考點09函數(shù)的奇偶性-2022-2023學年高一數(shù)學題型歸納與解題策略(人教A版2019)

考點09函數(shù)的奇偶性1、判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．2、與函數(shù)奇偶性有關的常見問題及解題策略（1）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值利用奇偶性的定義求函數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解．（2）已知函數(shù)的奇偶性求解析式利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法是：首先設出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱的特點，把它轉化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．（3）已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關于參數(shù)的方程.②一般化策略：對x取定義域內的任一個值，利用f(x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數(shù)的值.（4）應用奇偶性畫圖象和判斷函數(shù)單調性①如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．②根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性．上述結論可簡記為“奇同偶異”．偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲担∽钪禃r的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．（5）利用函數(shù)的奇偶性求最值①奇函數(shù)的性質：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則②偶函數(shù)的性質：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則函數(shù)是定義在區(qū)間上的最值等于函數(shù)在區(qū)間（或）上的最值?？键c一函數(shù)奇偶性的判斷1．（2023·全國·高三專題練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）的定義域為，它關于原點對稱.，故為偶函數(shù).（2）的定義域為，它關于原點對稱.，故為奇函數(shù).（3）的定義域為，它關于原點對稱.，故為奇函數(shù).（4），故，故為非奇非偶函數(shù).2．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高一期末）下列函數(shù)中為奇函數(shù)，且在定義域上為增函數(shù)的有（

）A． B． C． D．【解析】函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯；函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯；函數(shù)，滿足，故是奇函數(shù)，在定義域R上，是單調遞增函數(shù)，故C正確；函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在定義域上不單調，故D錯，故選：C3．（2022·全國·高一課時練習）下列四個函數(shù)中,在上為增函數(shù)且為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【解析】在單調遞減且不是奇函數(shù)，故A錯誤；在上單調遞減，在上單調遞增，且不是奇函數(shù)，故B錯誤；在上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，C正確；是偶函數(shù)，D錯誤.故選：C4．【多選】（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學校高三開學考試）已知奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域、值域均為，則（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【解析】對于A選項，因為且，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤對于B選項，因為，所以是奇函數(shù)，故B正確對于C選項，因為，所以是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C錯誤對于D選項，因為，所以是偶函數(shù)，故D正確故選：BD5．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┤艉瘮?shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù)【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，所以、，對于A：令，則，故是非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：令，則，故為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：令，則，故為偶函數(shù)，故C正確；對于D：令，則，故為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C6．（2022·重慶·高一期末）已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)；(2)因為在上單調遞增，故函數(shù)在上單調遞減，所以，因為當時，恒成立轉化為，即可，所以，則實數(shù)的取值范圍為．7．（2022·河北廊坊·高一期末）已知函數(shù)．(1)判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；(2)用定義證明f（x）在（1，＋∞）上單調遞增；(3)求f（x）在[－2，－1]上的值域．【解析】(1)f（x）為奇函數(shù)．由于f（x）的定義域為，關于原點對稱，且，所以f（x）為在上的奇函數(shù)（畫圖正確，由圖得出正確結論，也可以得分）(2)證明：設任意，，有．由，得，，即，所以函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調遞增．(3)由（1），（2）得函數(shù)f（x）在[－2，－1]上單調遞增，故f（x）的最大值為，最小值為，所以f（x）在[－2，－1]的值域為[－，－2]．8．（2022·北京市懷柔區(qū)教科研中心高一期末）已知函數(shù).(1)判斷奇偶性；(2)當時，判斷的單調性并證明；(3)在（2）的條件下，若實數(shù)滿足，求的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)；(2)函數(shù)是上的單調增函數(shù)，證：任取且，則，因為，所以，，，所以，即，所以函數(shù)是上的單調增函數(shù)；(3)解：由（2）知函數(shù)是上的單調增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為.考點二抽象函數(shù)的奇偶性9．（2022·河南開封·高一期末）已知函數(shù)的定義域為，在上為增函數(shù)，且對任意的，都有．(1)試判斷的奇偶性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)因為函數(shù)的定義域為，令，得．令，得，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)．(2)由（1）知函數(shù)為奇函數(shù)，又知函數(shù)的定義域為，在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．因為，即，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．10．（2022·江西·臨川一中高一期末）定義在上的函數(shù)是單調函數(shù)，滿足，且，.(1)求，；(2)判斷的奇偶性，并證明；(3)在下列兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答.①②若_____________，，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）取，得，即，∴，∵，又，得，可得；（2）∵函數(shù)是定義在上的函數(shù)，定義域關于原點對稱，取，得，移項得∴函數(shù)是奇函數(shù)；（3）選①：∵是奇函數(shù)，且在上恒成立，∴在上恒成立，且；∴在R上是增函數(shù)，∴在上恒成立，∴在上恒成立，令.由于，∴.∴，∴.選②：是奇函數(shù)，且在上有解，∴在上有解，且；∴在R上是增函數(shù)，∴在上有解，∴在上有解，令.由于，∴.∴，∴.11．（2022·黑龍江雙鴨山·高一期末）設函數(shù)是增函數(shù)，對于任意都有．(1)寫一個滿足條件的；(2)證明是奇函數(shù)；(3)解不等式．【解析】(1)因為函數(shù)是增函數(shù)，對于任意都有，這樣的函數(shù)很多，其中一種為：，證明如下：函數(shù)滿足是增函數(shù)，，所以滿足題意.(2)令，則由得，即得，故是奇函數(shù)．(3)，所以，則，因為，所以，所以，又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以或.所以的解集為：.考點三已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值12．（2022·湖南常德·高一期末）已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當時，，則___．【解析】為奇函數(shù)，當時，，.故答案為：.13．（2022·安徽蕪湖·高一期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則（

）A． B．0 C．2 D．4【解析】為偶函數(shù)，，，故選：D14．（2022·江西贛州·高一期末）設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【解析】由已知可得.故選：B.15．（2022·福建漳州·高一期末）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．1 C． D．2【解析】依題意，是偶函數(shù)，，令，得，由于，所以，令，得，令，得，以此類推，可知.故選：C16．（2022·四川涼山·高一期末）已知，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則______.【解析】因為，所以有，因為，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，因此由，故答案為：考點四已知函數(shù)的奇偶性求解析式17．（2022·河南濮陽·高一期末（文））已知是偶函數(shù)，當時，，則當時，_________．【解析】由，則，且函數(shù)是偶函數(shù)，故當時，故答案為：18．（2022·河南安陽·高一期末（理））已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則當時，______．【解析】時，，是奇函數(shù)，此時故答案為：19．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則單調遞減的區(qū)間是（

）A． B．C． D．【解析】當時，函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖形與性質，可得單調遞減的區(qū)間是，又因為函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，所以當時，函數(shù)單調遞減的區(qū)間是，綜上可得，函數(shù)單調遞減的區(qū)間是.故選：C.20．（2022·上海閔行·高一期末）已知.(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，當時，求的表達式；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù).【解析】(1)，則，而時，，又函數(shù)是偶函數(shù)，于是得，所以當時，.(2)且，則，因，則，，，即，有，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù).21．（2022·貴州貴陽·高一期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，.(1)用單調性定義證明函數(shù)在上單調遞增；(2)求當時，函數(shù)的解析式.【解析】(1)，且，則，∵，且，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調遞增；(2)當時，，∴，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，∴，即當時，.22．（2022·全國·高一課時練習）已知，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達式．【解析】以代替條件等式中的，則有，又，分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，故．又，聯(lián)立可得，．考點五已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值23．（2022·上海市延安中學高一期末）已知是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為___________.【解析】由題意恒成立，即，恒成立，所以．故答案為：．24．（2022·四川瀘州·高一期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為______.【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，即．，，，∴,故答案為：.25．（2022·內蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7【解析】因為偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，則，解得.又偶函數(shù)不含奇次項，所以，即，所以，所以.故選：C26．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則_____．【解析】由題意得：，解得：，又因為為偶函數(shù)，所以，即，解得：，所以.故答案為：27．（2022·上海市建平中學高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則____________.【解析】函數(shù)，定義域為由函數(shù)為奇函數(shù)，則即，解得，經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：.28．（2022·黑龍江·佳木斯一中高一期末）為偶函數(shù)，則___________.【解析】由為偶函數(shù)，得，，不恒為，，，，故答案為：.29．（2022·新疆·烏市一中高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，所以，所以，，故．故選：C.30．（2022·廣東梅州·高一期末）已知二次函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求在上的值域：(2)若時，的圖象恒在直線的上方，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)根據(jù)題意，函數(shù)為二次函數(shù)，其對稱軸為.若為偶函數(shù)，則，解得，則在上先減后增，當時，函數(shù)取得最小值9，當時，函數(shù)取得最大值13，即函數(shù)在上的值域為；(2)由題意知時，恒成立，即.所以恒成立，因為，所以，當且僅當即時等號成立.所以，解得，所以a的取值范圍是.31．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)m的值：(2)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.【解析】(1)∵又為奇函數(shù)，∴，即∴.(2)當時，此時的圖像開口向下，對稱軸為直線,∴在上單調遞增，在上單調遞減.當時，,此時的圖像開口向上，對稱軸為直線,在上單調遞增，在上單調遞減.∴.函數(shù)的單調遞增區(qū)間為32．（2022·重慶九龍坡·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷并證明在的單調性.【解析】（1）因為是奇函數(shù)，所以，因為，所以是奇函數(shù)，因此；（2）在上單調遞增，在上單調遞減，證明如下：設是上的任意兩個實數(shù)，且，，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減.考點六應用函數(shù)的奇偶性解決函數(shù)圖象問題33．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）已知函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當時，(1)試求在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調區(qū)間.【解析】（1）的圖象關于原點對稱，是奇函數(shù)，．又的定義域為，，解得．設，則，當時，，，所以；（2）由（1）可得的圖象如下所示：由圖象可知的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；34．（2022·貴州遵義·高一期末）已知函數(shù)與的函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【解析】由圖知，的定義域為，令時，或，由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，關于原點對稱，對A，B：當時，，，所以，故A，B錯誤；對C：由分析知，是奇函數(shù)，關于原點對稱，故C錯誤；對D：由圖知，當時，，，，當時，，，，結合奇函數(shù)的對稱性可得時的圖象，故D正確；故選：D.35．（2022·新疆吐魯番·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．(1)請補出函數(shù)，剩余部分的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)，的單調增區(qū)間；(2)求函數(shù)，的解析式；(3)已知關于x的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）剩余的圖象如圖所示，有圖可知，函數(shù)的單調增區(qū)間為；（2）因為當時，，所以當時，則，有，由為奇函數(shù)，得，即當時，，又，所以函數(shù)的解析式為；（3）由(2)得，，作出函數(shù)與圖象，如圖，由圖可知，當時，函數(shù)與圖象有3個交點，即方程有3個不等的實根.所以m的取值范圍為.36．（2022·全國·高一課時練習）定義在R上的奇函數(shù)在[0，＋∞)上的圖像如圖所示.（1）補全的圖像；（2）解不等式.【解析】（1）描出點(1，1)，(2，0)關于原點的對稱點(－1，－1)，(－2，0)，則可得f(x)的圖像如圖所示.（2）結合函數(shù)的圖像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2).37．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，函數(shù)在軸左側的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關于的方程有個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由圖象知：，即，解得：，當時，；當時，，，為上的偶函數(shù)，當時，；綜上所述：；（2）為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，可得圖象如下圖所示，有個不相等的實數(shù)根，等價于與有個不同的交點，由圖象可知：，即實數(shù)的取值范圍為.考點七利用函數(shù)的奇偶性求最值38．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______．【解析】，令，則，∴函數(shù)在上為奇函數(shù)，則，即，∴，∴．故答案為：39．（2022·全國·高一課時練習）設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______.【解析】由題意知，（），設，則，因為，所以為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.故答案為：140．（2022·全國·高一課時練習）若關于x的函數(shù)在上的最大值為M，最小值為N，且，則實數(shù)t的值為（

）A． B．505 C．1010 D．2020【解析】函數(shù)，令，則，所以為奇函數(shù)，因為關于的函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，且，則的最大值為，最小值為，所以，則．故選：B考點八函數(shù)的單調性和奇偶性的綜合應用41．【多選】（2022·云南·昆明一中高一期末）已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)，且f(5)=5，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[5，2]上（

）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．最小值為5 D．最大值為5【解析】因是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于原點對稱，又函數(shù)在上是減函數(shù)，于是得在上為減函數(shù)，是在上的最大值，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，且最大值為.故選：BD42．（2022·全國·高一課時練習）已知偶函數(shù)在上單調遞增，則下列關系成立的是（

）A． B．C． D．【解析】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，故又在上單調遞增，且，故，即故選：D43．（2022·福建廈門·高一期末）已知偶函數(shù)在上單調遞增，且，則的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【解析】因為，則，所以，因為為偶函數(shù)，所以，因為在上單調遞增，所以，解得或，所以不等式的解集為或，故選：B44．（2022·廣東揭陽·高一期末）函數(shù)在單調遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（

）A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得，不等式即為，又在單調遞減，∴得，即﹒故選：D．45．（2022·湖北·監(jiān)利市教學研究室高一期末）已知定義域為的函數(shù)在上單調遞增，且，若，則不等式的解集為___________.【解析】因為定義域為的函數(shù)在上單調遞增，且，所以函數(shù)在R上單調遞增，又，所以，又不等式等價于，所以，解得，所以不等式的解集為，故答案為：46．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）定義在R上的