2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1直線與直線的方程2.1.4兩條直線的交點(diǎn)課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE課時(shí)分層作業(yè)十九兩條直線的交點(diǎn)一、選擇題(每小題5分，共30分)1.若直線(a+1)x-y+1-2a=0與(a2-1)x+(a-1)y-15=0沒(méi)有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值等于 ()A.1或-1 B.1 C.-1 D.不存在【解析】選C.由已知，兩直線沒(méi)有交點(diǎn)，則它們平行，明顯兩直線斜率存在，所以a+1=-QUOTE，解得a=±1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)兩直線不平行，舍去，所以a=-1.2.點(diǎn)M(1，2)與直線l：2x-4y+3=0的位置關(guān)系是 ()A.M∈l B.M?lC.重合 D.不確定【解析】選B.將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程，即1×2-4×2+3≠0，所以點(diǎn)M不在直線l上.3.在下列直線中，與直線x+3y-4=0相交的直線為 ()A.x+3y=0 B.y=-QUOTEx-12C.QUOTE+QUOTE=1 D.y=-QUOTEx+4【解析】選C.QUOTE+QUOTE=1可化為3x+2y-6=0.4.直線l1：x+y+1=0與直線l2：x-y-1=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.多數(shù)個(gè)【解析】選B.由已知，兩直線不平行，也不重合，所以相交，有一個(gè)交點(diǎn).5.若三條直線2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一點(diǎn)，則k的值為()A.-2 B.-QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選B.由QUOTE得QUOTE代入x+ky=0得k=-QUOTE.6.設(shè)入射光線沿直線y=2x+1射向直線y=x，則被y=x反射后，反射光線所在的直線方程是 ()A.x+2y+3=0 B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0 D.x-2y-1=0【解析】選D.y=2x+1與y=x交點(diǎn)為(-1，-1)，又取入射光線上一點(diǎn)(0，1)，該點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1，0)，反射光線過(guò)點(diǎn)(-1，-1)和(1，0)，直線方程為y=QUOTE(x-1)，即x-2y-1=0.二、填空題(每小題5分，共10分)7.(2024·南川高二檢測(cè))直線x+y-2=0與x-y=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.

【解析】聯(lián)立x+y-2=0與x-y=0，解得x=1，y=1，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).答案：(1，1)8.直線ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一點(diǎn)，則a的值為.

【解析】首先聯(lián)立QUOTE得交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-2)，代入方程ax+2y+8=0得a=-1.答案：-1三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2024·北京高二檢測(cè))已知兩條直線l1：3x+4y-2=0與l2：2x+y+2=0的交點(diǎn)P，求：(1)過(guò)點(diǎn)P且過(guò)原點(diǎn)的直線方程.(2)過(guò)點(diǎn)P且垂直于直線l3：x+2y-1=0的直線l的方程.【解析】(1)由QUOTE解得QUOTE所以P(-2，2)，過(guò)點(diǎn)P且過(guò)原點(diǎn)的直線斜率為-1，方程為y=-x，即x+y=0.(2)直線l3：x+2y-1=0的斜率為-QUOTE，所以垂直于直線l3：x+2y-1=0的直線l的斜率k=2，所以直線l的方程為y-2=2(x+2)，即2x-y+6=0.10.求經(jīng)過(guò)直線l1：3x+2y-1=0和l2：5x+2y+1=0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x-5y+6=0的直線l的方程.【解析】解方程組QUOTE得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，2)，再由l3的斜率為QUOTE求出l的斜率為-QUOTE，于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y-2=-QUOTE(x+1)，即5x+3y-1=0.【一題多解1】由于l⊥l3，故l是直線系5x+3y+C=0中的一條，而l過(guò)l1，l2的交點(diǎn)(-1，2)，故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程為5x+3y-1=0.【一題多解2】由于l過(guò)l1，l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一條，將其整理，得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率-QUOTE=-QUOTE，解得λ=QUOTE，代入直線系方程即得l的方程為5x+3y-1=0.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.(2024·南昌高二檢測(cè))若{(x，y)|ax+2y-1=0}∩{(x，y)|x+(a-1)y+1=0}=?，則a等于 ()A.QUOTE B.2 C.-1 D.2或-1【解題指南】?jī)杉辖患癁榭占?，轉(zhuǎn)化為兩直線沒(méi)有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩直線平行.【解析】選B.由已知，兩直線ax+2y-1=0和x+(a-1)y+1=0平行，所以-QUOTE=-QUOTE，所以a=-1或2.若a=-1，直線重合，不符合題意.所以a=2.2.兩條直線l1：2x+y-1=0和l2：x-2y+4=0的交點(diǎn)為 ()A.QUOTE，QUOTE B.-QUOTE，QUOTEC.QUOTE，-QUOTE D.-QUOTE，-QUOTE【解析】選B.解方程組QUOTE得QUOTE所以?xún)芍本€的交點(diǎn)為-QUOTE，QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l1：2x+y-10=0，l2⊥l1，且l2過(guò)(-10，0)，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A.(6，2) B.(2，-6)C.(-6，2) D.(2，6)【解析】選D.因?yàn)镼UOTE=-2，l2⊥l1，所以QUOTE=QUOTE.又l2過(guò)(-10，0)，所以l2：x-2y+10=0.由QUOTE得QUOTE3.(2024·佛山高二檢測(cè))直線2x-3y+2=0關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線方程為()A.2x+3y+2=0 B.2x+3y-2=0C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0【解析】選A.直線2x-3y+2=0與x軸即y=0交點(diǎn)為(-1，0)，直線2x-3y+2=0斜率為QUOTE，所以所求直線斜率為-QUOTE，又過(guò)點(diǎn)(-1，0)，所以所求直線方程為y=-QUOTE(x+1)，即2x+3y+2=0.4.若直線y=-2x+3k+14與直線x-4y=-3k-2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.-6<k<-2 B.-5<k<-3C.k<-6 D.k>-2【解析】選A.解方程組QUOTE得QUOTE由直線y=-2x+3k+14與直線x-4y=-3k-2的交點(diǎn)位于第四象限，得k+6>0且k+2<0，解得-6<k<-2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若直線l與兩直線y=1和x-y-7=0分別交于M、N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)是P(1，-1)，則直線l的斜率等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)l與y=1交于點(diǎn)M(m，1)，與x-y-7=0交于點(diǎn)N(n+7，n).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得QUOTE即M(-2，1)，又P(1，-1)所以kPM=kl=-QUOTE.5.若直線l：y=kx-QUOTE與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 ()A.QUOTE，QUOTE B.QUOTE，QUOTE C.QUOTE，QUOTE D.QUOTE，QUOTE【解題指南】可先分析直線l：y=kx-QUOTE過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)，再利用直線l：y=kx-QUOTE與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限這一條件求出直線l的斜率的取值范圍.【解析】選B.因?yàn)橹本€l：y=kx-QUOTE過(guò)定點(diǎn)(0，-QUOTE)，直線2x+3y-6=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(3，0)，B(0，2)，若l與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則k>QUOTE=QUOTE，因此，直線的傾斜角的取值范圍為QUOTE<α<QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·錦州模擬)當(dāng)0<k<QUOTE時(shí)，直線l1：kx-y=k-1與直線l2：ky-x=2k的交點(diǎn)在第象限.

【解析】l1與l2的直線方程聯(lián)立得QUOTE解方程得QUOTE又因?yàn)?<k<QUOTE，所以x=QUOTE<0，y=QUOTE>0，故l1與l2的交點(diǎn)在其次象限.答案：二二、填空題(每小題5分，共20分)6.(2024·上海高二檢測(cè))若關(guān)于x，y的方程組QUOTE無(wú)解，則a=_________.

【解析】?jī)蓚€(gè)方程相減得(a-1)x=-1，由于方程組無(wú)解，所以a-1=0，即a=1.答案：17.直線kx-y+1=3k，當(dāng)k改變時(shí)，全部直線都通過(guò)定點(diǎn).

【解析】由題意可知k(x-3)-y+1=0由QUOTE得QUOTE故全部直線都通過(guò)定點(diǎn)(3，1).答案：(3，1)【補(bǔ)償訓(xùn)練】不論m取什么實(shí)數(shù)，直線mx+y-m=0都過(guò)定點(diǎn).

【解析】由題意可知m(x-1)+y=0.由QUOTE可知QUOTE故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線mx+y-m=0都過(guò)定點(diǎn)(1，0).答案：(1，0)8.若直線y=kx+3與直線y=QUOTEx-5的交點(diǎn)在直線y=x上，則k的值為_(kāi)________.

【解題指南】首先解方程，再用k表示出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后依據(jù)此點(diǎn)在直線y=x上列方程組求出k的值.【解析】由QUOTE得x=y=QUOTE.將點(diǎn)QUOTE代入y=kx+3，得QUOTE=QUOTE+3，解得k=QUOTE.答案：QUOTE9.(2024·常熟高二檢測(cè))直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的直線方程為_(kāi)_________________.

【解析】由QUOTE得交點(diǎn)A(1，1).方法一：x-2y+1=0與x軸交點(diǎn)B(-1，0)，則B關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(3，0)，由兩點(diǎn)A，B′得：QUOTE=QUOTE，即x+2y-3=0.方法二：由x-2y+1=0的斜率QUOTE，得對(duì)稱(chēng)直線的斜率為-QUOTE.由點(diǎn)斜式得y-1=-QUOTE(x-1)，即x+2y-3=0.答案：x+2y-3=0三、解答題(每小題10分，共30分)10.直線l被兩條直線l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的線段的中點(diǎn)為P(-1，2)，求直線l的方程.【解析】設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點(diǎn)為B(-2-x0，4-y0)，并且滿意QUOTE即QUOTE解得QUOTE因此直線l的方程為QUOTE=QUOTE，即3x+y+1=0.【一題多解】設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.由QUOTE得x=QUOTE.由QUOTE得x=QUOTE.則QUOTE+QUOTE=-2，解得k=-3.因此直線l的方程為y-2=-3(x+1)，即3x+y+1=0.11.(2024·重慶高二檢測(cè))已知兩直線l1：x+y-2=0和l2：2x-y+5=0的交點(diǎn)為P.(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q(3，2)的直線的方程.(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與l2垂直的直線的方程.【解析】(1)由QUOTE得P(-1，3)，kPQ=QUOTE=-QUOTE，y-2=-QUOTE(x-3)，x+4y-11=0，(2)由垂直條件知斜率k=-QUOTE，y-3=-QUOTE(x+1)，直線方程為x+2y-5=0.12.已知△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別是D(-2，-3)，E(3，1)，F(xiàn)(-1，2).先畫(huà)出這個(gè)三角形，再求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】如圖，過(guò)D，E，F(xiàn)分別作EF，F(xiàn)D，DE的平行線，作出這些平行線的交點(diǎn)，就是△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C.由已知得，直線DE的斜率kDE=QUOTE=QUOTE，所以kAB=QUOTE.因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F，所以直線AB的方程為y-2=QUOTE(x+1)，即4x-5y+14=0.①同理由于直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(3，1)，且平行于DF，可得直線AC的方程5x-y-14=0.②聯(lián)立①②，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，6).同樣，可以求得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是(-6，-2)，(2，-4).因此，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4，6)，B(-6，-2)，C(2，-4).【拓展訓(xùn)練】求經(jīng)過(guò)兩條直線l1：2x+y-8=0和l2：x-2y+1=0的交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為QUOTE的直線l的方程.【解題指南】可先求出直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出直線l的截距式方程或點(diǎn)斜式方程求解；也可以不求交點(diǎn)，設(shè)出過(guò)直線l1和l2的直線系方程求解.【解析】由QUOTE得交點(diǎn)M(3，2)，由題意可知直線在x軸、y軸上的截距存在且全不為零，故可設(shè)直線l的方程為QUOTE+QUOTE=1(ab≠0).由題意，得QUOTE所以QUOTE(無(wú)解，舍去)或QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以直線l的方程為QUOTE+QUOTE=1或QUOTE+QUOTE=1，即x-y-1=