第09講 圓周角（3種題型）（原卷版）

第09講圓周角（3種題型）1.理解并掌握?qǐng)A周角相關(guān)概念2.探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；1.圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．頂點(diǎn)在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。3、圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑,高考物理。圓周角的特點(diǎn):(1)角的頂點(diǎn)在圓上;(2)角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.4、圓周角和圓心角相對(duì)于圓心與直徑的位置關(guān)系有三種:解題規(guī)律:5、解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問(wèn)題,要準(zhǔn)確找出同弧所對(duì)的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理3.圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【微點(diǎn)撥】(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）一．圓周角定理（共12小題）1．（2023?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（）A．60° B．50° C．45° D．40°2．（2023?溧陽(yáng)市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ABD＝54°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．36° B．40° C．46° D．65°3．（2023?金壇區(qū)一模）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2023?天寧區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．50° B．30° C．25° D．20°5．（2023?鹽都區(qū)一模）用破損量角器按如圖方式測(cè)量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點(diǎn)恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經(jīng)過(guò)圓弧上的A、C兩點(diǎn)．若點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為．6．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點(diǎn)C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝°．?7．（2022秋?南京期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．（1）如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB＝24，則CD的長(zhǎng)為．（2）如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點(diǎn)，若AB＝EF，求證CD＝GH．8．（2023?南京模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，連接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，則弦CD＝．?9．（2023?蘇州模擬）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，直徑CD平分∠ACE，∠ACE的一邊CE與⊙O和直徑AB分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，且AC＝AF．?（1）證明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的長(zhǎng)．10．（2022秋?太倉(cāng)市期末）如圖，⊙O的直徑AB＝5，弦AC＝4，連接BC，以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與⊙O交于點(diǎn)D，連接AD，BD，BD與AC交于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與∠CAB相等的所有角；（2）求AD的長(zhǎng)．11．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC＝CD，DB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證∠A＝∠D；（2）若的度數(shù)為108°，求∠E的度數(shù)．12．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度數(shù)．二．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共14小題）13．（2023?高新區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．45°14．（2023?興化市二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為°．15．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，則∠BAO＝°．16．（2023?沭陽(yáng)縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AO、CO，若∠AOC＝112°，則∠B的度數(shù)是．17．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)P是在弧BC上的一點(diǎn)（P點(diǎn)與C點(diǎn)不重合），則∠CPD的度數(shù)是．18．（2022秋?靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．19．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長(zhǎng)線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．20．（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的長(zhǎng)度．21．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．求證：BD＝BC．22．（2022秋?建鄴區(qū)期中）求證：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．證明：作直徑AE，連接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因?yàn)椤螩BE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）證明過(guò)程中依據(jù)①是；（2）請(qǐng)給出另一種證明方法．23．（2023?蘇州一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝2∠BOD，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．60°24．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．120° D．150°25．（2022秋?棲霞區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）求證：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．26．（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且DC＝DE．（1）求證：∠A＝∠AEB；（2）連接OE，交CD于點(diǎn)F，若OE⊥CD，求∠A的度數(shù)．三．相交弦定理（共5小題）27．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過(guò)弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，則AB＝．28．（2022秋?濱湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且PD＜PC．（1）求證：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．29．（2021秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的長(zhǎng)．30．（2021秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點(diǎn)E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長(zhǎng)．31．（2021秋?濱湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點(diǎn)M．（1）求證：AM?MB＝CM?MD；（2）若M為CD中點(diǎn)，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM?MB的值．一．選擇題（共10小題）1．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點(diǎn)，且點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，則∠OEC的度數(shù)為（）A．90° B．80° C．70° D．60°2．（2023?漣水縣一模）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．54° B．27° C．36° D．108°3．（2023?南京二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D在半圓O上．若∠CAB＝28°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．152° B．142° C．118° D．108°4．（2023?如皋市一模）如圖，A，B，C為⊙O上三點(diǎn)，∠AOC＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．130° B．125° C．100° D．80°5．（2023?銅山區(qū)一模）下列說(shuō)法中，正確的是（）①對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④6．（2023?徐州模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．78° B．61° C．76° D．51°7．（2023?如東縣一模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連接OA，OC，點(diǎn)D為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠CBD＝62°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．100° B．118° C．124° D．130°8．（2023?新華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，則⊙O的半徑為（）A．4 B． C． D．9．（2023?連云港二模）小明用一個(gè)破損的量角器按照如圖所示的方式測(cè)量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點(diǎn)恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過(guò)圓弧上的A、C兩點(diǎn)．若點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．135° B．140° C．145° D．150°10．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°二．填空題（共8小題）11．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，O、B兩點(diǎn)是線段AC的三等分點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，連接CE，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、AE，若點(diǎn)D恰為線段CE中點(diǎn)且BD＝2，則△AEC周長(zhǎng)為．12．（2023?鹽都區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，則∠ABC＝°．13．（2023?贛榆區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)，若∠ABC＝38°，則∠BDC的度數(shù)為．14．（2023?南京一模）如圖，在⊙O中，C為上的點(diǎn)，．若∠ACB＝120°，則∠OBC＝．15．（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD為直徑作⊙O，E為BC的中點(diǎn)，AE交⊙O于F，連CF，則CF的長(zhǎng)為．16．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且OC⊥AB，過(guò)點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝°．17．（2023?溧陽(yáng)市一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE，與以CD為直徑的半圓交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P，則的值．18．（2023?武進(jìn)區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，將△DCE沿DE翻折，點(diǎn)C剛好落在半圓O的點(diǎn)F處，則CF的長(zhǎng)為．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?淮安區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度數(shù)；（2）若D為的中點(diǎn)，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．20．（2022秋?蘇州期末）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．（1）求證：∠CBD＝∠BAD；（2）求證：BD＝DE；（3）若，，求BC的長(zhǎng)．21．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．（1）求證：BD＝DC．（2）若∠BAC＝40°，求所對(duì)的圓心角的度數(shù)．22．（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以AB為直徑的圓交x軸于D，C兩點(diǎn)．（1）OA與OD滿足什么條件時(shí)，AC＝BC，寫(xiě)出滿足的條件，并證明AC＝BC；（2）在（1）的條件下，若OA＝1，，求CD長(zhǎng)．23．（2023?沭陽(yáng)縣模擬）如圖，已知AC是⊙O的直徑，AB，CD是⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，連結(jié)AD，BC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直徑為10，求矩形ABCD的面積．24．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，K為弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，AK，DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接CK，KD．（1）求證：∠AKD＝∠CKF；（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大?。?5．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）我們給出定義：如果三角形存在兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．已知△ABC為“準(zhǔn)互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．（1）如圖①，若∠B＝60°且，求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖②，∠B＞45°，以邊AC為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，若BD＝2，BC＝7，試求⊙O的面積．

一．選擇題1．如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．45° B．28° C．56° D．60°2．如圖，已知⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．16° B．20° C．24° D．32°3．如圖，在⊙O中，弦AC，BD交于點(diǎn)E，連接AB、CD，在圖中的“蝴蝶”形中，若AE=32，AC＝5，BE＝3，則A．74 B．194 C．5 4．如圖，點(diǎn)A，B在以CD為直徑的半圓上，B是AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD，AC交于點(diǎn)E，若∠C＝38°，則∠CED的度數(shù)是（）A．115° B．116° C．118° D．120°5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝50°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50° B．80° C．100° D．130°6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是AC的中點(diǎn)，若∠B＝70°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．70° B．55° C．35° D．20°二．填空題7．如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，則DP為．8．如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，則∠ABC＝°．9．如圖已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是．10．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E．若∠ADC＝30°，BC＝43，則AE＝．11．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝42，