2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量復(fù)數(shù)5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案新人教A版

第五章平面對量、復(fù)數(shù)5.1平面對量的概念及線性運(yùn)算必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.平面對量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有又有的量叫做向量;向量AB的大小稱為向量AB的(或稱)

記作|AB|零向量長度為的向量叫做零向量;其方向是隨意的

記作0單位向量長度等于的向量,叫做單位向量

非零向量a的單位向量為±a平行向量方向或的非零向量叫做平行向量

零向量與隨意向量或共線

共線向量的非零向量又叫做共線向量

相等向量長度且方向的向量叫做相等向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度且方向的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量2.平面對量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法(1)交換律:a+b=

(2)結(jié)合律:(a+b)+c=

減法向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法a-b=a+(-b)續(xù)表向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|=;

(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0

λ(μa)=;

(λ+μ)a=;

λ(a+b)=

(λ,μ為實(shí)數(shù))3.向量共線定理(1)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使.

注:限定a≠0的目的是保證明數(shù)λ的存在性和唯一性.(2)變形形式:已知直線l上三點(diǎn)A,B,P,O為直線l外任一點(diǎn),有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得OP=(1-λ)OA+λOB.1.P為線段AB的中點(diǎn)?OP=12.若G為△ABC的重心,則有(1)GA+GB+GC=03.首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最終一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量,一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.4.對于起點(diǎn)相同、終點(diǎn)共線的三個(gè)向量OP,OP1,OP2(O與P1,P2不共線),總有OP=uOP1+vOP25.對于隨意兩個(gè)向量a,b,都有:(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段表示向量.()(2)AB+BC+CD=(3)若兩個(gè)向量共線,則其方向必定相同或相反.()(4)若向量AB與向量CD是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.()(5)若a∥b,b∥c,則a∥c.()2.(2024河南開封模擬)AB+BC-ADA.CDB.CBC.ADD.DC3.(多選)(2024山東鄆城第一中學(xué)高三模擬)若點(diǎn)G是△ABC的重心,BC邊的中點(diǎn)為D,則下列結(jié)論正確的是()A.G是△ABC的三條中線的交點(diǎn)B.GA+GBC.AG=2GDD.AG4.(2024山東菏澤調(diào)研)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+λb與-(b-2a)共線,則λ=.

5.(2024全國1,理14)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)平面對量的有關(guān)概念【例1】給出下列四個(gè)說法:①若|a|=|b|,則a=b;②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則“AB=DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”③若a=b,b=c,則a=c;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b.其中正確說法的序號是()A.②③ B.①② C.③④ D.②④解題心得平面對量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)平面對量定義的關(guān)鍵是方向和大小.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反,長度沒有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是1個(gè)單位長度.(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0,規(guī)定零向量與隨意向量共線.對點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,肯定能使a|a|+bA.a=2b B.a∥bC.a=-13b D.a⊥考點(diǎn)平面對量的線性運(yùn)算【例2】(1)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,則ADA.23a+13b B.13C.13a-23b D.23(2)如圖,在平行四邊形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,E為線段AO的中點(diǎn).若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),則λ+μ等于()A.1 B.34 C.23 D解題心得平面對量的線性運(yùn)算的求解策略(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,選用從同一頂點(diǎn)動(dòng)身的向量或首尾相接的向量,運(yùn)用向量加法、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外,有時(shí)還須要利用三角形中位線、相像三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有干脆關(guān)系的向量來求解.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長線上,且|BO|=3|CO|,當(dāng)AO=xAB+yAC時(shí),x-y=()A.-2 B.-3C.2 D.3(2)如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),F為CE的中點(diǎn),則AF=()A.34AB+1C.12AB+考點(diǎn)向量共線定理的應(yīng)用【例3】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.變式發(fā)散1若將本例(1)中“BC=2a+8b”改為“BC=a+mb”,則當(dāng)m為何值時(shí),A,B,D三點(diǎn)共線?變式發(fā)散2若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?解題心得[提示]證明三點(diǎn)共線時(shí),需說明共線的兩向量有公共點(diǎn).運(yùn)用向量共線定理的大前提是至少有一個(gè)向量是非零向量.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)在四邊形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,則四邊形ABCD的形態(tài)是()A.矩形 B.平行四邊形C.梯形 D.菱形(2)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,DA.14 B.13 C.12第五章平面對量、復(fù)數(shù)5.1平面對量的概念及線性運(yùn)算必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.大小方向長度模01個(gè)單位長度相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.b+aa+(b+c)|λ||a|相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb3.(1)b=λa考點(diǎn)自診1.(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2.DAB+BC-AD3.ABC對于A,△ABC三條中線的交點(diǎn)就是重心,故A正確;對于B,依據(jù)平行四邊形法則可知GB+GC=2GD,因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,所以GA=-2GD,所以GA+GB+GC對于C,因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,所以AG=2GD,所以AG=2GD,故C正確,D錯(cuò)誤.故選ABC.4.-12依題意知向量a+λb與2a-b共線,設(shè)a+λb=k(2a-b),則有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以1-2k=0,k+5.3∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-12∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1A①不正確.兩個(gè)向量的長度相等,但它們的方向不肯定相同.②正確.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,又A,B,C,反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,③正確.∵a=b,∴a,b的長度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的長度相等且方向相同,∴a,c的長度相等且方向相同,故a=c.④不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件.綜上所述,正確說法的序號是②③.對點(diǎn)訓(xùn)練1C由a,b都是非零向量及a|a|+b|b|=0,得a|a|=-b|b|≠0,即a=-b|b|·|a|≠0,則a與b方向相反,因此當(dāng)向量a與向量b方向相反時(shí),能使a|a|+b|b|=0成立.比照各個(gè)選項(xiàng)可知,選項(xiàng)A中a與b的方向相同;例2(1)A(2)B(1)∵AB=a,AC=b,BD=13BC,∴AD-AB=13((2)∵E為線段AO的中點(diǎn),∴BE=12BA+12BO=12BA+12×1對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)A(2)D(1)如圖.∵|BO|=3|CO|,∴BO=3CO.∴BO=3∴AO=AB+BO=AB+32(AC-AB)=-12AB∴x-y=-2,故選A.(2)依據(jù)題意得AF=12(所以AF=12AB+AD+例3(1)證明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)∴AB,BD共線,又它們有公共點(diǎn)∴A,B,D三點(diǎn)共線.(2)解∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,∴k-λ=0,λk-1=0.∴k2-1變式發(fā)散1解BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(若A,B,D三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使BD=λAB,即4a+(m-3)b=λ(a+b),∴4=λ,m-故當(dāng)m=7時(shí),A,B,D三點(diǎn)共線.變式發(fā)散2解因?yàn)?/p>