考點12解三角形平面圖形類問題6種常見考法歸類-2022-2023學年高一數學題型歸納與解題策略(人教A版2019)

考點12解三角形平面圖形類問題6種常見考法歸類1、“算一次”問題常見的平面幾何圖形有兩種類型：一種是由兩個三角形拼成一個大三角形，一種是由兩個三角形拼成一個四邊形.所謂“算一次”問題，就是只需通過一次正弦定理或余弦定理就可以把問題角或邊長算出來，即直接單個三角形進行突破。2、“算兩次”問題在一些平面幾何問題中，所求的角或邊長放在任何一個三角形中，由于條件較少，都不可能通過一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找兩個三角形，通過它們的公共邊或角，運用兩次正弦定理或余弦定理，就可以解決問題，簡稱“算兩次”.（一）求角一般地，求三角形某個內角問題，可尋找其中的一條邊，對其放到兩個三角形，分別運用正弦定理或余弦定理，“算兩次”解方程求之.求邊一般地，求三角形某個邊長問題可尋找其中的一個角，對其放到兩個三角形，分別運用余弦定理，“算兩次”解方程求之.（2）邊長可表示成某個未知角的正弦或余弦值3、解決三角形圖形類問題的方法：（1）兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；（2）等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；（3）正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；（4）構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；（5）平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；（6）建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.6、三角形中線模型涉及中線長的工具：在中，D是AC中點，示例：的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為，利用余弦定理證明，，【解析】方法一：證明：根據余弦定理得，所以，所以，同理可得，.方法二：設BC邊上的中線為AD，在△ABD中，在△ACD中，由于①+②可得，即有，同理可證，方法三：值得一提的是，此結論除了可以用余弦定理證明以外，還可以用向量證明，證明如下：因為，所以，所以在△ABC中，由余弦定理得：所以，由③④得，同理可證，比較上述后兩種證法，可以發(fā)現，如果已知的是三邊，那么選擇前一種方法好些，如果已知的是夾角，那么后一種做法相對好些.熟記這組結論，無論是對填空題還是大題，無論是對思維還是計算都大有裨益.當然，若將BC上的中點D改為靠近C點的三等分點，證明方法完全一樣.此時結論變?yōu)?若將BC上的中點D改為靠近B點的三等分點，此時結論變?yōu)?邊上的結論可以類比上式，不再贅述.7、涉及角平分線的工具：中，AD是的角平分線角平分線定理：8、平面四邊形模型一般解三角形問題如果給出的平面圖形是四邊形，那么這其中所包含的三角形就有很多.思考過程大致可以概況如下流程：設角→在某個三角形中由正弦定理用角表示邊→在另一個三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量關系→得出結論.當然，如果題目眾多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我們優(yōu)先選擇從這些三角形中設角.很多時候，學生沒辦法從一個三角形中找到等量關系，則盡可能多求圖中的角.從而可以在兩個三角形中找共同的邊或角、從而得到一些等量關系、來解決問題.考點一算一次問題考點二算兩次問題考點三三角形中線模型考點四角平分線模型考點五平面四邊形模型（一）直角三角形模型（二）外接圓模型考點一算一次問題1、如圖，已知中，，，．（1）求的長；（2）若，求的長．【解析】（1）如圖所示：已知中，，，．利用正弦定理，整理得．（2）利用，，，利用余弦定理．2、如圖，在中，D為邊BC上一點，，，，.(1)求的大??；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本題答案；（2）結合正弦定理和三角形的面積公式，逐步求解，即可得到本題答案.【詳解】（1）在中，，又，所以；（2）在中，，則，因為，所以，在中，，則，，在中，因為，所以，則，故.3、如圖，在中，點在邊上，(1)證明：；(2)若，，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在中根據題意結合正弦定理分析運算；（2）不妨設，在、、中利用余弦定理運算求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.（2）不妨設，則在中，由余弦定理知；在中同理可知：在中，即有解得.4、如圖，平面四邊形是由鈍角與銳角拼接而成，且，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，，求的面積．【解析】（Ⅰ）在中，因為，所以，因為，所以，又，所以，因為，所以．（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理可得，即，解得，或，當時，，此時為鈍角三角形，不滿足題意，舍去；當時，的面積．5、如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）在中，由正弦定理知，，，，，，．（2）由（1）知，，，在中，由余弦定理知，，．6、如圖，中，已知點D在BC邊上，，，，，則△的面積為________；AB的長是________.【解析】因為，，，所以，又，則△的面積為，又，所以在△中由正弦定理得：，則.故答案為：；.7、某農戶有一個三角形地塊，如圖所示.該農戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點在上）用來養(yǎng)一些家禽，經專業(yè)測量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中應用正弦定理得出的長；（2）由結合面積公式得出，再由余弦定理得出，，進而得出的周長.【詳解】（1）解：在中，，且，所以.因為，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因為，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因為，所以.在中，由余弦定理可得所以的周長為.考點二算兩次問題（一）求角8、如圖，在中，，，，為內一點，．（1）若，求；（2）若，求．【解析】在中，，，．在中，由余弦定理得．．設，在中，．在中，由正弦定理得，即，化為．．9、如圖，在中，，，，在平面內，且為外一點，（1）若，求；（2）若，求．【解析】（1）在中，由于，，為內一點，，直角三角形中，若，，．．在中，由余弦定理得，．（2）設，則，，在直角中，，在中，根據正弦定理得：，即，化簡得，則．10、如圖,在平面四邊形中,,.(1)試用表示的長;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據已知條件將用表示,再在中利用余弦定理求解即可;(2)在中先用余弦定理將用表示,再結合(1)的結論,利用二次函數的性質求解最大值即可.【詳解】（1）（）,,,，則在中,,,則.（2）在中,,則當時,取到最大值.故的最大值是11、如圖，在梯形中，，，，．（1）若，求梯形的面積；（2）若，求．【解析】（1）設，在中，由余弦定理可得，整理可得：，解得，所以，則，因為，所以，所以；（2）設，則，，，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，兩式相除可得，展開可得，所以可得，即，解得或，又因為，，所以，即．（二）求邊12、如圖，在直角中，，，是的中點，若，則___________.【解析】如圖，設，在中，，在中，，在中，，且為銳角，則，，得，即，故答案為：.13、如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：）：，且與互補，則的長為（）．A．7 B．8 C．9 D．6【解析】，，因為與互補，所以，所以，解得．故選A．14、已知四邊形中，與交于點，．（1）若，，求；（2）若，，求的面積．【解析】（1）在中，，，，可得，即有，可得；（2）在中，，，，設，，，由余弦定理可得，解得，，，所以的面積為．15、在中，，D為BC的中點，則的最大值為______．【答案】【分析】先設，由三角形三邊關系得到，再利用三角函數的誘導公式與余弦定理得到，從而利用換元與基本不等式求得的最小值，結合與在上的單調性即可求得的最大值.【詳解】設，則，因為為的中點，，所以，由三角形三邊關系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因為，所以,所以，解得，則，，令，則，，，則，當且僅當，即時，等號成立，此時，解得，因為，所以．因為在上單調遞減，在單調遞增，所以當取得最小值時，取得最大值，此時，則，所以的最大值為.故答案為：..【點睛】關鍵點睛：本題中突破口為，由此得到，再結合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.考點三三角形中線模型16、已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C． D．【解析】因為，故可得，根據余弦定理可得，故，不妨取中點為，故，故.即邊上的中線長為.故選：.17、已知在中，.(1)求邊的長；(2)求邊上的中線的長.【解析】(1)由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或，當時，，不合題意，舍去；當時，，滿足題意，綜上：(2)因為D為BC中點，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以.18、在中，，，為邊上的中點，且的長度為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據，結合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程組可求得.【詳解】在中，；在中，；，，又，，整理可得：，即，，；在中，，，解得：（舍）或，.故選：A.19、在中，，點D在邊上，.(1)若，求的值，(2)若，且點D是邊的中點，求的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；（2）作出輔助線，得到，由余弦定理求出，從而求得答案.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，所以，解得或，經檢驗均符合要求；（2）在中，過D作的平行線交于E，因為點D是邊的中點，所以點E為AC的中點，在中，，又，所以.由余弦定理得：，所以，所以或（舍去），故.考點四角平分線模型20、△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．【解析】(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因為S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因為S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2DC＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.21、的內角A，B，C的對邊分別為a，b，C，已知．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分線，，，求CD的長．【解析】（1）由，根據正弦定理可得，則，所以，整理得，因為均為三角形內角，所以，因此，所以；（2）因為CD是角C的平分線，，，所以在和中，由正弦定理可得，，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以，又，即，即，所以.22、如圖所示，在四邊形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD為的平分線，試求BD．【答案】(1)5(2)8【分析】（1）利用正弦定理得，代入數據即可解出.（2）利用余弦定理得到，代入數據即可解出.【詳解】（1）由正弦定理得，∴＝∴.（2）由，可得，又，為的平分線，∴A，B，C，D四點共圓，，由余弦定理得，即∴.考點五平面四邊形模型直角三角形模型23、中在邊上,且．(1)求的長;(2)若于,求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先在中由余弦定理求得的長,再由求得的長,由可求,最后在中由余弦定理即可得的長;（2）由（1）可得,,的長,即有的長,在中由余弦定理可得,再求,又有,又有,則有,將寫為,根據兩角差的余弦公式代入即可求出結果.【詳解】（1）解:由題知是等腰三角形,,在中,由余弦定理得:,即,,,,在中,由余弦定理得:,即,;（2）由（1）知,,在中,由余弦定理得:,,,,,故.24、如圖，在平面四邊形中，，，．（1）若，，求的長；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可求在中，，可得，可求，在中，由余弦定理可得的值．（2）設，則，，在中，由正弦定理可得，代入，可得：，結合為銳角，可求的值．【詳解】（1）因為，在中，，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以．（2）設，則，，在中，由正弦定理可得，化簡可得：，代入，可得：，又為銳角，所以，即．25、如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）記，根據題意用表示相關未知量，在中，利用正弦定理結合三角恒等變換運算求解；（2）法一：利用兩角和公式求，在中，利用正弦定理運算求解；法二：先求，在中，利用余弦定理運算求解.【詳解】（1）∵，，，∴，記，則，∵，，∴，在中，由正弦定理得：，則，可得，化簡得，聯立方程，解得或，∵，則，故．（2）解法一：由（1）知：，由正弦定理得：，∴，解法二：在中，，在中，由余弦