21直線的傾斜角與斜率-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)教材學(xué)案（人教A版2019選擇性）

2.1直線的傾斜角與斜率目標(biāo)導(dǎo)航1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．4.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.5.會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直6.運(yùn)用兩直線平行和垂直時(shí)的斜率關(guān)系解決相應(yīng)的幾何問題．知識(shí)解讀知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為.【答案】正向0°≤α<180°知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝.2．斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過兩點(diǎn)的直線的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.4．若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x,y）,則k=.【答案】正切值tanαeq\f(y2－y1,x2－x1)知識(shí)點(diǎn)三兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示【答案】k1＝k2知識(shí)點(diǎn)四兩條直線垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?l1的斜率不存在，l2的斜率為0?【答案】k1k2＝－1l1⊥l2跟蹤訓(xùn)練一、單選題1．已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】由，得到，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，即，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得．故選：B．2．如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由斜率的定義判斷即可.【詳解】由斜率的定義可知，.故選：A．3．若直線：與直線：互相平行，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由直線的平行關(guān)系可得，解之可得．【詳解】解：若直線：與直線：互相平行，解得故選：A．4．直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】C【分析】把直線化簡(jiǎn)后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C5．已知直線，直線的法向量與直線的方向向量互相平行，則=（

）A．8 B．8 C．2 D．2【答案】A【分析】由題意垂直，然后求解【詳解】垂直，則，得；故選：A。6．已知條件：直線與直線垂直，條件：，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由兩條直線垂直可求得，結(jié)合充要條件的定義即可求出答案.【詳解】直線與直線垂直，所以，則，所以是的充要條件.故選：A.7．已知，，兩直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由直線垂直得間的關(guān)系，然后湊配出積的定值，求得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：D．8．設(shè)點(diǎn)，，若直線ax+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，作出圖象，利用圖象求得斜率滿足的條件，由此解出答案．【詳解】∵直線過定點(diǎn)，且，，由圖可知直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足或，解得，故選：D二、多選題9．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一個(gè)方向向量為 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．與直線平行【答案】ACD【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關(guān)系判斷A，直線方程中令，解出為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關(guān)系判斷C．【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線平行，D正確；直線的一個(gè)法向量是，而，因此是直線的一個(gè)方向向量，A正確；在直線方程中令得，B錯(cuò)誤；由于，C正確．故選：ACD．10．下列結(jié)論中正確的有（

）A．兩條相交直線所成的角的范圍是B．若兩條相交直線所成的角為，其法向量的夾角為，則或C．若兩條直線相互垂直，則其斜率之積為D．若直線與直線的夾角為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)兩直線相交時(shí)其夾角，其斜率間的關(guān)系，逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A：兩條相交直線時(shí)，其所成的角的范圍是，故A正確；對(duì)于B：若兩條相交直線所成的角為，其法向量的夾角為，則或，故B正確；對(duì)于C：若兩條直線相互垂直，則這兩直線中可能其中一條直線的斜率不存在，故C不正確；對(duì)于D：設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，所以，故D正確，故答案為：ABD.11．已知是直線上一點(diǎn)，是l外一點(diǎn)，則對(duì)于以下兩個(gè)方程：①，②表示的直線描述中正確的有（

）A．①表示的直線是與l重合的直線B．①表示的直線是不過點(diǎn)Q且與l平行的直線C．②表示的直線是與l重合的直線D．②表示的直線是過點(diǎn)Q與l平行的直線【答案】BD【分析】設(shè)，由①得，且，即可判斷AB；又，故②化為，從而判斷CD．【詳解】因?yàn)槭莑外一點(diǎn)，故設(shè)所以由得，且故表示的直線是不過點(diǎn)Q且與l平行的直線，B正確；因?yàn)槭侵本€上一點(diǎn)，則故，又所以表示的直線是過點(diǎn)Q與l平行的直線，D正確．故選：BD12．下列說法中，表述正確的是(

)A．向量在直線l上，則直線l的傾斜角為B．若直線l與x軸交于點(diǎn)A，其傾斜角為，直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得直線，則直線的傾斜角為C．若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為D．若直線、的傾斜角分別為、，則是的充要條件【答案】AC【分析】A：根據(jù)向量求出直線斜率，根據(jù)直線斜率即可求其傾斜角；B：當(dāng)＜時(shí)，＜0，但直線傾斜角為非負(fù)，據(jù)此即可判斷；C：可看作(x，y)與(－2，－3)連線斜率，數(shù)形結(jié)合即可判斷；D：兩直線垂直，則，據(jù)此即可判斷．【詳解】①向量在直線l上，則直線l的斜率為，故直線傾斜角為，故A正確；②若直線l與x軸交于點(diǎn)A，其傾斜角為，直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得直線，則≤θ＜π時(shí)，直線的傾斜角為；當(dāng)0≤＜時(shí)，直線的傾斜角為π＋()＝；故B錯(cuò)誤；③若實(shí)數(shù)、滿足，，設(shè)A(－1，4)，B(1，2)，則代數(shù)式表示線段AB上任意一點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)C(－2，－3)連線的斜率，由圖可知，，故C正確；④若直線、的傾斜角分別為、，則，，，∴，則；當(dāng)時(shí)，；故是充分不必要條件，故D錯(cuò)誤﹒故選：AC﹒三、填空題13．關(guān)于直線：，：，若，則__________.【答案】【分析】根據(jù)兩直線垂直系數(shù)關(guān)系列式解決即可求解.【詳解】若，則，解得.故答案為：.14．若三點(diǎn)共線，則a的值為_________．【答案】【分析】由三點(diǎn)共線得，即可求出答案.【詳解】由三點(diǎn)共線故故答案為：.15．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【答案】1【分析】利用已知條件可得直線與直線平行，利用線線平行的結(jié)論，代入求解即可.【詳解】集合，，且，直線與直線平行，即，且，解得.故答案為：1.16．已知直線，，的斜率分別是，，，其中，且，是方程的兩根，則的值為______．【答案】或【分析】解方程進(jìn)而求出，，由，可得，進(jìn)而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩根，所以或，又，所以，所以或．故答案為：或四、解答題17．已知直線，直線，求：當(dāng)m為何值時(shí)，直線與分別有如下位置關(guān)系：相交、平行、重合．【答案】答案見詳解．【分析】當(dāng)時(shí)，，，l1與l2相交；當(dāng)時(shí)，兩直線的斜截式方程為：，，再利用兩條直線的相交、平行、重合的條件即可得出．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，l1與l2相交；當(dāng)時(shí)，兩直線的斜截式方程為：，．①當(dāng)時(shí)，即m≠3，m≠﹣1且時(shí)，兩直線相交，②當(dāng)，且，即m＝﹣1時(shí)，兩直線平行．③當(dāng)，且，即m＝3時(shí)，兩直線重合．綜上：當(dāng)m≠3，m≠﹣1時(shí)，兩直線相交；當(dāng)m＝﹣1時(shí)兩直線平行；當(dāng)m＝3時(shí)兩直線重合．18．已知集合與集合，滿足，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】或【分析】由題意，可得兩直線有交點(diǎn)，再由直線平行公式可判斷得兩直線重合，從而列式求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以直線與有交點(diǎn)，因?yàn)?，所以兩直線重合，所以，得，解得或19．設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，滿足，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在不平行于坐標(biāo)軸的直線l上移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在與這條直線l垂直且通過點(diǎn)的直線上移動(dòng)，求直線l的方程．【答案】或【分析】根據(jù)l不平行于坐標(biāo)軸,設(shè)出l的方程,得到，解方程求出相對(duì)應(yīng)的k和b，從而求出直線l的方程即可.【詳解】由l不平行于坐標(biāo)軸，可設(shè)l:.Q在與這條直線l垂直且通過點(diǎn)(2,1)的直線l2上移動(dòng)，可設(shè)l2:.將Q坐標(biāo)代入得：.將,,代入上式得：.因?yàn)?，所以，解得：?所以所求直線l：或.20．已知三條直線：，：，：（是常數(shù)），.(1)若，，相交于一點(diǎn)，求的值；(2)若，，不能圍成一個(gè)三角形，求的值：(3)若，，能圍成