31三角函數(shù)的定義（精講）（基礎(chǔ)版）

3.1三角函數(shù)的定義（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一扇形的弧長(zhǎng)與面積【例11】（2021·安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°，半徑為cm，則扇形的面積為______cm2．【答案】．【解析】扇形的圓心角為144°，半徑為，所以扇形的面積為．故答案為：．【例12】（2022·全國(guó)·貴陽(yáng)一中二模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為3，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為___________.【答案】【解析】因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為3，所以側(cè)面展開圖扇形的半徑為3，設(shè)該圓錐的底面半徑為，所以有，故答案為：【例13】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可以看做是從一個(gè)圓形中前下的扇形制作而成的，當(dāng)折扇所在扇形的弧長(zhǎng)與折扇所在扇形的周長(zhǎng)的比值為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，由題意得，變形可得，因?yàn)?，所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為．故選：A.【一隅三反】1．（2022·浙江浙江·二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問(wèn)為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長(zhǎng)為30步，其所在圓的直徑為16步，問(wèn)這塊田的面積是多少平方步？”該問(wèn)題的答案為___________平方步.【答案】120【解析】由題意得：扇形的弧長(zhǎng)為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：1202．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)α是（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為，由扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，可得，解得或，又由弧長(zhǎng)公式，可得，即，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，故選：C.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長(zhǎng)分別是4和10，兩條直邊與的長(zhǎng)都是3，則此扇環(huán)的面積為（

）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】D【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.故選：D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（

）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米【答案】B【解析】由題得：弓所在的弧長(zhǎng)為：；所以其所對(duì)的圓心角；兩手之間的距離．故選：B．考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義【例21】（2022·江西·蘆溪中學(xué)）已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則，所以.故選：D【例22】（2022·安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，所以.故選：D.【例23】（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）若角的終邊過(guò)點(diǎn)P（8m，），且，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，故選：A.【例24】（2022·北京四中高三階段練習(xí)）角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】角的終邊過(guò)點(diǎn)，，.故選：B.【一隅三反】1．（2022·四川成都）如圖，角以為始邊，它的終邊與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義，.故選：A2．（2022·安徽）已知角的終邊上有一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，.故選：B3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（理））已知點(diǎn)A是的終邊與單位圓的交點(diǎn)，若A的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，，所以.故選：C4．（2022·重慶巴蜀中學(xué)）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，且，故可得，解得，則.故選：B.5．（2022·河南洛陽(yáng)）已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由正切函數(shù)的定義得．故選：C考點(diǎn)三象限的判斷【例31】（2022·重慶·高三開學(xué)考試）若，則下列三角函數(shù)值為正值的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，所以ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【例32】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若α是第四象限角，則π－α是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－2kπ<－α<－2kπ＋，k∈Z，∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋π，k∈Z，故π－α是第三象限角.故選：C【例33】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是第三象限角，滿足，則是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】是第三象限角，，，則，，即為第二或第四象限角，又，為第四象限角．故選：D．【一隅三反】1．（2022·山東棗莊·高三期末）為第三或第四象限角的充要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A：第三或第四象限角，以及終邊在y軸負(fù)半軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：第二或第三象限角，以及終邊在x軸負(fù)半軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：第二或第三象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：第三或第四象限角，故D正確.故選：D2．（2022·甘肅酒泉·高三期中）若角滿足，，則角所在的象限是（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上，故是第三象限角．故選：C3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.4．（2022·昆明市）若，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，所以是第二象限?故選：B5．（2021·湖南高三月考）已知，，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】由得，則，又，所以是第二象限角.故選：B.考點(diǎn)四三角函數(shù)線【例41】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出單位圓以及，，，∵，且，從圖中可知的取值范圍是故選：D.【例42】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sinα，cosα，tanα的大小是（

）A．sinα＜tanα＜cosα B．cosα＜sinα＜tanαC．sinα＜cosα＜tanα D．tanα＜sinα＜cosα【答案】C【解析】如圖所示作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，因?yàn)椋鸡粒迹設(shè)M，MP均為負(fù)值，且，AT為正值，，故有sinα＜cosα＜tanα.故選：C【例43】（2022·河南·南陽(yáng)市第二完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，如圖，角x終邊為OP，其中點(diǎn)P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸，交x軸與點(diǎn)M，A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，AT⊥x軸，交角x終邊于點(diǎn)T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則所以所以，即故選：C．【一隅三反】1．（2020·安徽·合肥市廬陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)，使且同時(shí)成立的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦曲線得：時(shí)，由余弦曲線得：時(shí)，