專題01三角函數(shù)與解三角形

專題01三角函數(shù)與解三角形三角函數(shù)與解三角形一般作為新高考全國卷第17題或第18題，主要考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形及三角函數(shù)與解三角形的綜合問題等，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際問題的結(jié)合.一、三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)例1．已知函數(shù)．(1)若且，求的值；(2)記函數(shù)在上的最大值為b，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最小值．【解析】(1)，∵，∴，∵，∴，∴，∴；(2)當(dāng)時，，，∴，由，，得，，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴實數(shù)a的最小值是.此類問題通常先通過三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)研究其相關(guān)性質(zhì)．（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如或（其中ω>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．（2）函數(shù)圖象的平移變換解題策略：①對函數(shù)，或的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤±|φ|，而不是ωx變?yōu)?②注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.1.已知同時滿足下列四個條件中的三個：①；②的圖象可以由的圖像平移得到；③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；④最大值為2.（1）請指出這三個條件，并說明理由；（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求m的取值范圍.【解析】（1）三個條件是：①③④，理由如下：若滿足②：因為，所以；若滿足③：因為，所以，所以，若滿足④：，由此可知：若滿足②，則③④均不滿足，所以滿足的三個條件是：①③④；（2）由③④知：，由①知：，所以，所以，又因為，或，所以或，所以，所以，不妨令，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以若要的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，只需,所以的取值范圍是.1.【2021·山東·鄒平市第一中學(xué)模擬預(yù)測】已知函數(shù)的最小正周期是π.(1)求f（x）的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范圍.【解析】(1)因為最小正周期為π，故，，令，解得：，所以對稱中心為，令，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：.(2)將f（x）的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到，當(dāng)時，，所以，若恒成立，則m﹣2<g（x）<m+2，所以，解得：0<m<2.1．【2021·浙江·高考真題】設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.二、正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用例2.在銳角中，，，．(1)求的面積；(2)延長邊到，使得，求．【解析】(1)設(shè)．由余弦定理得，整理得，解得或．當(dāng)時，，此時是鈍角三角形，不符合條件．當(dāng)時，符合條件，．(2)根據(jù)題意，由余弦定理得，所以．由正弦定理知，即，解得．解三角形問題，是高考考查的重點，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化，注意齊次式結(jié)構(gòu)，一般多根據(jù)正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角，，，或是；第三步：出結(jié)果，寫步驟．2.在中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c．已知．(1)求B；(2)若的面積，求的值．【解析】(1)因為，由二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡可得：解得或（舍），因為，所以.(2)由，由，，代入解得：.由余弦定理，所以由正弦定理，可得：.2.【2022·廣東肇慶·一?！吭谥?，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C；(2)若，且的面積為，求的周長．【解析】(1)解：由正弦定理得，因為，所以，即，因為，所以．(2)解：由（1）得，，所以，所以，又，解得，，由余弦定理可得，所以，所以的周長為．2.【2021·北京·高考真題】在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；【解析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.三、三角形中的取值范圍或最值例3.設(shè)a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對邊，．(1)求角A的大??；(2)從下面兩個問題中任選一個作答，兩個都作答則按第一個記分．①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點D，且，求面積的最小值．②設(shè)點D為BC邊上的中點，且，求面積的最大值．【解析】(1)∵且,∴，即，∴，又，∴；(2)選①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，∴，即的面積的最小值為；②因為AD是BC邊上的中線，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以，即的面積的最大值為.三角形中的最值與取值范圍問題，常見涉及到求邊長、角度、面積、周長、比值等相關(guān)內(nèi)容的最值或取值范圍問題．解題方法常見兩大類：=1\*GB3①建立不等式關(guān)系：建立不等式關(guān)系常見方法有基本不等式、三角形三邊關(guān)系、角度等；=2\*GB3②建立函數(shù)關(guān)系常見的幾種方式：=1\*romani．利用內(nèi)角和這個關(guān)系，通過消元，結(jié)合三角恒等變換把目標(biāo)化為這樣的單角函數(shù)，進而化為求三角函數(shù)的值域問題；=2\*romanii．恰當(dāng)對題中的邊、角設(shè)元，利用正、余弦定理等相關(guān)定理建立函數(shù)關(guān)系式，這種方法一定要結(jié)合實際意義注意引入的“元”的取值范圍（即定義域）；=3\*romaniii．利用題中的等式關(guān)系，把某部分看出整體進行換元，消元建立單變量函數(shù)關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題．3.在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，為銳角三角形，求的周長的范圍.【解析】（1）中，由，得，所以，，，而，所以，即（2）在中，，，由正弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，，，所以，所以且，所以，，，，所以，所以的周長的范圍為.3.【2022·山東菏澤·高三期末】在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，____________，求的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】若選①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知條件得，由，得，由，得，∵，∴，，由正弦定理，有，∴，，∴，(其中，)∵，∴存在A，使得，此時取得最大值為.若選②：，∵A＋B＋C＝π，∴，，化簡得，由，得，∵，∴.下同①；若選③：，，由正弦定理得，∴由余弦定理得，∵，∴.下同①.3.【2020·浙江·高考真題】在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【解析】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即．結(jié)合余弦定，∴，即,即,即,即,∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內(nèi)角，故．[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結(jié)合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因為，并利用余弦定理整理得，即．結(jié)合，得．由臨界狀態(tài)（不妨取）可知．而為銳角三角形，所以．由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是．[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點評】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.四、幾何圖形問題例4.如圖，在四邊形ABCD中，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，∠ADB=90°，，BD=2，AC與BD交于點E．(1)求sin∠ACD；(2)求△ABE的面積．【解析】(1)因為△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，BD=2，所以∠CBD=∠CDB=45°，在△ABD中，∠ADB=90°，，所以因此，則AD=1．在△ACD中，∠ADC=135°由余弦定理得因此法一：由正弦定理得，即所以法二：作AH⊥BC，所以，，所以(2)法一：在△ACD中，由正弦定理可得，則，所以，所以所以△ABE的面積為法二：由（1）知，設(shè)DE=x，在△CED中，由正弦定理得：，所以，所以，在Rt△ADE中，有，即，解得x=2或，由于x=DE<BD=2，故．所以則幾何圖形問題的處理主要有以下方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.4.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且________．(1)求角；(2)若是內(nèi)一點，，求．【解析】(1)解：若選條件①：，整理得：，則，即，又，，所以，所以；若選條件②：，整理得：，所以，化簡得：，又，，所以，故，由于，所以．(2)解：由于，，所以，在中，，所以，在中，，所以，，整理得：，故．4.【2022·全國·高三專題練習(xí)】（1）如圖，在圓的內(nèi)接四邊形中，，，，求的值；（2）在圓的內(nèi)接四邊形中，，，的面積為，求的值.【解析】連接，則中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，，所以，所以，因此；（2）連接,因為，，所以，，由題意，，由余弦定理得，所以，因為，所以，因此，故.4.【2021·全國·高考真題】記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當(dāng)時，（舍去）．當(dāng)時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．五、三角與向量的綜合問題例5.已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，向量夾角的余弦角為(1)求角B的大??；(2)求的取值范圍.【解析】(1)即解得（舍）(2)由（1）可知，即三角問題包括三角公式的運用與解三角形模塊，當(dāng)結(jié)合向量問題時，需要著眼摸透向量背景的知識。5.現(xiàn)有下列三個條件：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象可以由的圖象平移得到；③函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之問的距離.從中任選一個條件補充在下面的問題中，并作出正確解答.已知向量，，，函數(shù).且滿足_________.（1）求的表達式，并求方程在閉區(qū)間上的解；（2）在中，角，，的對邊分別為，，.已知，，求的值.【解析】（1）因為，，所以.若滿足條件①：，所以，故.因為，無法由的圖象經(jīng)過平移得到的圖象，因此不能選②.若滿足條件③：因為，所以，故，即.綜上，無論選條件①或③，所求.因為，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在閉區(qū)間上的解為或或.（2）由（1）知，所以，，即，.因為，所以，，.又，由正弦定理，得，整理