專題153應用導數(shù)研究函數(shù)的性質（精講精析篇）-新高考高中數(shù)學核心知識點全透視

專題15.3應用導數(shù)研究函數(shù)的性質（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間或討論函數(shù)的單調性以及由函數(shù)的單調性求參數(shù)范圍，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3.考查利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象，凸顯直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系，會用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間.2.了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導數(shù)解決某些實際問題.三、主干知識梳理（一）導數(shù)與函數(shù)的單調性1.在內可導函數(shù)，在任意子區(qū)間內都不恒等于0.在上為增函數(shù)．在上為減函數(shù)．2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的方法步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導數(shù)f'(x)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相應的x的取值范圍，當f'（二）導數(shù)與函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近的其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．（三）導數(shù)與函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．二、真題展示1．（2021·浙江高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.2．（2021·全國高考真題）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數(shù)研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.考點01判斷或證明函數(shù)的單調性【典例1】（2020·全國高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調性；【答案】（1）當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增.【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增.【典例2】（2021·全國高二課時練習）設函數(shù)f(x)＝alnx＋，其中a為常數(shù).（1）若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；（2）討論函數(shù)f(x)的單調性.【答案】（1）x－2y－1＝0；（2）答案見解析.【分析】（1）先求出的值，得出切點坐標，再求出的值，得到切線的斜率，從而得到切線方程.

（2）先求出，對二次函數(shù)的開口方向，判別式進行分類討論即可.【詳解】(1)由題意知a＝0時，，x∈(0，＋∞).此時f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x－2y－1＝0.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝.當a≥0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.當a<0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①當時，，f′(x)＝≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.②當時，<0，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.③當－時，>0.設x1，x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點，則x1＝，x2＝，由x1＝＝，所以x∈(0，x1)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減，x∈(x1，x2)時，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增，x∈(x2，＋∞)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減，綜上可得：當a≥0時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；當時，函數(shù)f(x)在，上單調遞減，在上單調遞增.【總結提升】1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，易錯點是忽視函數(shù)的定義域.2.當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．討論的標準有以下幾種可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定義域內；(3)若在定義域內有兩個根，比較兩個根的大?。键c02求函數(shù)的單調區(qū)間【典例3】（2021·全國高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負與函數(shù)的單調性的關系即可得到函數(shù)的單調性；（2）利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數(shù)研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；（2）,設函數(shù),則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.【總結提升】利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的方法(1)當導函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出單調區(qū)間．(2)當方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，按實根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調區(qū)間．(3)若導函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)結構特征，利用圖象與性質確定f′(x)的符號，從而確定單調區(qū)間．溫馨提醒：所求函數(shù)的單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．考點03利用函數(shù)的單調性解不等式【典例4】（2021·全國高二課時練習）函數(shù)y＝f(x)在其定義域內可導，其圖象如圖所示，記y＝f(x)的導函數(shù)為y＝，則不等式≤0的解集為________.【答案】【分析】不等式的解集即為函數(shù)的單調減區(qū)間，根據(jù)根據(jù)函數(shù)的圖像求出單調減區(qū)間，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，函數(shù)在和上遞減，所以不等式≤0的解集為.故答案為：.【典例5】（2021·全國高二單元測試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)可得函數(shù)的單調性，結合及函數(shù)的奇偶性，即可求得不等式的解集.【詳解】令，則，當時．由，得，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，，是定義在上的奇函數(shù)，在上遞減，又，，則的大致圖象如圖所示：時，，時，，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，時，，時，，當時，等價于，當時，不成立，不等式的解集為，所以不等式的解集是．故答案為：.【總結提升】比較大小或解不等式的思路方法(1)根據(jù)導數(shù)計算公式和已知的不等式構造函數(shù)，利用不等關系得出函數(shù)的單調性，即可確定函數(shù)值的大小關系，關鍵是觀察已知條件構造出恰當?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個變元的不等式，可以把兩個變元看作兩個不同的自變量，構造函數(shù)后利用單調性確定其不等關系．考點04利用函數(shù)的單調性比較大小【典例6】【多選題】（2021·遼寧大連·高三期中）設是函數(shù)的導數(shù)，若，且，，則下列各項正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】據(jù)條件可以作出的圖象，據(jù)此可判斷出是單調遞增函數(shù)，且增的越來越慢，據(jù)此可知導函數(shù)為單調遞減函數(shù)，同時根據(jù)導數(shù)的幾何意義做出相應的切線和割線，判斷即可．【詳解】解：對于A，因為，所以函數(shù)是單調遞增函數(shù)，又無法比較的大小，所以無法判斷的大小關系，故A錯誤；又，，，故的圖象“上凸”，做出草圖如下：可知的圖象從左向右增長的越來越慢，故是單調遞減函數(shù)，所以，故B正確；又（2），（3）分別表示，（2），，（3）處切線的斜率，表示割線的斜率，做出，兩點處的切線（直線①，③，割線（直線②如圖，可知，故C錯誤，D正確．故選：BD．【典例7】（2020·新泰市第二中學高三其他）【多選題】已知定義在()上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且恒有成立，則（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】分析：構造函數(shù)，然后利用導數(shù)和已知條件求出在()上單調遞減，從而有，，據(jù)此轉化化簡后即可得出結論.詳解：設，則，因為()時，，所以()時，，因此在()上單調遞減，所以，，即，.故選：CD.【總結提升】在比較，，，的大小時，首先應該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將，，，通過等值變形將自變量置于同一個單調區(qū)間，然后根據(jù)單調性比較大?。键c05根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)【典例8】（2021·北京市第十二中學高三月考）已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】由題可求導函數(shù)，利用導函數(shù)與單調性的關系可得在恒成立，即求.【詳解】由題意，在恒成立，則，又，∴在恒成立，∴即在恒成立，∴，綜上，或.故選：C.【典例9】(2019年高考北京)設函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數(shù)的取值范圍是.【總結提升】由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調，實際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關于參數(shù)的不等式，從而轉化為求函數(shù)的最值問題，求出參數(shù)的取值范圍．(2)可導函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調區(qū)間，實際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I上含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調區(qū)間，令I是其單調區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．考點06利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象【典例10】（2021·全國高一專題練習）函數(shù)的圖象可能是（）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】分別討論，，三種情況，利用導數(shù)判斷單調性，結合①②③④即可得正確選項.【詳解】當時，，此時圖象為④，故④正確；，當時，由可得，恒成立，恒成立，此時在，，上單調遞減，此時為圖③，故③正確；當時，恒成立，定義域為，由可得：；由可得或，所以此時在單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，此時為圖②，故②正確；綜上所述：函數(shù)的圖象可能是②③④，故選：C.【典例11】（2017·浙江高考真題）函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內，因此選D．【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的辨識主要從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.考點07利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【典例12】（2021·全國高考真題（理））設，若為函數(shù)的極大值點，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【典例13】（2017·全國高考真題（理））若是函數(shù)的極值點，則的極小值為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，因為，所以，，故，令，解得或，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極小值為，故選A．【典例14】（2018年文北京卷）設函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因為，所以.，由題設知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當時，；當時，.所以在x=1處取得極小值.若，則當時，，所以.所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當a=0時，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當a>0時，令得.①當，即a=1時，，∴在上單調遞增，∴無極值，不合題意.②當，即0<a<1時，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當a<0時，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.【總結提升】1.兩點說明：（1）可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數(shù)，即在某區(qū)間上單調增或減的函數(shù)沒有極值．2.求函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．3.由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍．討論極值點有無(個數(shù))問題，轉化為討論f′(x)＝0根的有無(個數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點處的導數(shù)為0，而導數(shù)為0的點不一定是極值點，要檢驗極值點兩側導數(shù)是否異號．考點08利用導數(shù)研究函數(shù)的最值【典例15】（2021·北京市第一六一中學高三月考）已知函數(shù)，曲線在處的切線經過點.（1）求實數(shù)的值；（2）求的單調區(qū)間；（3）設，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間單調遞減；（3）最大值為，最小值為.【分析】（1）求導，代入可得切線斜率，又，求解即可；（2）代入，故，分，討論導函數(shù)正負即可；（3）結合（2）中單調性可得，，令，求導分析單調性即可比較和0的大小.【詳解】（1）的導函數(shù)為，所以，依據(jù)題意，有，即，解得.（2）由（1）得，當時，，，所以，單調遞增，當時，，，所以，單調遞減，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間單調遞減.（3）由（2）得在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間單調遞減，因為，所以最大值為，設，其中，則，所以在區(qū)間上單調遞增，所以，即，故最小值為.【典例16】（2019·全國高考真題（文））已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)見詳解；(2).【解析】(1)對求導得.所以有當時，區(qū)間上單調遞增，區(qū)間上單調遞減，區(qū)間上單調遞增；當時，區(qū)間上單調遞增；當時，區(qū)間上單調遞增，區(qū)間上單調遞減，區(qū)間上單調遞增.(2)若，在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設函數(shù)，求導當時從而單調遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：第一步，求函數(shù)在(a，b)內的極值；第二步，求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；第三步，將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．2．求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．考點09函數(shù)極值與最值的綜合問題【典例17】（2021·福建省福州格致中學高三月考）已知函數(shù)，.（1）當時，若直線是函數(shù)的圖象的切線，求的最小值；（2）設函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）設切點坐標為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可用表示出，得到的函數(shù)關系式，再利用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調性即可求出最小值；（2）根據(jù)極值存在的條件，由可得在上有變號根，由函數(shù)的單調性和圖象即有或，解出不等式組即可求解．【詳解】（1）設切點坐標為，，切線斜率，又，，令，解得，解得，在上遞減，在上遞增.，的最小值為1.（2）因為，，.設，則由，得.當時，，當時，.在上單調遞增，在上單調遞減.且，，.顯然.結合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，則或解得故a的取值范圍為.【典例18】（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，由此可得出結果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.【總結提升】求解函數(shù)極值與最值綜合問題的策略(1)求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小范圍．(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．鞏固提升1．（2022·江蘇高三專題練習）下列關于函數(shù)的結論中，正確結論是（）A．是極大值，是極小值；B．沒有最大值，也沒有最小值；C．有最大值，沒有最小值；D．有最小值，沒有最大值.【答案】C【分析】先函數(shù)進行求導，在令解出，再結合導函數(shù)的符號分析出極大值與極小值.【詳解】由，得，令，則，解得或，當或時，，當時，，所以是極小值，是極大值，所以A錯誤；因為是極小值，且當時，恒成立，而是極大值,也是最大值，所以有最大值，沒有最小值，所以C正確，BD錯誤.故選：C2．（2021·西藏拉薩中學高三月考（文））在上可導的函數(shù)的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調性導數(shù)的關系得出和的解集，然后可得題設不等式的解集．【詳解】由題意的解集為，，的解集為，或，所以或．故選：A．3．（2021·廣西南寧·高三模擬預測（理））某制藥公司生產某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時()A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓柱和球的表面積公式將l用r和S表示出來，再代入圓柱體積和球體積公式，表示出膠囊的體積V，利用求導求出V的最大值及此時r的值.【詳解】依題意，，故，當時，，取最大值．故選：A4．（2021·河南高三月考（文））已知函數(shù)，記，，，則a，b，c的大小關系為（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)導函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間，利用函數(shù)的單調性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，則，所以，所以.故選：C．5.（2018·全國高考真題（文））函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．【答案】D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調性，由排除法可得結果.詳解：函數(shù)過定點，排除，求得函數(shù)的導數(shù)，由得，得或，此時函數(shù)單調遞增，排除，故選D.6.（2020·山東奎文?濰坊中學高二月考）【多選題】設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′（x），g'（x）為其導函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，則使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞）【答案】BD【解析】∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），令h（x）＝f（x）?g（x），則h（﹣x）＝﹣h（x），故h（x）＝f（x）?g（x）為R上的奇函數(shù)，∵當x＜0時，f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0，即x＜0時，h′（x）＝f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）?g（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調遞減，∴奇函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上也單調遞減，如圖：由g（﹣3）＝0，∴h（﹣3）＝h（3）＝0，∴當x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）時，h（x）＝f（x）?g（x）＜0，故選：BD.7.【多選題】（2021·全國高二課時練習）(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)y＝f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)【答案】ABD【分析】根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調性之間的關系可得出函數(shù)的單調區(qū)間，由單調性即可比較大小.【詳解】由題圖可得，當x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f′(x)>0，當x∈(c，e)時，f′(x)<