832圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積精練-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積(精練）A學(xué)業(yè)基礎(chǔ)一、單選題1．（2021·海南鑫源高級(jí)中學(xué)高二期中）圓錐的底面半徑是1，母線長(zhǎng)為，則體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：圓錐的高為，所以圓錐的體積.故選：A2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）矩形中，，，沿將矩形折起，使面面，則四面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖：矩形中，因?yàn)?，所以，設(shè)交于，則是和的外心，所以到點(diǎn)的距離均為，所以為四面體的外接球的球心，所以四面體的外接球的半徑，所以四面體的外接球的體積.故選:A.3．（2021·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒?jí)中學(xué)高二期中（文））長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是2，3，6，這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（）A． B．56πC．14π D．16π【答案】C【詳解】解析：設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，由題意得，得∴長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，∴其外接球的半徑為∴．故選：C4．（2020·四川省眉山第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的表面積是（）A．3π B． C．6π D．9π【答案】A【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長(zhǎng)為.，所以圓錐的底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為.所以圓錐的表面積為.故選：A5．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)底面半徑為4的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為4和6，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：一個(gè)底面半徑為4的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為4和6，該幾何體的體積由兩部分組成：底面半徑為4、高為4的圓柱體體積，②底面半徑為4、高為2的圓柱體體積的一半，則該幾何體的體積為：．故選：D6．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.故選：B.7．（2022·北京朝陽(yáng)·高三期末）如圖，將半徑為1的球與棱長(zhǎng)為1的正方體組合在一起，使正方體的一個(gè)頂點(diǎn)正好是球的球心，則這個(gè)組合體的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，該組合體是一個(gè)正方體和個(gè)球體的組合體，其體積為.故選：A.8．（遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．已知塹堵中，，．若塹堵外接球的表面積是，則塹堵體積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則．由題意易知塹堵外接球的球心是矩形的中心，則塹堵外接球的半徑R滿足，從而，解得，即．設(shè)，，則，故，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）故塹堵的體積．故選：B二、填空題9．（2022·上海·格致中學(xué)高二期末）已知球面上的三點(diǎn)，，滿足，，，球心到平面的距離為，則球的表面積為______．【答案】【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.10．（2022·廣西柳州·二模（文））阿基米德是偉大的古希臘哲學(xué)家?數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且內(nèi)切球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為___________.【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以h=2r，又因?yàn)槠浔砻娣e為，所以，解得，，所以圓柱的體積為，所以該圓柱的內(nèi)切球體積為，故答案為：11．（2022·青海海東·高二期末（文））某學(xué)生到某工廠進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為一個(gè)大圓柱中挖去一個(gè)小圓柱后的剩余部分（兩個(gè)圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為的正方形，小圓柱的側(cè)面積是大圓柱側(cè)面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.（?。敬鸢浮?500【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設(shè)小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.故答案為：4500.12．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知球的半徑為1，，是球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，過，，三點(diǎn)的截面圓的面積為______．【答案】【詳解】因?yàn)镺是球心，，所以截面是球的大圓所在平面，故當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C滿足平面時(shí)，三棱錐的體積最大，而,故,則是正三角形，設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的截面圓的圓心為,則圓的半徑，故過A，B，C三點(diǎn)的截面圓的面積為，故答案是：.三、解答題13．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）某部門建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高4m，該部門擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是底面直徑比原來增加4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．（1）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的體積；（2）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉(cāng)庫(kù)的表面積；（3）哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？為什么？【答案】（1）方案一：(m3)；方案二：96π(m3).（2）方案一：S1=32π(m2)；方案二：S2=60π(m2).（3）方案二比方案一更加經(jīng)濟(jì)，理由見詳解.（1）若按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16m，則倉(cāng)庫(kù)的體積為V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8m，則倉(cāng)庫(kù)的體積為V2=S·h=×π××8=96π(m3).（2）若按方案一，倉(cāng)庫(kù)的底面直徑變成16m，半徑為8m.圓錐的母線長(zhǎng)為l1==4(m)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積為S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二，倉(cāng)庫(kù)的高變成8m.圓錐的母線長(zhǎng)為l2==10(m)，則倉(cāng)庫(kù)的表面積為S2=π×6×10=60π(m2).（3）由（1）、（2）知，V1<V2，S2<S1，故方案二體積更大，表面積更小，所需耗材更少，即方案二比方案一更加經(jīng)濟(jì).14．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三階段練習(xí)）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rullon，于1996年故入世界文化遺產(chǎn)名景（如圖1）.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)屋頂，得到圓錐的底面直徑長(zhǎng)為m，母線長(zhǎng)為m（如圖2）.是母線的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）.（1）現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個(gè)屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（此處取3.14，結(jié)果精確到個(gè)位）:（2）從點(diǎn)到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度.【答案】（1）20347；（2）m.（1）因圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為m，母線SA長(zhǎng)為m，則此圓錐的側(cè)面積為()又每平方米大約需要鮮花60朵，于是得(朵)，所以裝飾這個(gè)屋頂大約需要20347朵鮮花.（2）將圓錐SO沿母線SA剪開展在同一平面內(nèi)得如圖所示的扇形，點(diǎn)A到點(diǎn)，連接，則為最小長(zhǎng)度，扇形弧長(zhǎng)等于圓錐SO底面圓周長(zhǎng)，于是得扇形圓心角，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以燈光帶的最小長(zhǎng)度為m.B應(yīng)考能力15．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知三棱錐所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，若，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，設(shè)為的外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，分別連接和，則平面，，因?yàn)槠矫?，若，可得的外接圓的半徑，且，在直角中，可得，即三棱錐外接球的半徑為，所以球的表面積為.故選：D.16．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））在四邊型中（如圖1所示），，，，將四邊形沿對(duì)角線折成四面體（如圖2所示），使得，則四面體外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，又，則，，可知，則，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)為四面體外接球的球心，則外接球的半徑為：，所以四面體外接球的表面積.故選：D.17．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）地球靜止同步通信衛(wèi)星是當(dāng)今信息時(shí)代的大量信息傳遞主要實(shí)現(xiàn)工具，例如我國(guó)航天事業(yè)的重要成果“北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”，它為全球用戶提供了全天候、全天時(shí)、高精度的定位、導(dǎo)航和授時(shí)服務(wù)，是國(guó)家重要空間基礎(chǔ)設(shè)施．地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個(gè)球，衛(wèi)星信號(hào)像一條條直線一樣發(fā)射到達(dá)球面，所覆蓋的范圍即為一個(gè)球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號(hào)的覆蓋面積．球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．設(shè)球面半徑為R，球冠的高為h，則球冠的表面積為．已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星的信號(hào)覆蓋面積與地球表面積之比為m，則它距地球表面的最近距離與地球半徑之比為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題設(shè)知：，可得，如下截面圖，若為球心，為衛(wèi)星位置，則，，為球冠底面直徑，∴由題設(shè)易知：，則，故，令衛(wèi)星距地球表面的最近距離，則，∴，故.故選：D.18．（2021·上?！の挥袑W(xué)高二期中）在立體幾何講授圓錐之前，為了讓同學(xué)們對(duì)圓錐有直觀的認(rèn)識(shí)，善于動(dòng)手的老師準(zhǔn)備用鐵皮自制一個(gè)無蓋的圓錐形密封容器.（1）如果老師希望得到的容器的尺寸如下如圖所示，請(qǐng)問老師事先至少需要購(gòu)買的鐵皮的面積（假設(shè)購(gòu)買的鐵皮能沒有損失地利用）；（2）當(dāng)老師聚精會(huì)神做好該密封容器后，發(fā)現(xiàn)正在下雨，猛然想起氣象學(xué)上用24小時(shí)內(nèi)的降水在平地上的積水厚度（）來判斷降雨程度，其中小雨（<10）?中雨（1025）?大雨（2550）?暴雨（50~100），勤于思考的老師用剛剛做好的這個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，得到雨水?dāng)?shù)據(jù)如圖所示，請(qǐng)你幫他判斷一下這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)？并請(qǐng)說明你的理由.【答案】（1）（2）中雨，理由見解析（1）設(shè)母線為，則，則；（2）當(dāng)雨水在容器中高度為時(shí)，所對(duì)應(yīng)底面半徑，此時(shí)圓錐體積為，設(shè)相同體積和底面半徑為的圓柱的高為，則有，結(jié)合得，故這天的降雨屬于中雨.C新素養(yǎng)新題型19．（2021·湖北省廣水市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）某藝術(shù)比賽提倡能力均衡發(fā)展，特別將水晶獎(jiǎng)杯設(shè)計(jì)成具有對(duì)稱美的形狀．其形如圖所示，是將棱長(zhǎng)為的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)，作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為的空間幾何體，則下列說法正確的是（）A．該幾何體的體積為 B．該幾何體的外接球表面積為C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體中，二面角的余弦值為【答案】AB【詳解】補(bǔ)全幾何體為棱長(zhǎng)為3a的正三棱錐，如下圖示，∴幾何體體積，故A正確；若分別是面、底面的中心，由題設(shè)易知：，若幾何體外接球半徑，則，即，解得，則幾何體的外接球表面積，故B正確.幾何體的表面積，故C錯(cuò)誤；由正四面體的性質(zhì)及圖知：二面角為正四面體相鄰兩個(gè)面夾角的補(bǔ)角，而正四面體相鄰兩個(gè)面夾角的余弦值為，則二面角的余弦值為，故D錯(cuò)誤；故選：AB.20．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為，則（）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為B．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【詳解】首先求得正四面體的一些結(jié)論：正四面體棱長(zhǎng)為，是底面的中心，是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖1．，，由得，解得，（內(nèi)切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．圖1對(duì)于A選項(xiàng)，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為a，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖2，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B，O，E三點(diǎn)共線，且，，因此，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，勒洛四面體面積最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖3，則勒洛四面體的截面面積的最大值為三個(gè)半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，而正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.故選：ABD．圖2圖321．（2020·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作三棱柱的截面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．三棱柱外接球的表面積為B．C．若交于，則D．將三棱柱分成體積較大部分和體積較小部分的體積比為13：5【答案】ACD【詳解】如圖所示：將該三棱柱視為正方體的一部分，則三棱柱外接球的半徑，，其表面積為，故A項(xiàng)正確；延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接交于，連接，則平面即為截面.因?yàn)椋侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，由與相似，得，得，而是的中點(diǎn)，所以與不平行且必相交，所以與截面不平行，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以在中，，故C項(xiàng)正