數(shù)學名校-浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2024-2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試卷

2026屆高二數(shù)學秋季月考卷第一期考試范圍：大部分學校已經學習過的內容：考試時間：120分鐘：滿分：150分注意事項：1.答題前填寫好自已的姓名?班級?考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知向量，則（）A.B.C.D.2.已知直線，若，則實數(shù)的值為（）A.1B.C.D.3.已知是實常數(shù)，若方程表示的曲線是圓，則的取值范圍為（）A.B.C.D.4.設為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）A.若與所成的角相等，則B.若，則C.若，則D.若，是5.直線與圓相交于兩點，若，則等于（）A.0B.C.或0D.或06.過點作直線，若經過點和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（）A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條7.已知長方體中，，若棱上存在點，使得，則的取值范圍是（）A.B.C.D.8.已知點在直線上運動，是圓上的動點，是圓上的動點，則的最小值為（）A.13B.11C.9D.8二?多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.三條直線構成三角形，則的值不能為（）A.1B.2C.D.10.正方體中，下列結論正確的是（）A.直線與直線所成角為B.直線與平面所成角為C.二面角的大小為D.平面平面11.已知圓，直線為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則（）A.四邊形面積的最小值為4B.四邊形面積的最大值為8C.當最大時，D.當最大時，直線的方程為第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，則直線與之間的距離最大值為__________.13.已知三棱錐中，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為__________.14.若點滿足，點是直線上的動點，則對定點而言，的最小值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線與直線的交點為.（1）若直線過點，且點和點到直線的距離相等，求直線的方程；（2）若直線過點且與軸正半軸交于兩點，的面積為4，求直線的方程.16.某同學在勞動實踐課上制作了一個如圖所示的容器，其上半部分是一個正四棱錐，下半部分是一個長方體，已知正四棱錐的高是長方體高的，且底面正方形的邊長為.（1）求的長及該長方體的外接球的體積；（2）求正四棱錐的斜高和體積.17.已知：圓過點是直線上的任意一點，直線與圓交于兩點.（1）求圓的方程；（2）求的最小值.18.在平面直角坐標系中，已知圓和圓（1）若直線過點，且與圓相切，求直線的方程；（2）設為直線上的點，滿足：過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等.試求滿足條件的點的坐標.19.如圖，已知直三棱柱中，且，分別為的中點，為線段上一動點.（1）求與平面所成角的正切值；（2）證明：；（3）求銳二面角的余弦值的最大值.2026屆高二數(shù)學秋季月考卷第一期參考答案與試題解析一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【解答】解：由，得：,故選：A.2.【解答】解：直線，則，解得.故選：D.3.【解答】解：由表示的曲線是圓可得，故.故選：B.4.【解答】解：A?直線的方向相同時才平行，不正確；B?用長方體驗證.如圖，設為，平面為為，平面為，顯然有，但得不到，不正確；C?可設為，平面為為，平面為，滿足選項的條件卻得不到，不正確；D?，或,又,故選：D.5.【解答】解：圓的圓心為，半徑為2，當時，圓心到直線的距離為，求得或0，故選：D.6.【解答】解：直線過點和，則設直線的方程為，直線過點，，即，又，當時，無解，此時，直線和軸垂直，和軸無交點，直線不過，故時不滿足條件；當時，，當時，，當時，，當時，由①知，滿足條件的正整數(shù)不存在，綜上所述，滿足條件的直線由2條，故選：B.7.【解答】解：如圖建立坐標系，設，則，，即，當時，.故選：C.8.【解答】解：圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，如圖所示，則，所以，故求的最小值可轉化為求的最小值，設關于直線的對稱點為，設坐標為，則，解得，故，因為，可得，當三點共線時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.【解答】解：聯(lián)立，解得，解直線與的交點為.顯然不在直線上.故若三條直線能構成三角形，則直線與都不平行，即.故選：AC.10.【解答】解：對于A，連結，因為，故直線與直線所成角即為直線與直線所成角，因為為正三角形，所以該角為，故選項A正確對于B，因為平面，所以直線與平面所成角為，在中，，所以直線與平面所成角為，故選項B錯誤；對于C，在正方體中可得，，故二面角的平面角為，故選項C正確；對于D，設，連結，設正方體的棱長為2，則，又為的中點，所以，則為二面角的平面角，在等邊和等邊三角形中，，在中，，所以不是直角，平面與平面不垂直，故選項D錯誤.故選：AC.11.【解答】解：由圓的幾何性質可得，圓心，對于A，由，可得，四邊形的面積，，當時，取最小值，，四邊形面積的最小值為，故A正確；對于B，因為無最大值，即無最大值，四邊形的面積，故四邊形面積無最大值，故錯誤；對于C，為銳角，，且，當最小時，最大，此時最大，此時，故正確；對于D，由上可知，當最大時，，且，四邊形為正方形，且有，直線，則的方程為，聯(lián)立，可得點，由正方形的幾何性質可知，直線過線段的中點，直線的方程為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【解答】解：直線化簡為：，令且，解得，所以直線過定點，直線化簡為：，令且，解得，所以直線過定點，當與直線垂直時，直線的距離最大，且最大值為，故答案為：5.13.【解答】解：在中，由余弦定理可得，，所以，則，所以為直角三角形，，又平面平面，平面平面，所以平面，設的外接圓的圓心為，半徑為，則，所以，因為三棱錐的外接球的球心在過點的平面的垂線上，如圖所示，因為平面，所以幾何體的外接球的球心到平面的距離為，即，該幾何體的外接球的半徑為，在，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.14.【解答】解：如圖所示：設關于點對稱點為，有題意可知，解得，由在直線，代入整理得，所以，若點滿足，點在圓內或圓上，則所以最小值為圓的圓心到直線的距離減去半徑，所以，所以，的最小值，故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【解答】解：（1）由的交點為，由直線與的距離相等可知，或過的中點，由得的方程為，即，由過的中點得的方程為，故或為所求.（2）方法一：由題可知，直線的斜率存在，且.則直線的方程為.令，得，令，得，，解得，故的方程為.方法二：由題可知，直線的橫?縱截距存在，且，則，又過點的面積為，解得，故方程為，即.16.【解答】解：（1）幾何體為長方體且，，記長方體外接球的半徑為，線段就是其外接球直徑，則，長方體外接球的體積為.（2）如圖，設交于點，連接為正四棱椎，為正四棱錐的高，又長方體的高為，取的中點，連接，則為正四棱錐的斜高，在中，，，，，故正四棱錐的斜高為，體積為.17.【解答】解：（1）易得在直線上，不妨設，因為，即，解得，故，半徑，則圓的方程為：；（2）聯(lián)立，解得，即，設，則，則當時，取最小值13.18.【解答】解：（1）設直線的方程為：，即圓心到直線的距離，結合點到直線距離公式，得，求得由于直線與圓相切.所以直線的方程為：或，即或（2）設點坐標為，直線的方程分別為：，即因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等，所以圓心到直線與圓心直線的距離相等.故有，化簡得，或關于的方程有無窮多解，有所以點坐標為，經檢驗點滿足題目條件.19.【解答】解：（1）由直三棱柱，知面，所以點在的投影為，所以為與平面所成角，所以，所以與平面所成角的正切值為.（2）證明：以