蘇版必修一2.4函數(shù)的單調(diào)性(學案含答案)

...wd......wd......wd...2.4函數(shù)的單調(diào)性一、考點突破1.若何求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍。二、重難點提示重點：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。難點：1.從數(shù)、形兩種角度理解函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.帶參函數(shù)的最值問題，若何對參數(shù)進展討論?！艉瘮?shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f〔x〕的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1，x2當x1<x2時，都有f〔x1〕<f〔x2〕，那么就說函數(shù)f〔x〕在區(qū)間D上是增函數(shù)。當x1<x2時，都有f〔x1〕>f〔x2〕，那么就說函數(shù)f〔x〕在區(qū)間D上是減函數(shù)。圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的注意1.如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)〔兩者只能居其一〕，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性。2.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。3.函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)?！痉椒ㄌ釤挕颗袛嗪瘮?shù)單調(diào)性的基本方法——定義法①設元，任取，且；②作差；③變形〔通常是因式分解和配方〕；④定號〔即判斷差的正負〕；⑤下結(jié)論?！布粗赋龊瘮?shù)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性〕例如a>0，函數(shù)f〔x〕＝x＋eq\f(a,x)〔x>0〕，證明函數(shù)f〔x〕在〔0，eq\r(a)〕上是減函數(shù)，在〔eq\r(a)，＋∞〕上是增函數(shù)。思路分析：可利用定義法討論函數(shù)的單調(diào)性。用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值→作差→變形→確定符號→下結(jié)論。答案：證明：設x1，x2是任意兩個正數(shù)，且0<x1<x2，則f〔x1〕－f〔x2〕＝＝eq\f(x1－x2,x1x2)〔x1x2－a〕。當0<x1<x2<eq\r(a)時，0<x1x2<a，又x1－x2<0，∴，即，∴函數(shù)在〔0，eq\r(a)〕上是減函數(shù)。當eq\r(a)<x1<x2時，x1x2>a，又x1－x2<0，∴f〔x1〕－f〔x2〕<0，即f〔x1〕<f〔x2〕，∴函數(shù)f〔x〕在〔eq\r(a)，＋∞〕上是增函數(shù)。例題1假設函數(shù)f〔x〕＝eq\f(ax－1,x＋1)在〔－∞，－1〕上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。思路分析：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，關鍵是要把參數(shù)看作數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與單調(diào)區(qū)間對比求參。答案：解：f〔x〕＝eq\f(ax－1,x＋1)＝a－eq\f(a＋1,x＋1)，設任意x1<x2<－1，則f〔x1〕－f〔x2〕＝－＝eq\f(a＋1,x2＋1)－eq\f(a＋1,x1＋1)＝eq\f(a＋1x1－x2,x2＋1x1＋1)又因為函數(shù)f〔x〕在〔－∞，－1〕上是減函數(shù)，所以f〔x1〕－f〔x2〕>0，由于x1<x2<－1，所以x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，所以a＋1<0，即a<－1。故實數(shù)a的取值范圍是〔－∞，－1〕。技巧點撥：函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍時，可以通過解不等式或轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；需注意的是，假設函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的。例題2設的定義域?qū)τ谌我庹龑崝?shù)恒有，且當時，〔1〕求的值；〔2〕求證：在上是增函數(shù)。思路分析：〔1〕求特殊點處的函數(shù)值可利用靈活賦值的方法解決。先求出的值，然后再利用2與互為倒數(shù)及求出的值?！?〕由推出是解題的關鍵。答案：〔1〕解：令，代入到中，，解得令，代入到中，，又，。證據(jù)：任意取，且，則：，，又當時，，，即，∴在上是增函數(shù)。技巧點撥：對于抽象函數(shù)〔未給出具體解析式的函數(shù)〕的求值問題，需要根據(jù)題目給出的條件進展靈活賦值，求出需要求的函數(shù)值；抽象函數(shù)單調(diào)性的證明仍然采用單調(diào)性的定義以及結(jié)合題目來進展?！揪C合拓展】巧用函數(shù)單調(diào)性解不等式◆解函數(shù)不等式問題的一般步驟：①確定函數(shù)f〔x〕在給定區(qū)間上的單調(diào)性；②將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f〔M〕<f〔N〕的形式；③運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉〞函數(shù)的抽象符號“f〞，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；④解不等式或不等式組確定解集；【總分值訓練】函數(shù)假設求實數(shù)的取值范圍。思路分析：畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可看出函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性將不等式中的“殼〞給去掉，形成關于的不等式。答案：解：畫出函數(shù)的圖象如下：由函數(shù)圖象可知，在上單調(diào)遞增，所以等價轉(zhuǎn)化為，解得。技巧點撥：利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的關鍵：準確判斷出函數(shù)單調(diào)性，成功去掉這層外殼，把關于因變量之間的不等關系轉(zhuǎn)化為關于自變量之間的不等關系。然后，解關于的簡單不等式。課堂練習〔答題時間：30分鐘〕一、填空題1.函數(shù)的最小值是__________。2.設函數(shù)則不等式的解集為________。3.函數(shù)〔〕〔1〕假設，則的定義域是___________；〔2〕假設在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________。4.函數(shù)假設關于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是____________。5.設，假設時均有≥0，則_________。6.假設關于的方程有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_______。7.〔1〕二次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是_________；〔2〕函數(shù)，假設，則實數(shù)的取值范圍是______。8.假設不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________。二、解答題9.設是定義在R上的函數(shù)，對、恒有，且當時，?！?〕求證：；〔2〕證明：時恒有；〔3〕求證：在R上是減函數(shù)；〔4〕假設，求的取值范圍。1.2解析：畫出的圖象如下：由圖可知，的最小值是2。2.解析：畫出分段函數(shù)的圖象如下：而，觀察圖象可知滿足的解集。3.〔1〕；〔2〕解析：〔1〕要使得函數(shù)有意義，則，。又∵，∴，∴定義域為〔2〕令，，由在區(qū)間上是減函數(shù)得：，即①當時，，，，∴，，∴∴，即，符合題意。②當時為常數(shù)，不符合題意。③當時，，，∴，，∴，∴，即，不符合題意。④當時，，，∴，，∴，∴，即，符合題意。⑤當時，，不一定所有的有意義，不符合題意。綜上所述，實數(shù)的取值范圍為。4.〔0，1〕解析：畫出分段函數(shù)的圖象如下：是一條平行于軸的直線。要使得關于的方程有兩個不同的實根，就要使得與的函數(shù)圖象有兩個交點。由圖可知，。5.解析：令，要使得≥0，則與在同一點處的函數(shù)值同號，或同時為0。且與的零點一樣又時，，∴時，，∴畫出符合題意的函數(shù)圖象如下：令，∴∴，即兩邊同時乘以，化簡整理得：，又，∴。6.〔〕解析：觀察方程可知有一個解為，所以關于的方程有四個不同的實數(shù)解等價于有三個不同的非零實數(shù)解。由得∴令，則與的圖象有三個交點。畫出符合條件的與的圖象如以以下列圖：由圖可知：，∴。7.〔1〕；〔2〕解析：〔1〕畫出符合題意的的圖象如以以下列圖：由圖可知：二次函數(shù)的對稱軸直線方程為，∴，。又∵，∴?！?〕畫出的圖象如以以下列圖：∵，又∵，∴，解得：。8.解析：令令，分別畫出，的函數(shù)圖象如下：要使得對任意實