

1O

(2)本次調(diào)查中，最喜