第四講-導(dǎo)數(shù)的極值-2022-2023高二下學(xué)期人教A版2

第四講 導(dǎo)數(shù)極值問題層級圖目標(biāo)層級圖

課前檢測（15mins）1.求函數(shù)極值;【答案】極小值【解析】令,即解得。當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得極小值,無極大值。2.已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).求函數(shù)的極值.【答案】當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值.當(dāng),在處取得極小值,無極大值.【解析】,①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值.②當(dāng)時(shí),令,得,.,;,.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值當(dāng),在處取得極小值,無極大值

3.已知函數(shù),，若在處取得極值,求的值;【答案】【解析】定義域?yàn)?因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以有,解得經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)在處取得極小值，符合題意。課中講解極值的幾何意義LV.3例1:函數(shù)的極值點(diǎn)_________【答案】【解析】（兩個(gè)）（一個(gè)）例2:已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.那么函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】（兩個(gè)）（一個(gè)）又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以也是一個(gè)極值點(diǎn)。

過關(guān)檢測（10mins）1.在上定義運(yùn)算（、為實(shí)常數(shù)）.記令.如果在處有極值試確定、的值?！敬鸢浮俊窘馕觥恳李}意得或若，遞減，無極值。若，直接討論知，在處極大值，所以求不含參數(shù)的函數(shù)的極值LV.4適用于不含參數(shù)的函數(shù).的極值.【答案】極大值為，極小值為【解析】定義域令（0，1）1（1，2）2+00+極大值極小值極大值，極小值例2:求函數(shù)的極值.【答案】極小值為，無極大值【解析】，或在遞減，在遞增。所以極小值為無極大值例3：已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值.【答案】極大值【解析】令得或（舍）隨的變化情況如下表：0極大值所以當(dāng)時(shí)，取得極大值例4：已知函數(shù).求證：1是函數(shù)的極值點(diǎn).【答案】1是函數(shù)的極值點(diǎn).【解析】的定義域?yàn)橛傻卯?dāng)時(shí)，，，,故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，故在上單調(diào)遞減；所以1是函數(shù)的極值點(diǎn).過關(guān)檢測（15mins）1.求函數(shù)的極值【答案】有極大值，無極小值.【解析】.令,得因?yàn)?所以與在區(qū)間上的變化情況如下:所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.有極大值，無極小值.2.求函數(shù)的極值.【答案】極小值,無極大值.【解析】函數(shù)定義域?yàn)榍髮?dǎo)，得令,解得.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示:極小值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為所以函數(shù)有極小值,無極大值.3.已知函數(shù).設(shè),求函數(shù)的極值.【答案】的極小值為,無極大值.【解析】,函數(shù)定義域?yàn)?,極小值故的極小值為,無極大值.

三．會(huì)討論含參函數(shù)的極值LV.4例1:設(shè)函數(shù).求的極值.【答案】在處取得極小值.【解析】由所以的定義域?yàn)榱罱獾门c在區(qū)間上的情況如下:所以,的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.在處取得極小值.過關(guān)檢測（15mins）已知函數(shù).求的極值；【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，令恒成立，所以函數(shù)無極值當(dāng)時(shí)，令=0，解得+02.已知函數(shù)（）求證:1是的唯一極小值點(diǎn);【解析】（）設(shè),則故在是單調(diào)遞增函數(shù),又,故方程只有唯一實(shí)根當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下:1極小值故在時(shí)取得極小值,即1是的唯一極小值點(diǎn).四．會(huì)已知極值求參數(shù)LV.4例1:已知函數(shù),.若在處取得極小值,求的值;【答案】【解析】由在處取得極小值,得所以(經(jīng)檢驗(yàn)適合題意)例2：已知函數(shù),其中實(shí)數(shù).判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn),并說明理由.【答案】是函數(shù)的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn).【解析】解：（I）由可得函數(shù)的定義域?yàn)榱羁傻靡驗(yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，所以，隨的變化如下：極小值②當(dāng)時(shí)，，，隨的變化如下：極大值極小值綜上，是函數(shù)的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn).例3：設(shè)函數(shù).若在處取得極小值,求的取值范圍.【答案】【解析】（i）當(dāng)時(shí),令,0極大值所以,當(dāng)時(shí),取極大值,不符合題意.（ii）當(dāng)時(shí),令極小值極大值所以,當(dāng)時(shí),取極大值,不符合題意.（iii）當(dāng)時(shí)（1）當(dāng)時(shí),即時(shí)極大值極小值所以,當(dāng)時(shí),取極小值,符合題意.（2）當(dāng)時(shí),即時(shí),,單調(diào)遞增,所以無極值,不符合題意.（3）當(dāng)時(shí),即時(shí).極大值極小值所以,當(dāng)時(shí),取極大值,不符合題意.綜上所述:例4：已知函數(shù).設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn),求的取值范圍. 【解析】（1）當(dāng)時(shí),由,函數(shù)在上為減函數(shù),所以不存在極值點(diǎn);（2）當(dāng)時(shí),此時(shí).令,解得或,但,所以當(dāng),,時(shí),函數(shù)為減函數(shù),在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn),則,解得或,所以.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn).例5已知函數(shù).設(shè)函數(shù),求證:當(dāng)時(shí),在上存在極小值.【解析】由及題設(shè)得,由可得,由(Ⅱ)可知函數(shù)在上遞增,所以,取,顯然,,所以存在滿足,即存在滿足,所以在區(qū)間上的情況如下:0極小值所以當(dāng)時(shí),在上存在極小值.例6：已知函數(shù),其中，記的導(dǎo)函數(shù)為．當(dāng)時(shí),證明:存在極小值點(diǎn),且．【答案】存在極小值點(diǎn),且．【解析】．則所以．因?yàn)?所以與同號．設(shè),則．所以對任意,有,故在單調(diào)遞增．因?yàn)?所以,,故存在,使得．過關(guān)檢測（15mins）1.已知函數(shù)。求的極值;【解析】.令,得.=1\*GB3①當(dāng)時(shí),與符號相同,當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:極小=2\*GB3②當(dāng)時(shí),與符號相反,當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:極小綜上,在處取得極小值2.已知函數(shù).若函數(shù)在上有極值,求的取值范圍.【解析】（?。┊?dāng)時(shí),對于任意,都有所以函數(shù)在上為增函數(shù),沒有極值,不合題意（ⅱ）當(dāng)時(shí),令,則.所以在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上有極值,等價(jià)于所以所以.所以的取值范圍是課后練習(xí)補(bǔ)救練習(xí)（6mins）1.已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù),若在處取得極值,則.【答案】【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的意義由又則2.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：(∞,)(,)(,+∞)+00+↗極大值↘極小值↗因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以所以.鞏固練習(xí)（30mins）1.已知函數(shù)(),.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng)時(shí),若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn),【解析】（Ⅰ）由已知得,.（?。┊?dāng)時(shí),恒成立,則函數(shù)在為增函數(shù);（ⅱ）當(dāng)時(shí),由,得;由,得;所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.……4分（Ⅱ）因?yàn)?則.由（Ⅰ）可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?,所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).在上,單調(diào)遞減;在上,單調(diào)遞增.所以為極值點(diǎn),此時(shí).又,,所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).在上,單調(diào)遞增;在上,單調(diào)遞減.所以為極值點(diǎn),此時(shí).綜上所述,或.2.求函數(shù)的極值．【答案】若,沒有極值點(diǎn).若,函數(shù)有極小值為【解析】,（1）若,則在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,沒有極值點(diǎn).（2）若,令,即,解得,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間是遞增函數(shù),所以在區(qū)間內(nèi),單調(diào)遞減;在區(qū)間內(nèi),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值為3.已知函數(shù)，設(shè),若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】,因?yàn)樗粤?只需設(shè),若在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),則在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)要使在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),的唯一根必須在區(qū)間所以令,得,且解得:4.已知函數(shù),.若函數(shù)在區(qū)間上無極值,求的取值范圍.[來【解析】因?yàn)?所以.若,則.此時(shí)在上單調(diào)遞減,滿足條件.若,令得.(ⅰ)若,即,則在上恒成立.此時(shí)在上單調(diào)遞減,滿足條件.(ⅱ)若,即時(shí),由得;由得:.此時(shí)在上為增函數(shù),在上為減,不滿足條件.(ⅲ)若,即.則在上恒成立.此時(shí)在上單調(diào)遞減,滿足條件.綜上,.拔高練習(xí)（30mins）1.已知函數(shù)，其中．若存在極小值和極大值，證明：的極小值大于極大值．【解析】．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，無極值，不合題意．=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，令，整理得．由，所以，上述方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，不妨設(shè)．由得．，的變化情況如下表： ↗極大值↘↘極小值↗所以，存在極大值，極小值．．因?yàn)?，且，所以，，所以．所以的極小值大于極大值．2.已知函數(shù).證明:對于,在區(qū)間上有極小值,且極小值大于0.【解析】因?yàn)?所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)?,所以,使得.所以,;,,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以有極小值.因?yàn)?所以.設(shè),,則,所以,即在上單調(diào)遞減,所以,即,所以函數(shù)的極小值大于0.3.已知函數(shù).若在內(nèi)有極值,試求的取值范圍.【解析】若在內(nèi)有極值,則在內(nèi)有解.解法一：令.令(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，則遞增。所以在無零點(diǎn)，不符合題意。(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單增。根據(jù)（1）得，不符合題意當(dāng)時(shí)，即,在區(qū)間遞減。要使在上有零點(diǎn)則所以當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。要使在上有零點(diǎn)則即矛盾舍去。綜上所述解法二：令.設(shè),,所以, 當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞減.又因?yàn)?又當(dāng)時(shí),,即在上的值域?yàn)?所以當(dāng)時(shí),有解.設(shè),則,,所以在單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以在有唯一解.所以有:00極小值所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)有極值且唯一.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),恒成立,單調(diào)遞增,不成立.綜上,的取值范圍為.4.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.已知函數(shù)在處取得極小值,不等式的解集為,若,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由題意知,得,經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)在處取得極小值,∵,∴在上有解,即,使成立,即使成立,∴,令,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,∴,5.已知函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，設(shè)在處取到極值，記．，，，判斷直線、、與函數(shù)的圖象各有幾個(gè)交點(diǎn)（直接寫出答案）.【解析】直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)；直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)；直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)．6.對于函數(shù),若存在實(shí)數(shù)滿足,則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù),其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),（i）若存在既是的極值點(diǎn),又是的不動(dòng)點(diǎn),求的值;（Ⅱ）若有兩個(gè)相異的極值點(diǎn),,試問:是否存在,,使得,均為的不動(dòng)點(diǎn)？證明你的結(jié)論.【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?且.當(dāng)時(shí),.（?。佼?dāng)時(shí),顯然在上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí),令,解得.和的變化情況如下表：↗↘↗所以,是的極大值點(diǎn);是的極小值點(diǎn).（ⅱ）若是的極值點(diǎn),則有;若是的不動(dòng)點(diǎn),則有.從上述兩式中消去,整理得.設(shè).所以,在上單調(diào)遞增.又,所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程的根為,所以.（Ⅱ）因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異的極值點(diǎn),,所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根,,所以,即.假設(shè)存在實(shí)數(shù),,使得,均為的不動(dòng)點(diǎn),則,是方程的兩個(gè)實(shí)根,顯然,.對于實(shí)根,有