2.3.1 直線的交點坐標 課件-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.3.1兩條直線的交點坐標學習目標1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(重點).2.會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關系(重點)..3.掌握兩點間距離公式并會應用(難點)．提示直線l1，l2的圖象如圖所示.點M既在直線l1上，也在直線l2上.滿足直線l1的方程x＋y－5＝0，也滿足直線l2的方程x－y－3＝0.問題1

已知兩條直線l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，畫出兩條直線的圖象，分析交點坐標M與直線l1，l2的方程有什么關系？解之得x=4,y=1,即交點M（4，1）。實例1：求下列兩條直線的交點坐標，并畫出圖形：l1:3x＋4y─2＝0，l2:2x＋y＋2＝0.即直線l1,l2交點M（-2，2）實例2：求經(jīng)過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程.即l1與l2的交點坐標為(－2,2).∵直線過坐標原點，故直線方程為y＝－x，即x＋y＝0.方法二∵l2不過原點，∴可設l的方程為3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.將原點坐標(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直線l的方程為5x＋5y＝0，即x＋y＝0.實例2：求經(jīng)過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程.結論：過直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0)交點的直線系方程：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,λ為參數(shù)且λ≠0)求與已知兩直線的交點有關的問題，可有以下兩種解法：(1)先求出兩直線交點，將問題轉化為過定點的直線，然后再利用其他條件求解.(2)運用過兩直線交點的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點，則過l1與l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設出方程后再利用其他條件求解.變式：求證:不論m為何實數(shù),直線

(m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒過某一定點.兩直線的交點坐標例.求證:不論m為何實數(shù),直線

(m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒過某一定點.兩直線的交點坐標含有參數(shù)的直線恒過定點問題的解法①直接法將已知的直線方程轉化為點斜式、斜截式等形式的方程，進而得定點．②特殊值法取出直線系中的兩條特殊直線，它們的交點就是所有直線都過的定點．③方程法將已知的直線方程整理成關于參數(shù)的方程，由于直線恒過定點，則關于參數(shù)的方程應有無窮多解，進而求出定點．方法總結實例3.判斷下列各對直線的位置關系，如果相交，求出交點坐標.(1)l1:x－y=0，l2:3x＋3y－10＝0；(2)l1:

3x－y＋4＝0，l2:6x－2y－1＝0；(3)l1:

3x＋4y－5＝0，l2:6x＋8y－10＝0.故l1與l2無公共點，即l1//l2得此方程組無解。得此方程組有無窮多組解，故l1與l2重合。實例3.判斷下列各對直線的位置關系，(如果不要求求交點坐標)(1)l1:x－y=0，l2:3x＋3y－10＝0；(2)l1:

3x－y＋4＝0，l2:6x－2y－1＝0；(3)l1:

3x＋4y－5＝0，l2:6x＋8y－10＝0.故l1與l2無公共點，即l1//l2解：（1）因為A1B2-A2B1=1×3-3×（-1）=6≠0，得l1,l2相交；故l1與l2重合。（2）因為A1B2-A2B1=3×（-2）-6×（-1）=0，且A1C2-A2C1=3×（-1）-6×4≠0（3）因為A1B2-A2B1=3×8-6×4=0，且A1C2-A2C1=3×（-10）-6×(-5)=0已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0)一組無數(shù)組一個無數(shù)個零個相交重合平行用方程組解的個數(shù)判斷其位置關系運算量較大，一般使用下列結論：變式練習：已知直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點位于第四象限，則a的取值范圍是__________.例2（2）

求經(jīng)過兩條直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程．題型二相交直線系的應用例2（2）

求經(jīng)過兩條直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程．注.過兩直線的交點的直線求解題型二相交直線系的應用(1)求過兩直線交點的直線方程的方法直線系法：先設直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0再結合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程．方法總結：(2)含有參數(shù)的直線恒過定點問題的解法①直接法：將直線方程化為點斜式、斜截式等形式的方程，進而得定點．②特殊值法：取出直線系中的兩條特殊直線，求它們的交點．③方程法：將已知的直線方程整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，解方程組求解．1.兩條直線的交點坐標：一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則直線l1

與

l2

相交，方程組的解就是交點的坐標.

直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0位置關系判定：

經(jīng)過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是參變量，它不表示直線l2.

(3)共點直線系方程：與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n=0(n是參變量).(2)垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m≠C),m是參變量.(1)平行直線系方程：2.直線系：具有某一共同屬性的一類直線的集合.3.平面內兩點P1(x1,y1),

P2(x2,y2)間的距離公式為：【當堂達標】CBB(0，1)2x＋y－4＝0題型一求相交直線的交點坐標例1直線l過原點，且經(jīng)過另兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點，則直線l的方程為________．注意：求兩相交直線的交點坐標，關鍵是解方程組，解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法.(1)若一條直線的方程是斜截式，常常應用代入消元法解方程組.(2)若直線的方程都是一般式，常常應用加減消元法解方程組.[跟蹤訓練]1（1）若兩直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點在y