2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第一講-坐標(biāo)系-二-第1課時-極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-4

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-42021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-42020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第1課時極坐標(biāo)系的概念學(xué)案新人教A版選修4-4年級：姓名：二極坐標(biāo)系第一課時極坐標(biāo)系的概念考綱定位重難突破1.理解極坐標(biāo)系及其概念，會求點的極坐標(biāo).2.能建立極坐標(biāo)系，由點的極坐標(biāo)確定位置.重點：極坐標(biāo)系的概念與點的極坐標(biāo)的表示.難點：極坐標(biāo)系中點與極坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁[自主梳理]1．平面內(nèi)點的位置在平面直角坐標(biāo)系中，點的位置用有序?qū)崝?shù)對確定，平面內(nèi)的點的位置也可以用距離和角度確定．2．極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系．3．極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)．特別地，當(dāng)點M在極點時，它的極坐標(biāo)為(0，θ)，θ可以取任意實數(shù)．4．點與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點．特別地，極點O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)．和點的直角坐標(biāo)的唯一性不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示．如果規(guī)定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點也是唯一確定的．[雙基自測]1．極坐標(biāo)系中，與點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))相同的點是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(13π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(17,6)π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(5π,6)))解析：因為極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點，故選A.答案：A2．極坐標(biāo)系中，集合{(ρ，θ)|ρ＝1，θ∈R}表示的圖形是()A．點 B．射線C．直線 D．圓解析：由于ρ＝1，θ∈R表示到極點距離等于1的點的集合，即以極點為圓心，半徑為1的圓．答案：D3．極坐標(biāo)系中，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))與Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))兩點間的距離為()A．1 B．2C．3 D．4解析：Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,2)))，O(0,0)三點共線，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝1＋1＝2.答案：B授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁探究一由極坐標(biāo)確定點的位置[例1]在極坐標(biāo)系中，畫出點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)π))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(19,4)π)).[解析]在極坐標(biāo)系中先作出eq\f(π,4)線，再在eq\f(π,4)線上截取|OA|＝1，這樣可得到點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4))).同樣可作出點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4))).由于eq\f(19,4)π＝eq\f(3π,4)＋4π，故點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(19,4)π))可寫成Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4)))，如圖位置．怎樣確定極坐標(biāo)點的位置由極坐標(biāo)確定點的位置，常常首先由θ的值確定射線(方向)，再由ρ的值確定位置．如果θ的值不在[0,2π)范圍內(nèi)，先根據(jù)θ＝θ0＋2kπ(k∈Z)確定出θ0∈[0,2π)的值再確定方向．1．在極坐標(biāo)系中，作出以下各點：A(4,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,4))).解析：如圖所示，A，B，C，D四個點分別是唯一確定的．探究二求點的極坐標(biāo)[例2]已知點Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點P的極坐標(biāo)．(1)點P是點Q關(guān)于極點O的對稱點；(2)點P是點Q關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)的對稱點．[解析](1)由于P、Q關(guān)于極點對稱，得極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點P的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P、Q關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)對稱，得它們的極徑|OP|＝|OQ|，點P的極角θ′滿足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以點P的坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．設(shè)點M的極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則M點關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M點關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)是(ρ，－θ)；M點關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的點與這一點的極坐標(biāo)不是一一對應(yīng)的．2．設(shè)點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關(guān)于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(biāo)(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．解析：如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))).關(guān)于直線l的對稱點為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)π)).關(guān)于極點O的對稱點為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(2,3)π)).四個點A，B，C，D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上．探究三極坐標(biāo)系的實際應(yīng)用[例3]如圖，以溫州所在城市為極點，正東方向為極軸正方向，建立極坐標(biāo)系，今有某臺風(fēng)中心在東偏南60°，距離極點800千米處，假設(shè)當(dāng)距離臺風(fēng)中心700千米時應(yīng)當(dāng)發(fā)布臺風(fēng)藍(lán)色警報，已知福州所在城市的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(4π,3))).(1)求臺風(fēng)中心的極坐標(biāo)；(2)福州是否已發(fā)布臺風(fēng)藍(lán)色警報？[解析](1)由題意知，臺風(fēng)中心距離極點800千米，極角取eq\f(5π,3)，所以臺風(fēng)中心的一個極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(800，\f(5π,3))).(2)福州所在城市的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(200，\f(4π,3))).由(1)得，福州距離臺風(fēng)中心的距離為d＝eq\r(8002＋2002－2×200×800×cos\f(π,3))＝100×eq\r(64＋4－16)＝100eq\r(52)>700，所以該城市還未發(fā)布藍(lán)色警報．用極坐標(biāo)求兩點間的距離(1)用極坐標(biāo)求兩點間的距離，就是根據(jù)余弦定理解以極點O為頂點的三角形．由于極坐標(biāo)中有極角，則求三角形的內(nèi)角就較為方便．(2)兩點A、B的極坐標(biāo)分別為A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，則|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cosθ2－θ1).3．已知極坐標(biāo)系的極點為O，點M，N的極坐標(biāo)分別為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11π,6)))，求△MON的重心G的極坐標(biāo)(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)．解析：如圖所示．|OM|＝|ON|＝2，∠xOM＝eq\f(π,6)，∠xON＝eq\f(11π,6)，∴點M、N關(guān)于極軸對稱，∠MON＝eq\f(π,3)，所以△MON為等邊三角形．設(shè)MN交極軸于H，則|OH|＝|OM|coseq\f(π,6)＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴H(eq\r(3)，0)，由于△MON的重心G在中線OH上，且|OG|＝eq\f(2,3)|OH|＝eq\f(2\r(3),3)，∴Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0))為所求．極坐標(biāo)的實際應(yīng)用[典例](本題滿分12分)某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖所示．用點O，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示校門，器材室，公寓，教學(xué)樓，圖書館，車庫，花園，建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出各點的極坐標(biāo)．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且極點為(0,0))[解析]以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1m)4分由|OB|＝600m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得|AB|＝300m，|OA|＝300eq\r(3)m，同樣求得|OD|＝2|OF|＝300eq\r(2)，8分所以各點的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300eq\r(3)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(600，\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(π,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300\r(2)，\f(3π,4)))，E(300，π)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150\r(2)，\f(3π,4))).12分[規(guī)律探究]在極坐標(biāo)系中，由點的位置求極坐標(biāo)時，隨著極角的范圍的不同，點的極坐標(biāo)的表示也會不同，只有在ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定條件下，點的極坐標(biāo)才是唯一的．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第6頁1．下列各點中與極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,7)))表示同一個點的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(6π,7))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(13π,7)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(6π,7))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(π,7)))解析：因為eq\f(π,7)＝－eq\f(13π,7)＋2π，故選B.答案：B2．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于極軸所在的直線對稱B．關(guān)于極點對稱C．關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱D．重合解析：因為點(ρ，θ)關(guān)于極點的對稱點為(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)，故選B.答案：B3．已知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c