高等數(shù)學（第二版）課件：函數(shù)展開為冪級數(shù)

高等數(shù)學（第二版）一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)用直接法展開成冪級數(shù)函數(shù)展開為冪級數(shù)無窮級數(shù)三、函數(shù)用間接法展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)在上節(jié)中，我們研究了求冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)的問題。但在一些實際問題中，往往需要研究它的反問題。即將一個已知函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)用一個冪級數(shù)表示。就是說，能否找到這樣一個冪級數(shù)，它在某一區(qū)間內(nèi)收斂，且和函數(shù)恰好是給定的函數(shù)？若能找到這樣的冪級數(shù)，就稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)，稱該冪級數(shù)為函數(shù)的冪級數(shù)展開式。若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有階的導數(shù)，則在該鄰域內(nèi)的階泰勒公式成立，其中為拉格朗日余項：這里是介于與之間的某一點。來近似表示，并且其誤差為。如果隨著的增大而減小，那么我們就可以用增加多項式的次數(shù)來提高用來逼近的精度?？梢杂么味囗検嚼?

設(shè)，求在點處的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多項式。解：

因此在處的2次泰勒多項式為再有

，所以在處的1次泰勒多項式為相應地在處的4次、6次、8次泰勒多項式為由上述的討論可以看到每一個都比前一個在附近能更好地逼近，且每個更高次泰勒多項式都包含了之前的所有的低次泰勒多項式，為此引進泰勒級數(shù)。如果在點的某鄰域內(nèi)具有任意階導數(shù)，并記，構(gòu)造冪級數(shù)稱此級數(shù)為函數(shù)在點的泰勒級數(shù)。若上式在的某個鄰域內(nèi)的和函數(shù)恰好為，則稱在處可展成泰勒級數(shù)（也稱為關(guān)于的冪級數(shù)）。定理1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有任意階導數(shù)，且在點的泰勒級數(shù)公式為則在點的某個鄰域內(nèi)可以展開泰勒級數(shù)的充分必要條件是對于任意的，有（2）由泰勒級數(shù)可以知道在點的某一鄰域內(nèi)有任意階導數(shù)的函數(shù)都可以從形式上構(gòu)造出其泰勒級數(shù)，當且僅當時，其泰勒級數(shù)是收斂的，且其和函數(shù)為。注意：（1）在點的冪級數(shù)展開式是惟一的，如果設(shè)又可以展成，則必有（3）由定理還可以看出，當在可以展成冪級數(shù)時，其有限項在點的鄰域較好地接近于，但是在其他點近似程度可能不好。（4）當時，的泰勒級數(shù)稱為的麥克勞林（Maclaurin）級數(shù)（也稱的冪級數(shù)）。這是我們常用的一種泰勒級數(shù)形式。所謂直接法展開是指先求出,在判定余項在什么區(qū)間上趨于零，從而得到的泰勒展開的一種方法。對函數(shù)作泰勒展開除了要寫出泰勒級數(shù)的表達式外，而且要寫出其收斂區(qū)間。具體步驟如下：第一步求出的各階導數(shù)第二步

計算二、函數(shù)用直接法展開成冪級數(shù)第三步寫出在處的泰勒級數(shù)第四步求出上述泰勒級數(shù)的收斂區(qū)間。第五步考察當在區(qū)間內(nèi)時余項的極限（在0與之間）是否為零。如果為零，則有否則即使收斂，其和函數(shù)也不一定為。解：由于因此

故的麥克勞林級數(shù)為例2將展開為麥克勞林級數(shù)其收斂區(qū)間為,任取，則對于任何介于0與之間的，有對于給定的，可知有界，而可以看作是收斂級數(shù)的一般項，可知有

，于是得用直接法展開，先要求高階導數(shù)，還要證明，這都比較復雜和困難，于是出現(xiàn)了間接法。由于函數(shù)的冪級數(shù)展開式是惟一的，有時可以利用一些已知的函數(shù)展開式及收斂區(qū)間，經(jīng)過適當?shù)拇鷵Q及運算，如四則運算、逐項求導、逐項積分等，求出所給函數(shù)的冪級數(shù)展開式。這種方法稱為間接展開法。間接展開法需要掌握一些常用的函數(shù)展開式及收斂半徑。三、函數(shù)用間接法展開成冪級數(shù)（1）（2（3）（4）（5）以上展開式中的前二個已講過，其中可由直接法得到，可用間接展開法求得。常用的展開式：例3求的麥克勞林展開式。解：對的麥克勞林展開式逐項求導，我們有例4設(shè)，解：（1）（1）將在處展開為冪級數(shù)；（2）將展開為的冪級數(shù)。所以。