《第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算》教案

平面向量的概念及其線性運算適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高三適用區(qū)域新課標(biāo)課時時長60分鐘知識點魚向量有關(guān)的基本概念、向量記法與表示向量的加法運算及其幾何意義、向量加法交換律與結(jié)合律向量的減法運算及其幾何意義、向量的數(shù)乘運算及其幾何意義向量的數(shù)乘運算律、兩個向量共線的判定定理及其應(yīng)用、用向量處理共線問題教學(xué)目標(biāo)1.了解向量的實際背景．2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．3.理解向量的幾何表示．4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.教學(xué)重點三角函數(shù)的定義及應(yīng)用，三角函數(shù)值符號的確定教學(xué)難點三角函數(shù)的定義及應(yīng)用教學(xué)過程課堂導(dǎo)入以前臺胞春節(jié)期間來大陸探親，乘飛機先從臺北到香港，再從香港到上海.20XX年7月4日，兩岸直航包機啟航．若臺北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，臺北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何關(guān)系？復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過位移、速度、力等，你能總結(jié)出它們的特點嗎？特點為________________________________．2．在學(xué)習(xí)三角函數(shù)線時，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有向線段了，你還記得嗎？所謂有向線段就是________________________，三角函數(shù)線都是_____________．知識講解考點1向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)零向量長度為零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長度等于1個單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量

考點2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|(2)當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb考點3共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.

例題精析【例題1】【題干】設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.【例題2】【題干】如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝eq\f(1,3)OB.設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，.【解析】＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－＝2a－b.＝－＝－eq\f(2,3)＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.【例題3】【題干】已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由．【解析】由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因為a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解之得t＝eq\f(6,5).故存在實數(shù)t＝eq\f(6,5)使C，D，E三點在一條直線上．

課堂運用【基礎(chǔ)】1.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝()A．a(chǎn)＋eq\f(3,4)b B.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b解析：選B∵＝－＝a－b，又＝3，∴＝eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(a－b)，∴＝＋＝b＋eq\f(1,4)(a－b)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.2．已知向量p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)，其中a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是()A．[0，eq\r(2)] B．[0,1]C．(0,2] D．[0,2]解析：選Deq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)均為單位向量，當(dāng)它們同向時，|p|取得最值2，當(dāng)它們反向時，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]．3．(2013·保定模擬)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則eq\f(x·y,x＋y)的值為()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)解析：選B(特例法)利用等邊三角形，過重心作平行于底面BC的直線，易得eq\f(x·y,x＋y)＝eq\f(1,3).【鞏固】4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示)．解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋eq\f(1,2)b，所以＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b5．(2013·淮陰模擬)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________.解析：由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長交BC于D，則＝eq\f(2,3)，因為AD為中線，則＋＝2＝3，所以m＝3.答案：3【拔高】6.如圖所示，在五邊形ABCDE中，點M、N、P、Q分別是AB、CD、BC、DE的中點，K和L分別是MN和PQ的中點，求證：＝eq\f(1,4).證明：任取一點O，＝－.∵K、L為MN、PQ的中點．∴＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(＋)．又∵M，N，P，Q分別為AB，CD，BC，DE中點，∴＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(＋)．∴＝－＝eq\f(1,2)[－(＋)＋(＋)]＝eq\f(1,4)[－(＋＋＋)＋(＋＋＋)]＝eq\f(1,4)(－＋)＝eq\f(1,4).7．設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線；(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點共線，求k的值．解：(1)證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，∴＝＋＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)，∴與共線．又∵與有公共點C，∴A、C、D三點共線．(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點共線，∴與共線，從而存在實數(shù)λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－