專題03四類立體幾何題型-2023年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)練習(xí)（新高考專用）

專題03四類立體幾何題型2023年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)（解析版）立體幾何問題一般分為四類：類型1：線面平行問題；類型2：線面垂直問題；類型3：點(diǎn)面距離問題；類型4：線面及面面夾角問題；下面給大家對(duì)每一個(gè)類型進(jìn)行秒殺處理.技巧：法向量的求算待定系數(shù)法：步驟如下：①設(shè)出平面的法向量為．②找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，．③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組有無數(shù)多個(gè)解，只需給中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量．秒殺：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量是平面的一個(gè)法向量.特別注意：空間點(diǎn)不容易表示出來時(shí)直接設(shè)空間點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用距離列三個(gè)方程求解.類型1：線面平行問題方法一：中位線型：如圖=1\*GB2⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面.分析：方法二：構(gòu)造平行四邊形如圖=2\*GB2⑵,平行四邊形和梯形所在平面相交，//，求證：//平面.分析：過點(diǎn)作//交于，就是平面與平面的交線，那么只要證明//即可。方法三：作輔助面使兩個(gè)平面是平行如圖⑶，在四棱錐中，底面為菱形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，證明：直線分析：：取中點(diǎn)，連接，只需證平面∥平面。方法四：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ（如圖）．求證：PQ∥平面CBE．如圖=5\*GB2⑸，已知三棱錐，是,,的重心.(1)求證：∥面；方法五：（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系（或找空間一組基底）及平面的法向量。線面平行問題專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)，AC=AA1=2.(1)求證：DE∥平面A1BC；(2)求DE與平面BCC1B1夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為AC、AA1的中點(diǎn)，∴DE為三角形ACA1的中位線，即DE∥CA1，平面，平面，∴DE∥平面A1BC（2）過點(diǎn)A1作B1C1的垂線，垂足為F，連結(jié)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面，所以為在平面的射影，即為所求角，，，所?2．如圖，在多面體中，已知是正方形，，平面分別是的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，設(shè)是的中點(diǎn)，連接．為的中點(diǎn)，．又平面平面，平面．同理可得，平面．平面，∴平面平面．又平面，平面．（2）平面平面，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得令，得，設(shè)與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為3．如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面.是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點(diǎn)，且.(1)證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，所以與相似．所以．又，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面．（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的方向分別為軸、軸的正方向，與均垂直的方向作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，0，，，1，，，2，，，，2，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，得，，．設(shè)二面角的平面角的大小為，則．所以二面角的余弦值為．4．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，圓柱底面半徑.(1)求證：平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，，則，且，，連接，，由圓柱的性質(zhì)可得，所以四邊形是平行四邊形，，所以為中點(diǎn)，所以易知，平面，平面，所以平面；（2）設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，，所以，取平面的法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值，所以平面與平面夾角的余弦值為.5．在直三棱柱中，，M、N分別為棱BC和的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).(1)若平面AMN，試求點(diǎn)P的軌跡，并證明；(2)若P是線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為Q，連，QB，，則點(diǎn)P的軌跡為線段BQ.證明：因?yàn)镸，N分別為BC和的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫鍭NN，平面AMN所以平面AMN又因?yàn)镼是的中點(diǎn)，所以而，所以且所以四邊形為平行四邊形所以又因?yàn)槠矫鍭NN，平面AMN所以平面AMN因?yàn)?，所以平面平面AMN因?yàn)辄c(diǎn)P在側(cè)面上，且平面所以在平面內(nèi)，所以點(diǎn)P在線段BQ上，所以點(diǎn)P的軌跡為線段BQ.（2）依題設(shè)可知直三棱柱為正三棱柱，以M為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則.取，得設(shè)平面的法向量為，則.取，得∴所以，二面角的余弦值為.類型2：線面垂直問題必記結(jié)論：①特殊的平行四邊形邊長之比1:2，夾角為，則對(duì)角線與邊垂直②特殊的直角梯形邊長之比1:1:2,對(duì)角線與腰垂直③等腰三角形三線合一，三線與底垂直④直徑所對(duì)的圓周角為直角⑤菱形和正方形：對(duì)角線互相垂直⑥特殊的矩形：邊長之比1:2或1：有明顯的直角關(guān)系線面垂直問題專項(xiàng)訓(xùn)練6．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)D到平面ABE的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：∵，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，∴，且，又平面，∴平面，又平面，∴，又，且，平面，∴平面．（2）∵，，，∴，∴，，．在中，，，∴邊上的高為．∴．設(shè)點(diǎn)D到平面ABE的距離為d，根據(jù)，得，解得，所以點(diǎn)D到平面ABE的距離為．7．如圖，四邊形為菱形，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，F(xiàn)O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以.因?yàn)镋D平面ABCD,AC平面ABCD，所以.又，平面BDEF，所以平面BDEF；又平面BDEF，所以.設(shè)FB=1，由題意得ED=2，.因?yàn)镕B//ED，且面，則FB平面ABCD，而平面ABCD，故，，所以，，.

因?yàn)?，所?

因?yàn)?，平面ACF，所以EO平面ACF.

又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.（2）取EF中點(diǎn)G，連接OG，所以O(shè)G//ED，OG底面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由?）中所設(shè)知，，所以，,所以.所以，，，設(shè)平面FAE的一個(gè)法向量為，則，所以；平面AEC的一個(gè)法向量為，則，所以；所以，由圖形可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為.8．如圖，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，且，平面平面．(1)求證：；(2)若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐的體積為?【答案】(1)證明見解析(2)E為線段上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)【詳解】（1）四邊形是直角梯形，，，，∴，則，∴，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；（2）由（1）可知平面，，設(shè)，則E到平面的距離為到平面的距離的倍，即E到平面的距離，是等腰直角三角形，，，，，即，，E為線段上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)．9．如圖，在直三棱柱中，，，，D為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：BE⊥平面；(2)求三棱錐BDEF的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵，，，∴，，則．∵為直三棱柱，故側(cè)面為矩形，∴，綜上，，故，又，∴，則．∵平面ABC，平面ABC，∴，又AC⊥AB，，平面，平面，∴平面，又平面，則．∵，平面，平面，∴平面．（2）連接AF，，平面，平面，∴平面，∴三棱錐BDEF的體積．∵，∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴三棱錐BDEF的體積．10．如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)闉橹比庵云矫?又平面，所以.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?又平面，所以.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以.又，所以，同理，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?（2）因?yàn)?，，，所以，，所?由（1）知平面，所以，即三棱錐的體積為.類型3：點(diǎn)面距離問題結(jié)論1：《點(diǎn)線距離》《異面直線求距離問題》結(jié)論2：《點(diǎn)面距離》結(jié)論3：《線面距離》結(jié)論4：《面面距離》結(jié)論5：《點(diǎn)點(diǎn)距離》11．如圖，在底面是矩形的四棱雉中，平面，，，是PD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面PAD；(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值；(3)求B點(diǎn)到平面EAC的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由題可知，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，由題意知，平面，平面ACD的法向量為,設(shè)平面EAC與平面ACD夾角的，則，所以平面EAC與平面ACD夾角的余弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量為，設(shè)B點(diǎn)到平面EAC的距離為，則，所以B點(diǎn)到平面EAC的距離為.12．如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點(diǎn)P，M分別為，上靠近的三等分點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M到直線的距離；(2)求直線PD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可得AD=2，，又點(diǎn)P為AB上靠近A的三等分點(diǎn)，所以AP=1．在中，由余弦定理可得，，故，所以為直角三角形，故DP⊥AB．因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以DP⊥CD．由直四棱柱性質(zhì)可知，，即DP，CD，兩兩垂直．故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DP，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz．則．因?yàn)?，過點(diǎn)M作，（點(diǎn)到直線的距離即為通過該點(diǎn)向直線做垂線，點(diǎn)到垂足的距離）令，所以，故．由，解得，所以，故點(diǎn)M到直線的距離為．（2）因?yàn)?，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，故．設(shè)直線PD與平面所成角為，則．所以直線PD與平面所成角的正弦值為．13．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，三棱錐是正三棱錐，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).(1)求二面角的余弦值；(2)判斷直線SA與平面BDF的位置關(guān)系.如果平行，求出直線SA與平面BDF的距離；如果不平行，說明理由.【答案】(1)(2)平行，距離為【詳解】（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接SO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)為AC，BD的中點(diǎn)，且，因?yàn)槿忮F是正三棱錐，，O為BD的中點(diǎn)，所以，平面SAC,平面SAC,又，所以平面SAC.作平面BCD于H，則H為正三角形BCD的中點(diǎn)，H在線段OC上，且，，，.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，C.，D.，，，，所以，，，設(shè)是平面EBF的法向量，則，則，設(shè)是平面DBF的法向量，則，取，所以，又因?yàn)槎娼鞘卿J二面角，所以二面角的余弦值為.（2）直線SA與平面BDF平行.法1:連接OF，由（1）知O為AC的中點(diǎn)，又F為SC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍮DF，平面BDF，所以直線平面BDF.法2:由（1）知是平面BDF的一個(gè)法向量，又，，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫鍮DF，所以直線平面BDF.設(shè)點(diǎn)A與平面BDF的距離為h，則h即為直線SA與平面BDF的距離，因?yàn)?，是平面DBF的一個(gè)法向量，所以，所以點(diǎn)A與平面BDF的距離為，所以直線SA與平面BDF的距離為.14．四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點(diǎn)．(1)求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；(2)證明：平面PAD，并求點(diǎn)E到平面PAD的距離．【答案】(1)(2)證明見解析，【詳解】（1）由題意，兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，菱形中，，所以,在中，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以PB與底面ABCD所成的角為，所以，則點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是，E是PB的中點(diǎn)，則，于是，.設(shè)的夾角為θ，則有，故，∴異面直線DE與PA所成角的大小是.（2）連接，分別是的中點(diǎn)，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.因?yàn)椋?設(shè)平面PAD的法向量，則，令，則，所以，又，則點(diǎn)E到平面PAD的距離.15．斜三棱柱的各棱長都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)存在，(2)【詳解】（1）連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，由題意知平面ABC，又，，所以，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由得，同理得，設(shè)，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存在點(diǎn)D且滿足條件；（2）設(shè)平面的法向量為，，，則有，可取，又，∴點(diǎn)到平面的距離為，∴所求距離為.類型4：線面及面面夾角問題結(jié)論1：異面直線所成角①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式求出關(guān)鍵是求出及與結(jié)論2：線面角 結(jié)論3：二面角的平面角 線面及面面夾角問題專項(xiàng)訓(xùn)練16．如圖，在四邊形中，，以為折痕將折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且．(1)證明：平面；(2)若M為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）因?yàn)?，又，所以，所以，由，可知，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面；?）取的中點(diǎn)O，連接，由（1）知，平面，為的中位線，，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由令，得，，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．在四棱錐中，面面，，是線段上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)求證：面；(2)若面和面的夾角為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）法一：由，面面，面，面面，所以面，面，故，由勾股定理得：，而，又，所以，所以，易得：，所以，故，又，面，所以面.法二：因?yàn)槊婷?，在平面?nèi)作，則面，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，可?所以，又，故，所以，又，面，所以面.（2）法一：取的中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，則，所以為平行四邊形，則，由（1）知：面，過作于點(diǎn)，連結(jié)就是二面角的平面角，即，而，則，且，，故，而，由（1）知：面，則面，面，所以，故在直角中.法二：因?yàn)?，若平面的法向量，所以，令，則，面的法向量為：，所以，所以（負(fù)值舍），則.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直線PD與底面ABCD所成的角為．(1)求證：平面平面PAC；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：∵平面，