《瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)-曲線上一點(diǎn)處的切線》教案(一)

1.1.2《瞬時(shí)變化率-導(dǎo)數(shù)》教案（一）曲線上一點(diǎn)處的切線一、教學(xué)目標(biāo)1.理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念2．掌握用割線逼近切線的方法．3．會(huì)求曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率與切線方程，二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解曲線在一點(diǎn)處的切線和切線的斜率的定義，掌握曲線在一點(diǎn)處切線斜率的求法；難點(diǎn)：理解曲線在一點(diǎn)處的切線的定義，特別是對(duì)“無(wú)限逼近”、“局部以直代曲”的理解三、教學(xué)過(guò)程【問(wèn)題情景】導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題的有力工具.導(dǎo)數(shù)的知識(shí)形成一門(mén)學(xué)科，就是我們通常所說(shuō)的微積分.微積分除了解決最大值、最小值問(wèn)題，還能解決一些復(fù)雜曲線的切線問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為解決極大、極小問(wèn)題而引入的.但導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要概念，卻是英國(guó)科學(xué)家牛頓(Newton)和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz)分別在研究力學(xué)與幾何學(xué)過(guò)程中建立的.微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個(gè)自然科學(xué)帶來(lái)革命性的影響，主要是靠了牛頓和萊布尼茲的工作.但遺憾的是他們之間發(fā)生了優(yōu)先權(quán)問(wèn)題的爭(zhēng)執(zhí).其實(shí)，他們差不多是在相同的時(shí)間相互獨(dú)立地發(fā)明了微積分.方法類(lèi)似但在用語(yǔ)、符號(hào)、算式和量的產(chǎn)生方式稍有差異.牛頓在1687年以前沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表，萊布尼茲在1684年和1686年分別發(fā)表了微分學(xué)和積分學(xué).所以，就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓最于萊布尼茲，就發(fā)表時(shí)間而言，萊布尼茲則早于牛頓.關(guān)于誰(shuí)是微積分的第一發(fā)明人，引起了爭(zhēng)論.而我們現(xiàn)在所用的符號(hào)大多數(shù)都是萊布尼茲發(fā)明的.而英國(guó)認(rèn)為牛頓為第一發(fā)明人，拒絕使用萊布尼茲發(fā)明的符號(hào)，因此，使自己遠(yuǎn)離了分析的主流【學(xué)生活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)】（一）點(diǎn)附近的曲線1．平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．即曲線上兩點(diǎn)的連線（割線）的斜率。顯然平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某個(gè)區(qū)間上的變化趨勢(shì)。2．如何精確地刻畫(huà)曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？（點(diǎn)附近的曲線的研究）（從直線上某點(diǎn)的變化趨勢(shì)的研究談起，結(jié)合“天圓地方”的故事帶來(lái)“宏觀上曲，微觀上直”，“曲絕對(duì)，直相對(duì)”的初步感受，后提出“放大圖形”的樸素方法．）放大放大再放大C1放大再放大放大再放大C2（1）觀察“點(diǎn)附近的曲線”，隨著圖形放大，你看到了怎樣的現(xiàn)象？曲線有點(diǎn)像直線（2）這種現(xiàn)象下，這么一條特殊位置的曲線從其趨勢(shì)看幾乎成了直線這種思維方式就叫做“逼近思想”。從上面的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)看：1）．曲線在點(diǎn)附近看上去幾乎成了直線2468121416P2468121416PDEmQl3）．點(diǎn)附近可以用這條直線代替曲線這樣，我們就可以用直線的斜率來(lái)刻畫(huà)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的變化趨勢(shì)練習(xí)：見(jiàn)課本（文P62，理P10）第3題：；。3.怎樣找到經(jīng)過(guò)曲線上一點(diǎn)P處最逼近曲線的直線呢？如圖（1）試判斷哪條直線在點(diǎn)附近更加逼近曲線？（2）在點(diǎn)附近能作出比更加逼近曲線的直線么？（3）在點(diǎn)附近能作出比，更加逼近曲線的直線么？說(shuō)明：隨著點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直線在點(diǎn)附近越來(lái)越逼近曲線．（二）圓的切線與曲線的切線直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切。這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。問(wèn)題：能不能把圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？（請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出推廣的結(jié)果后，教師引導(dǎo)學(xué)生加以剖析）。曲線的切線觀察圖形得出：相切可能不止一個(gè)交點(diǎn)，有惟一交點(diǎn)的也不一定是相切。所以對(duì)于一般的曲線，必須重新尋求曲線切線的定義。（三）曲線上點(diǎn)P處的切線及其斜率1．割線逼近切線為曲線上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，這時(shí)，直線稱(chēng)為曲線的割線；隨著點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，割線在點(diǎn)附近越來(lái)越逼近曲線，當(dāng)點(diǎn)無(wú)限逼近點(diǎn)時(shí)，直線最終成為點(diǎn)處最逼近曲線的直線，這條直線也稱(chēng)為曲線在點(diǎn)處的切線．2．割線斜率逼近切線斜率切線的概念提供了求切線斜率的方法．問(wèn)題：對(duì)比平均變化率這一近似刻畫(huà)曲線在某個(gè)區(qū)間上的變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)模型，在這里平均變化率表示為什么？又用怎樣數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)曲線上點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？為了更好地反映點(diǎn)沿曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，我們選擇了一個(gè)變量．不妨設(shè)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則割線的斜率為=，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)無(wú)限靠近時(shí)，割線的斜率就會(huì)無(wú)限逼近點(diǎn)處切線斜率，即當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近點(diǎn)處切線斜率（即為取0時(shí)的值）．【數(shù)學(xué)運(yùn)用】例1試求f(x)=x2在點(diǎn)(2,4)處的切線斜率。分析：設(shè)則割線PQ的斜率為當(dāng)Q沿曲線逼近點(diǎn)P時(shí)，割線PQ逼近點(diǎn)P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)無(wú)限趨近于P點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，即無(wú)限趨近于2時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)4；.練習(xí)：試求f(x)=x2+1在x=1處的切線斜率．解：由題意，設(shè)，則割線PQ的斜率當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)2，從而曲線在點(diǎn)的切線斜率為2.總結(jié)：求曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線斜率的一般步驟:1.設(shè)曲線上另一點(diǎn)Q(x0+Δx，f(x0+Δx))；2.求出割線PQ的斜率，并化簡(jiǎn)；3.令Δx趨向于0,若上式中的割線斜率“逼近”一個(gè)常數(shù)，則其即為所求切線斜率。變1：已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．變2：已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．變3：已知，求曲線在處的切線斜率是多少？例2已知曲線y=2x2上一點(diǎn)A(1，2)，求(1)點(diǎn)A處的切線的斜率.(2)點(diǎn)A處的切線方程.【課堂練習(xí)】2.已知，求曲線在處的切線斜率是多少？【課堂總結(jié)】1.曲線上一點(diǎn)P處的切線是過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最接近P點(diǎn)附近曲線的直線，則P點(diǎn)處的變化趨勢(shì)可以由該點(diǎn)處的切線反映。(局部以直代曲)2.根據(jù)定義,利用割線逼近切線的方法,可以求出曲線在一點(diǎn)處的切線斜率和方程。【課后作業(yè)】1．曲線的方程為y=x2+1，那么求此曲線在點(diǎn)P(1，2)處的切線的斜率，以及切線的方程.2．求曲線f(x)=x3+2x+1在點(diǎn)(1，4)處的切線方