《直線的方程》導學案

《直線的方程》導學案班級：具體班級姓名：你的名字一、學習目標1、能理解直線方程的概念，就像你能清楚知道自己喜歡的偶像的特點一樣明確。2、會根據(jù)給定條件求出直線的點斜式方程、斜截式方程，就像按照食譜做蛋糕一樣，按照步驟就能完成。3、可以靈活運用直線方程解決一些簡單的實際問題，這就好比用鑰匙開鎖，不同的鎖（問題）用對應的鑰匙（方程）。二、重點和難點重點1、掌握直線的點斜式方程、斜截式方程的推導過程，這就像是探索寶藏的地圖制作過程，很重要哦。2、能夠根據(jù)具體條件準確地選擇合適的方程形式來表示直線，就像根據(jù)不同的天氣選擇合適的衣服。難點1、理解直線方程各種形式的局限性，就像每種工具都有它能做和不能做的事情一樣。2、在實際問題中，準確地找出直線方程所需要的條件，這就像在一堆東西里找到你需要的那個小物件，有點難呢。三、創(chuàng)設情境（一）回憶舊知1、大家先回憶一下在初中我們學過的一次函數(shù)y＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0），它的圖象是什么形狀呢？對啦，是一條直線。那這條直線的斜率怎么求呢？（這里可以讓同學們互相討論一下）。斜率k就等于函數(shù)圖象上任意兩點（x?,y?)和（x?,y?)的縱坐標之差與橫坐標之差的比值，也就是k=（y?y?)／（x?x?)。2、我給大家講個真實的事情。有一次我去爬山，山的形狀就像一條不規(guī)則的曲線。但是在某個小路段呢，它近似是一條直線。我就想啊，如果我能知道這條直線的方程，那我就能大概算出我在這個路段上升或者下降的速度了。那怎么得到這個方程呢？這就引出了我們今天要學習的內(nèi)容。（二）觀察與思考1、在平面直角坐標系中，給定一個點P(x?,y?)和斜率k，我們怎么確定一條直線呢？大家可以試著在紙上畫一畫，隨便找個點，標上坐標，再假設一個斜率，然后看看能畫出什么樣的直線。2、我們再來看一個例子。假如你要在地圖上畫從你家到學校的最短路線（假設是直線），你知道你家的坐標（假設為（x?,y?)）和學校的坐標（假設為（x?,y?)），那你怎么找到這條直線的斜率呢？這就用到我們前面說的斜率公式啦。那有了斜率，又有一個點（你家的點或者學校的點），我們能不能找到這條直線的方程呢？四、合作探究（一）直線的點斜式方程1、活動：推導直線的點斜式方程我們設直線l經(jīng)過點P(x?,y?)，且斜率為k。設直線l上除點P以外的任意一點為Q(x,y)。根據(jù)斜率的定義，我們知道k=（yy?)／（xx?)。那把這個式子變形一下，就得到了直線的點斜式方程：yy?=k(xx?)。這里有個小問題要考考大家哦。如果直線的斜率不存在，也就是直線是垂直于x軸的，這個方程還適用嗎？（讓同學們討論一下）。2、歸納：直線的點斜式方程yy?=k(xx?)可以表示過點P(x?,y?)且斜率為k的直線，但要注意斜率不存在時的特殊情況。（二）直線的斜截式方程1、活動：從點斜式方程推導斜截式方程我們知道直線的點斜式方程是yy?=k(xx?)。如果直線l與y軸的交點是（0,b)（這里的b就是直線在y軸上的截距哦），把x?＝0，y?＝b代入點斜式方程，會得到什么呢？對啦，得到y(tǒng)b＝k(x0)，化簡一下就是y＝kx＋b，這就是我們熟悉的斜截式方程啦。那大家思考一下，斜截式方程能表示所有的直線嗎？（給同學們一點時間思考，然后可以互相討論）。2、歸納：斜截式方程y＝kx＋b可以表示斜率為k且在y軸上截距為b的直線，但垂直于x軸的直線不能用斜截式方程表示。五、典型例題（一）例1：求直線方程1、已知直線過點（1,2)，斜率為3，求直線的點斜式方程和斜截式方程。解：（1）根據(jù)點斜式方程的公式y(tǒng)y?=k(xx?)，這里x?＝1，y?＝2，k＝3，所以點斜式方程為y2＝3(x1)。（2）把點斜式方程y2＝3(x1)化簡為斜截式方程。首先展開括號得y2＝3x3。然后移項得到y(tǒng)＝3x3＋2，即y＝3x1。2、學習指導：在求點斜式方程的時候，只要準確地把給定的點的坐標和斜率代入公式就好啦。求斜截式方程的時候，就是對得到的點斜式方程進行化簡，要注意移項的規(guī)則哦。（二）例2：根據(jù)條件求直線方程1、已知直線的斜率為2，在y軸上的截距為4，求直線的方程。解：因為已知直線的斜率k＝2，在y軸上的截距b＝4，根據(jù)斜截式方程y＝kx＋b，所以直線方程為y=－2x＋4。2、學習指導：這種情況很簡單，直接把斜率和截距代入斜截式方程就可以了。但是要注意理解斜率和截距的概念哦。（三）例3：實際問題中的直線方程1、一個物體做直線運動，它的速度是每秒5米，初始位置在坐標原點。以時間t（秒）為自變量，位移s（米）為因變量，求這個物體運動的直線方程。解：我們知道位移和速度、時間的關系是s＝vt（這里v是速度）。因為速度v＝5米/秒，初始位置在原點（也就是當t＝0時，s＝0），這個直線的斜率就是速度5，在st坐標系中，直線過點（0,0)。根據(jù)點斜式方程ss?=v(tt?)，這里s?＝0，t?＝0，v＝5，所以直線方程為s＝5t。2、學習指導：在解決實際問題的時候，要先分析哪個是自變量，哪個是因變量，然后找出對應的斜率和一個點的坐標，再選擇合適的直線方程形式來求解。六、練習1、課本具體頁碼練習15題。2、已知直線過點（－2,3)，斜率為1，求直線的點斜式方程和斜截式方程。3、直線的斜截式方程為y＝2x3，求直線的斜率和在y軸上的截距。4、一個小球從斜坡上滾下，斜坡的坡度為1/2（可以理解為直線的斜率），小球初始位置在斜坡頂端，坐標為（0,5)（這里5米是小球初始的高度），以水平方向為x軸，垂直方向為y軸，求小球滾動軌跡的直線方程（用點斜式和斜截式表示）。七、當堂反饋（一）選擇題1、直線的點斜式方程y3＝2(x＋1)表示（）A.過點（－1,3)且斜率為2的直線B.過點（1,－3)且斜率為2的直線C.過點（－1,－3)且斜率為2的直線D.過點（1,3)且斜率為2的直線2、直線的斜截式方程y=－3x＋2中，直線的斜率和在y軸上的截距分別是（）A.3，2B.3，2C.3，2D.3，2（二）填空題1、已知直線過點（3,－1)，斜率為2，則直線的點斜式方程為______，斜截式方程為______。2、直線y＝kx＋5過點（－2,－1)，則k＝＿_____。（三）解答題1、已知直線l的斜率為4，且與y軸的交點為（0,－3)，求直線l的點斜式方程和斜截式方程。2、一個物體沿直線運動，它的速度隨時間的變化關系為v＝3t＋1（v的單位是米/秒，t的單位是秒），當t＝0時，物體的位移為0，求物體位移s與時間t的直線方程。八、課堂小結1、今天我們學習了直線的點斜式方程yy?=k(xx?)和斜截式方程y＝kx＋b。2、我們知道了點斜式方程是怎么推導出來的，以及它的適用范圍（斜率存在的情況）。3、斜截式方程是點斜式方程的特殊情況，它能很直觀地表示出直線的斜率和在y軸上的截距，但是垂直于x軸的直線不能用斜截式方程表示。4、在解決實際問題的時候，我們要先確定自變量和因變量，找出直線的斜率和一個點的坐標，然后選擇合適的方程形式來求解。九、課后作業(yè)（一）基礎作業(yè)1、課本具體頁碼習題15題。2、已知直線過點（1,－2)，斜率為1/3，求直線的點斜式方程、斜截式方程，并畫出直線的圖象（可以用描點法，找兩個點就可以畫出直線啦）