專題153應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（精講精析篇）-新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視

專題15.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性以及由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3.考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.三、主干知識(shí)梳理（一）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.在內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)，在任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.在上為增函數(shù)．在上為減函數(shù)．2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f'(x)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相應(yīng)的x的取值范圍，當(dāng)f'（二）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．（三）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．二、真題展示1．（2021·浙江高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.故選：D.2．（2021·全國(guó)高考真題）函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】1【分析】由解析式知定義域?yàn)椋懻?、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.考點(diǎn)01判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（2020·全國(guó)高考真題（理））已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.【典例2】（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx＋，其中a為常數(shù).（1）若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【答案】（1）x－2y－1＝0；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出的值，得出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出的值，得到切線的斜率，從而得到切線方程.

（2）先求出，對(duì)二次函數(shù)的開(kāi)口方向，判別式進(jìn)行分類討論即可.【詳解】(1)由題意知a＝0時(shí)，，x∈(0，＋∞).此時(shí)f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x－2y－1＝0.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＋＝.當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<0時(shí)，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①當(dāng)時(shí)，，f′(x)＝≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，<0，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.③當(dāng)－時(shí)，>0.設(shè)x1，x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則x1＝，x2＝，由x1＝＝，所以x∈(0，x1)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【總結(jié)提升】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視函數(shù)的定義域.2.當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．討論的標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定義域內(nèi)；(3)若在定義域內(nèi)有兩個(gè)根，比較兩個(gè)根的大?。键c(diǎn)02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例3】（2021·全國(guó)高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.【總結(jié)提升】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．溫馨提醒：所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開(kāi)．考點(diǎn)03利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例4】（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y＝f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝，則不等式≤0的解集為_(kāi)_______.【答案】【分析】不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)根據(jù)函數(shù)的圖像求出單調(diào)減區(qū)間，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，函數(shù)在和上遞減，所以不等式≤0的解集為.故答案為：.【典例5】（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及函數(shù)的奇偶性，即可求得不等式的解集.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)．由，得，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，，是定義在上的奇函數(shù)，在上遞減，又，，則的大致圖象如圖所示：時(shí)，，時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不成立，不等式的解集為，所以不等式的解集是．故答案為：.【總結(jié)提升】比較大小或解不等式的思路方法(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀察已知條件構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個(gè)變?cè)牟坏仁?，可以把兩個(gè)變?cè)醋鲀蓚€(gè)不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系．考點(diǎn)04利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小【典例6】【多選題】（2021·遼寧大連·高三期中）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若，且，，則下列各項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】據(jù)條件可以作出的圖象，據(jù)此可判斷出是單調(diào)遞增函數(shù)，且增的越來(lái)越慢，據(jù)此可知導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，同時(shí)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義做出相應(yīng)的切線和割線，判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，所以函?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，又無(wú)法比較的大小，所以無(wú)法判斷的大小關(guān)系，故A錯(cuò)誤；又，，，故的圖象“上凸”，做出草圖如下：可知的圖象從左向右增長(zhǎng)的越來(lái)越慢，故是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，故B正確；又（2），（3）分別表示，（2），，（3）處切線的斜率，表示割線的斜率，做出，兩點(diǎn)處的切線（直線①，③，割線（直線②如圖，可知，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．【典例7】（2020·新泰市第二中學(xué)高三其他）【多選題】已知定義在()上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】分析：構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)和已知條件求出在()上單調(diào)遞減，從而有，，據(jù)此轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)后即可得出結(jié)論.詳解：設(shè)，則，因?yàn)?)時(shí)，，所以()時(shí)，，因此在()上單調(diào)遞減，所以，，即，.故選：CD.【總結(jié)提升】在比較，，，的大小時(shí)，首先應(yīng)該根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將，，，通過(guò)等值變形將自變量置于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小．考點(diǎn)05根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例8】（2021·北京市第十二中學(xué)高三月考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】由題可求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得在恒成立，即求.【詳解】由題意，在恒成立，則，又，∴在恒成立，∴即在恒成立，∴，綜上，或.故選：C.【典例9】(2019年高考北京)設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對(duì)任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【總結(jié)提升】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，求出參數(shù)的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象【典例10】（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能是（）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】分別討論，，三種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合①②③④即可得正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圖象為④，故④正確；，當(dāng)時(shí)，由可得，恒成立，恒成立，此時(shí)在，，上單調(diào)遞減，此時(shí)為圖③，故③正確；當(dāng)時(shí)，恒成立，定義域?yàn)?，由可得：；由可得或，所以此時(shí)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)為圖②，故②正確；綜上所述：函數(shù)的圖象可能是②③④，故選：C.【典例11】（2017·浙江高考真題）函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【規(guī)律方法】函數(shù)圖象的辨識(shí)主要從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.考點(diǎn)07利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【典例12】（2021·全國(guó)高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【典例13】（2017·全國(guó)高考真題（理））若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，因?yàn)?，所以，，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A．【典例14】（2018年文北京卷）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所?，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得極小值.若，則當(dāng)時(shí)，，所以.所以1不是的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.①當(dāng)，即a=1時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無(wú)極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.【總結(jié)提升】1.兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒(méi)有極值．2.求函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值．3.由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍．討論極值點(diǎn)有無(wú)(個(gè)數(shù))問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(wú)(個(gè)數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)．考點(diǎn)08利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【典例15】（2021·北京市第一六一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減；（3）最大值為，最小值為.【分析】（1）求導(dǎo)，代入可得切線斜率，又，求解即可；（2）代入，故，分，討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)即可；（3）結(jié)合（2）中單調(diào)性可得，，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可比較和0的大小.【詳解】（1）的導(dǎo)函數(shù)為，所以，依據(jù)題意，有，即，解得.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.（3）由（2）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以最大值為，設(shè)，其中，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故最小值為.【典例16】（2019·全國(guó)高考真題（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2).【解析】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng)時(shí)從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：第一步，求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；第二步，求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；第三步，將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．2．求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．考點(diǎn)09函數(shù)極值與最值的綜合問(wèn)題【典例17】（2021·福建省福州格致中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，若直線是函數(shù)的圖象的切線，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可用表示出，得到的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值；（2）根據(jù)極值存在的條件，由可得在上有變號(hào)根，由函數(shù)的單調(diào)性和圖象即有或，解出不等式組即可求解．【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，又，，令，解得，解得，在上遞減，在上遞增.，的最小值為1.（2）因?yàn)椋?設(shè)，則由，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且，，.顯然.結(jié)合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，則或解得故a的取值范圍為.【典例18】（2021·北京高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.【總結(jié)提升】求解函數(shù)極值與最值綜合問(wèn)題的策略(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小范圍．(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．鞏固提升1．（2022·江蘇高三專題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論是（）A．是極大值，是極小值；B．沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值；C．有最大值，沒(méi)有最小值；D．有最小值，沒(méi)有最大值.【答案】C【分析】先函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，在令解出，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析出極大值與極小值.【詳解】由，得，令，則，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是極小值，是極大值，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)槭菢O小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，而是極大值,也是最大值，所以有最大值，沒(méi)有最小值，所以C正確，BD錯(cuò)誤.故選：C2．（2021·西藏拉薩中學(xué)高三月考（文））在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得出和的解集，然后可得題設(shè)不等式的解集．【詳解】由題意的解集為，，的解集為，或，所以或．故選：A．3．（2021·廣西南寧·高三模擬預(yù)測(cè)（理））某制藥公司生產(chǎn)某種膠囊，其中膠囊中間部分為圓柱，且圓柱高為l，左右兩端均為半球形，其半徑為r，若其表面積為S，則膠囊的體積V取最大值時(shí)()A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓柱和球的表面積公式將l用r和S表示出來(lái)，再代入圓柱體積和球體積公式，表示出膠囊的體積V，利用求導(dǎo)求出V的最大值及此時(shí)r的值.【詳解】依題意，，故，當(dāng)時(shí)，，取最大值．故選：A4．（2021·河南高三月考（文））已知函數(shù)，記，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，則，所以，所以.故選：C．5.（2018·全國(guó)高考真題（文））函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．【答案】D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由排除法可得結(jié)果.詳解：函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，排除，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，排除，故選D.6.（2020·山東奎文?濰坊中學(xué)高二月考）【多選題】設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′（x），g'（x）為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，則使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞）【答案】BD【解析】∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），令h（x）＝f（x）?g（x），則h（﹣x）＝﹣h（x），故h（x）＝f（x）?g（x）為R上的奇函數(shù)，∵當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0，即x＜0時(shí)，h′（x）＝f′（x）?g（x）+f（x）?g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）?g（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，∴奇函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上也單調(diào)遞減，如圖：由g（﹣3）＝0，∴h（﹣3）＝h（3）＝0，∴當(dāng)x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）時(shí)，h（x）＝f（x）?g（x）＜0，故選：BD.7.【多選題】（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)【答案】ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題圖可得，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(c，e)時(shí)，f′(x)<