專題06數(shù)列求和（原卷版）

專題06數(shù)列求和【題型歸納目錄】題型1：公式法題型2：錯(cuò)位相減法題型3：分組求和法題型4：裂項(xiàng)相消法題型5：倒序相加法題型6：并項(xiàng)求和題型7：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和【考點(diǎn)預(yù)測】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．三．常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則【典例例題】題型1：公式法例1．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例2．（2022·陜西·石泉縣江南高級(jí)中學(xué)高二期中（文））在數(shù)列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．例3．（2022·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期中）在等比數(shù)列中，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式1．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，成等比數(shù)列.(1)求公差的值；(2)求.題型2：錯(cuò)位相減法例4．（2022·陜西·興平市南郊高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．例5．（2022·福建·高二期中）已知數(shù)列中，前n項(xiàng)的和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)如果恒成立，求最小值.例6．（2022·山西省渾源中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，公比不為，已知，且、、成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；(3)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大整數(shù)．變式2．（2022·陜西·府谷縣府谷中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．等比數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，且，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式3．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）對任意非零數(shù)列，定義數(shù)列，其中的通項(xiàng)公式為.(1)若，求；(2)若數(shù)列，滿足且，的前項(xiàng)和為.求證：.題型3：分組求和法例7．（2022·陜西·西安市長安區(qū)第七中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求該數(shù)列的前項(xiàng)和例8．（2022·廣西·鐘山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例9．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式4．（2022·陜西·漢濱區(qū)五里高級(jí)中學(xué)高二期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式5．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)高二階段練習(xí)）己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，___________.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并解答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答給分）(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.變式6．（2022·廣東廣州·高二期末）已知數(shù)列滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．題型4：裂項(xiàng)相消法例10．（2022·湖南·安仁縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．例11．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知等差數(shù)列是公差等于的數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例12．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．變式7．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是與的等比中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求使得的最大正整數(shù).變式8．（2022·浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，（）.(1)求，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.變式9．（2022·河南·新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求.題型5：倒序相加法例13．（2022·天津英華國際學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，可得數(shù)列的前2020項(xiàng)和為___________.例14．（2022·全國·高二專題練習(xí)），且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．例15．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則_________.變式10．（2022·全國·高二單元測試）已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則等于______．變式11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得_________．題型6：并項(xiàng)求和例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則__．例17．（2022·貴州黔東南·高二期末（文））已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列也為等差數(shù)列..(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求.例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為()，其前項(xiàng)和為，則_______.變式12．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（

）A．0 B．1010 C．2020 D．2024變式13．（2022·河北唐山·一模）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求的值；（2）求的最大值.變式14．（2022·江蘇·濱?？h東元高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求；(2)求的最大值.題型7：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和例19．（2022·山東濰坊·高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例20．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，，若．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．例21．（2022·浙江·高二期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，是公比等比數(shù)列，且，是的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ