121隨機(jī)事件與古典概型

考點(diǎn)12概率與統(tǒng)計(jì)12.1隨機(jī)事件與古典概型1．（2021·全國(guó)高三（理））北京衛(wèi)視大型原創(chuàng)新銳語(yǔ)言競(jìng)技真人秀節(jié)目《我是演說(shuō)家》火爆熒屏，在某期節(jié)目中，共有名女選手和名男選手參加比賽.已知備選演講主題共有道，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一個(gè)主題進(jìn)行演講，則其中恰有一男一女抽到同一演講主題的概率為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】列出基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】設(shè)兩到題目為A,B題，所以抽取情況共有：AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB,其中第1個(gè)，第2個(gè)分別是兩個(gè)女教師抽取的題目，第3個(gè)表示男教師抽取的題目，一共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件有：ABA,ABB,BAA,BAB，共4種；故所求事件的概率為故選：B2．（2021·云南昆明市·高三（文））一個(gè)學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名男生，3名女生．從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出5人取2人的所有事件，找出一男同學(xué)一女同學(xué)的取法，利用古典概型求解.【詳解】5人小組中，設(shè)2男生分別為a,b，3名女生分別為A,B,C，則任意選出2名同學(xué)，共有:10個(gè)基本事件，其中選出的同學(xué)中既有男生又有女生共有6個(gè)基本事件，所以,故選：C3．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）為了援助湖北抗擊疫情，全國(guó)各地的白衣天使走上戰(zhàn)場(chǎng)的第一線，他們分別乘坐6架我國(guó)自主生產(chǎn)的“運(yùn)20”大型運(yùn)輸機(jī)，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，同時(shí)到達(dá)武漢天河飛機(jī)場(chǎng)，每五分鐘降落一架，其中1號(hào)與6號(hào)相鄰降落的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】總共的降落方法為6架飛機(jī)的全排列，然后相鄰問(wèn)題用“捆綁法”，再利用古典概型的求法，即可求解【詳解】解：總共的降落方法有(種)，1號(hào)與6號(hào)相鄰降落的方法有：(種)1號(hào)與6號(hào)相鄰降落的概率為：，故選:D4．（2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)字大于40的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，滿足條件的事件可以列舉出來(lái)，然后根據(jù)概率公式求解即可【詳解】解：由題意可得試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，共有種結(jié)果，則這此數(shù)字大于40的有41，42，43，45，51，52，53，54，共8個(gè)，所以所求概率為，故選：A5．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））從包括甲?乙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生排序參加演講比賽，則甲和乙參加，且演講順序不相鄰的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲和乙參加的概率為，甲和乙演講順序不相鄰的概率為，由此能求出甲和乙參加，且演講順序不相鄰的概率．【詳解】甲和乙參加的概率為，甲和乙演講順序不相鄰的概率為，所求概率為；或直接為.故選：B.6．（2020·河北高三（文））小張計(jì)劃高考結(jié)束后從北京?天津?廣州、西安、杭州這5個(gè)城市中隨機(jī)選取2個(gè)城市前去游玩，則他恰好選中前3個(gè)城市中的2個(gè)城市的概率（）A． B． C． D．【答案】B【分析】基本事件總數(shù)，他恰好選中前3個(gè)城市中的2個(gè)城市包含的基本事件個(gè)數(shù).由此求出他恰好選中前3個(gè)城市中的2個(gè)城市的概率.【詳解】小張計(jì)劃高考結(jié)束后從北京?天津?廣州，西安，杭州這5個(gè)城市中隨機(jī)選取2個(gè)城市前去游玩，基本事件總數(shù)，他恰好選中前3個(gè)城市中的2個(gè)城市包含的基本事件個(gè)數(shù).所以他恰好選中前3個(gè)城市中的2個(gè)城市的概率.故選：B.7．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到，，三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)．若每個(gè)社區(qū)至少分一名義工，則甲單獨(dú)被分到社區(qū)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列組合求得每個(gè)社區(qū)至少分一名義工的方法數(shù)，然后求出其中甲被分到社區(qū)的方法數(shù)，利用概率公式求得結(jié)果.【詳解】依題意得，甲、乙、丙、丁到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分一名義工的方法數(shù)是，其中甲被分到社區(qū)的方法數(shù)是，因此甲被分到社區(qū)的概率．故選：A．8．（2021·河南高一）某高中學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，將學(xué)生的成績(jī)按照，，，分成4組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)用分層抽樣的方法從，這兩組學(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任選2人，則這2人的數(shù)學(xué)成績(jī)不在同一組的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分層抽樣計(jì)算出選取的5人中，，這兩組中分別占有的人數(shù)，然后列舉法出從這5人中任選2人的所有選法及2人的數(shù)學(xué)成績(jī)不在同一組的所有選法，從而計(jì)算出概率.【詳解】由題意可知，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生的頻率為，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生的頻率為.用分層抽樣的方法從，這兩組學(xué)生中選取5人，則其中有3人的成績(jī)?cè)冢謩e記為，，；有2人的成績(jī)?cè)冢謩e記為，.從這5人中任選2人，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，共10種，其中這2人成績(jī)不在同一組的事件有：，，，，，，共6種，則所求概率.故選：D.9．（2021·全國(guó)（理））把顏色分別為紅?黃?藍(lán)?白四種顏色的小球放入顏色分別為紅?黃?藍(lán)?白四種顏色的紙盒中，則四個(gè)小球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別計(jì)算四種不同顏色的球放入四種不同顏色的紙盒中基本事件的總數(shù)，以及四個(gè)小球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的總數(shù)，即可求出相應(yīng)的概率.【詳解】將四種不同顏色的球放入四種不同顏色的紙盒中基本事件的總數(shù)為，四個(gè)球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的基本事件的總數(shù)為，所以四個(gè)小球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的概率為.故選：B.【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉；(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.10．（2022·全國(guó)（文））2020年8月，習(xí)近平總書記針對(duì)觸目驚心?令人痛心的餐飲浪費(fèi)現(xiàn)象，作出重要指示強(qiáng)調(diào)，要進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營(yíng)造浪費(fèi)可恥?節(jié)約為榮的氛圍.某宣傳袋內(nèi)有六張卡片，分別寫有“節(jié)?約?糧?食?光?榮”六個(gè)字，從中任取兩張卡片，恰好取到“節(jié)”“約”二字的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】任取2張共15種取法，恰好取到“節(jié)”“約”二字共1種取法，從而求出滿足條件的概率.【詳解】解：從6張中取2張有種取法，恰好取到“節(jié)”“約”二字有1種，故恰好取到“節(jié)”“約”二字的概率為，故選：C.【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.11．（2022·浙江）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于18的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定不超過(guò)15的素?cái)?shù)共有6個(gè)，寫出其中和為18的兩數(shù)，計(jì)算出任取兩數(shù)的方法數(shù)，然后由概率公式可得概率．【詳解】不超過(guò)15的素?cái)?shù)有共6個(gè)，任取兩數(shù)的方法為，其中只有，共2種，因此所求概率為．故選：B．12．（2021·山東泰安·高二）某班級(jí)有40名同學(xué)，為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，他們擬參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)上的黨史知識(shí)競(jìng)賽，因?yàn)榍捌跍?zhǔn)備情況不同，所以他們獲獎(jiǎng)的概率也不同，其中，有20名同學(xué)獲獎(jiǎng)概率為0.9，12名同學(xué)獲獎(jiǎng)概率為0.8，8名同學(xué)獲獎(jiǎng)概率為0.7，現(xiàn)從中隨機(jī)選出一名同學(xué)，他獲獎(jiǎng)的概率為（）A．0.83 B．0.78 C．0.76 D．0.63【答案】A【分析】先求出獲獎(jiǎng)人數(shù)的均值，從而可求出隨機(jī)選出一名同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率【詳解】解：由題意得獲獎(jiǎng)人數(shù)的均值為，所以從40人中隨機(jī)選出一名同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率為，故選：A13．（2021·上海高三）從邊長(zhǎng)為1的正八邊形的頂點(diǎn)中隨機(jī)選3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，從棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)中隨機(jī)選3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，對(duì)于命題：①的面積可能大于的面積；②為直角三角形的概率是為等腰三角形的概率的2倍.下列判斷正確的是（）A．①②都正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①②都錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確【答案】D【分析】①分別計(jì)算三角形面積，比較判斷即可；②分別求出概率，比較判斷.【詳解】解：對(duì)于①，如圖，計(jì)算三角形PQR的面積，而正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，所以，所以，又由，解得，正八邊形的邊長(zhǎng)為1，所以，所以為，而的最小面積為隨機(jī)選3個(gè)點(diǎn)是同一個(gè)面3個(gè)點(diǎn)，如，其面積為，所以①不正確；對(duì)于②，在正八邊形中，以為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè)，為等腰三角形共有24個(gè)，所以為等腰三角形的概率為，在正方體中，不是直角三角形時(shí)，該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)如下圖中的正三角形，其個(gè)數(shù)為8個(gè)，所以為直角三角形的概率為，所以②對(duì).故選：D.14．（2021·廣西南寧三中（文））某同學(xué)只會(huì)背誦5篇課文中的3篇，現(xiàn)從這5篇課文中隨機(jī)抽取3篇讓該同學(xué)背誦，則該同學(xué)恰能背出其中2篇的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出從5篇中抽3篇的基本事件，則符合題意的從基本事件中挑出，按照概率公式求解即可.【詳解】設(shè)5篇課文分別為a，b，c，d，e，則從5篇中抽3篇的基本事件有abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共有10個(gè)，若該同學(xué)只會(huì)背誦abc，則符合題意的基本事件有abd，abe，acd，ace，bcd，bce，共6個(gè)，故所求概率為．

故選：D．15．（2021·四川宜賓·（文））五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.如果從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中不含宮和羽的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序的基本事件總數(shù)，其中這個(gè)音序中不含宮和羽的基本事件個(gè)數(shù)，然后由古典概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】解：中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序，基本事件總數(shù)，其中這個(gè)音序中不含宮和羽的基本事件個(gè)數(shù).則這個(gè)音序中不含宮和羽的概率為.故選：A.16．（2021·上海市大同中學(xué)高三）在5張卡片上分別寫上數(shù)字1、2、3、4、5，然后把它們混合，再任意排成一行組成5位數(shù)，則得到能被2整除的5位數(shù)的概率為_(kāi)_________【答案】【分析】求出任意排成一行組成5位數(shù)的情況，得出能被2整除的5位數(shù)的情況，即可求得概率.【詳解】由題可得任意排成一行組成5位數(shù)的情況有種，其中能被2整除的5位數(shù)有種，則得到能被2整除的5位數(shù)的概率為.故答案為：.17．（2021·山東濟(jì)寧·高一期末）某個(gè)微信群在某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機(jī)分配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲?乙?丙?丁4人參與搶紅包，每人只能搶一次，則甲?乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】計(jì)算出基本事件總數(shù)及滿足條件的有利事件數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．【詳解】由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本事件總數(shù)為，，，，，共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含，，共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率.故答案為：．18．（2021·上海青浦·高二期末）甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，設(shè)甲的兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)分別為a與b，乙的骰子點(diǎn)數(shù)為c.則擲出的點(diǎn)數(shù)滿足的概率為_(kāi)__________.（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】有列舉法寫出滿足的所有基本事件，再求得事件空間中事件的個(gè)數(shù)后可得概率．【詳解】甲乙兩人分別擲兩顆骰子與一顆骰子，基本事件的個(gè)數(shù)為，滿足的有，，共14個(gè)，所以概率為．故答案為：．19．（2021·上海市建平中學(xué)高三）小明給同學(xué)發(fā)“拼手氣”紅包，他將1角錢分成三份，每份都是1分錢的正整數(shù)倍，若這三個(gè)紅包分別被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲搶到1分錢的概率為_(kāi)________.【答案】【分析】將題干情景轉(zhuǎn)換為：有10個(gè)相同的小球放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)盒子，且盒子不能為空；【詳解】題干情景可以轉(zhuǎn)換為：有10個(gè)相同的小球放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)盒子，且盒子不能為空；將10個(gè)小球排好，有9個(gè)空隙，從這9個(gè)空隙中選出2個(gè)放入擋板可將小球分為3份；所以，分類方法共有種；甲盒有1個(gè)小球的情況有：共8種；所以，概率為.故答案為：.20．（2021·黑龍江大慶中學(xué)高一期末）煙花三月、草長(zhǎng)鶯飛，櫻花、桃花、梨花、蘋果花、牡丹花陸陸續(xù)續(xù)地都開(kāi)放了，周老師準(zhǔn)備從這種花中任選出種去旅游觀賞，則恰巧選中桃花與牡丹花的概率為_(kāi)______．【答案】【分析】應(yīng)列舉法，寫出從這種花中任選出種去旅游觀賞所有可能組合，及其中恰巧選中桃花與牡丹花的組合，由古典概型的概率求法求概率即可.【詳解】設(shè)櫻花、梨花、蘋果花為，，，桃花與牡丹花為和，∴從中選種花去旅游觀賞的基本事件為，，，，，，，，，，共個(gè)，其中含有桃花與牡丹花的事件有，，，共個(gè)．∴故所求的概率為．故答案為：.21．（2021·四川涼山·（文））百年風(fēng)雨兼程，世紀(jì)滄桑巨變.今年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為慶祝100周年，向黨的百年華誕獻(xiàn)禮，“步入輝煌：中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年主題影展”活動(dòng)將于2021年1月8日在滬正式啟動(dòng)，并一直持續(xù)到2021年12月30日.某部門計(jì)劃在5部不同的優(yōu)秀作品(包含甲?乙兩部作品)中任選3部參加影展，則甲作品被選中且乙作品未被選中的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】先求出在5部不同的優(yōu)秀作品中任選3部的情況，再求出甲作品被選中且乙作品未被選中的情況，即可求出概率.【詳解】由題可得在5部不同的優(yōu)秀作品中任選3部的情況有種，其中甲作品被選中且乙作品未被選中的情況有種，則甲作品被選中且乙作品未被選中的概率為.故答案為：.22．（2021·全國(guó)高三）已知某人同時(shí)拋擲了兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記“其中至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)超過(guò)3，且兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”為事件，則___________.【答案】【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合列舉法進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，同時(shí)拋擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況共有36種，其中事件包含的情況有，，，，，，共6種，∴.故答案為：23．（2021·福建龍巖·高三）有六個(gè)從左到右并排放置的盒子，現(xiàn)將若干個(gè)只有顏色不同的黑球?白球隨機(jī)放入這六個(gè)盒子(每個(gè)盒子只能放入一個(gè)球)，則事件“從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)盒子，總有黑球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)”發(fā)生的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】先由題中條件，確定總的基本事件，再由列舉法，列舉出滿足條件的基本事件，基本事件的個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】每個(gè)盒子都有兩種可能，所以基本事件有種.符合條件的基本事件有：①六黑有一種：黑黑黑黑黑黑；②五黑一白有：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑；共種；③四黑二白有：黑白黑白黑黑，黑白黑黑白黑，黑白黑黑黑白，黑黑白黑黑白，黑黑白黑白黑，黑黑白白黑黑，黑黑黑白白黑，黑黑黑白黑白，黑黑黑黑白白；共種；④三黑三白有：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，黑黑白白黑白；共種；所以，事件“從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)盒子，總有黑球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)”發(fā)生的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件個(gè)數(shù)較少時(shí)，可用列舉法列舉出總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件個(gè)數(shù)較多時(shí)，可根據(jù)排列組合數(shù)的計(jì)算，求出總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出所求概率.24．（2021·河南焦作·高三（理））某中學(xué)為了加強(qiáng)藝術(shù)教育，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，要求每名學(xué)生從音樂(lè)和美術(shù)中至少選擇一門興趣課，某班有名學(xué)生，選擇音樂(lè)的有人，選擇美術(shù)的有人，從全班學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，那么這個(gè)人兩種興趣班都選擇的概率是___________.【答案】【分析】計(jì)算出兩種興趣班都選擇的學(xué)生人數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，兩種興趣班都選擇的人數(shù)為人，所以所求概率為.故答案為：.25．（2021·玉溪第二中學(xué)高二月考（理））某班級(jí)分別從名男生，，和名女生，中各隨機(jī)抽取名學(xué)生組隊(duì)參加知識(shí)競(jìng)賽，則男生和女生同時(shí)被抽中的概率為_(kāi)__________.【答案】【分析】列舉出抽取的所有情況，由古典概型概率公式即可得解.【詳解】抽取的所有情況如下：，，，，，.所以男生和女生同時(shí)被抽中的概率.26．（2021·貴州六盤水·高三（文））小明在一個(gè)專用的郵票箱中，收藏了北京2022年冬奧會(huì)吉祥物和冬殘奧會(huì)吉祥物紀(jì)念郵票一套2枚，冬奧會(huì)會(huì)徽和冬殘奧會(huì)會(huì)徽紀(jì)念郵票一套2枚．現(xiàn)從這4枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，恰好有一張是“冰墩墩”（圖案為大熊貓）的概率為_(kāi)_______．【答案】【分析】利用古典概型公式，編號(hào)，列舉的方法，求概率.【詳解】設(shè)冬奧會(huì)吉祥物和冬殘奧會(huì)吉祥物紀(jì)念郵票一套2枚分別記為（為“冰墩墩”），，冬奧會(huì)會(huì)徽和冬殘奧會(huì)會(huì)徽紀(jì)念郵票一套2枚分別記為，，從這4枚郵票中隨機(jī)抽取2枚的基本事件分別是，，，，，，共6種，其中恰好有一張是“冰墩墩”的基本事件是，，，共3種，故所求概率為．故答案為：27．（2020·全國(guó)高三（文））某學(xué)校實(shí)行導(dǎo)師制，該制度規(guī)定每位學(xué)生必須選一位導(dǎo)師，每位導(dǎo)師至少要選一位學(xué)生，若，，三位學(xué)生要從甲，乙中選擇一人做導(dǎo)師，則選中甲同時(shí)選中乙做導(dǎo)師的概率為_(kāi)_____.【答案】【分析】首先列舉所有的基本事件，以及滿足條件的基本事件，利用古典概型求概率.【詳解】，，三位學(xué)生選甲，乙做導(dǎo)師的可能結(jié)果用表示，，分別表示甲，乙做導(dǎo)師，所有可能結(jié)果為：，，，，，共有6個(gè)基本事件，記“選中甲同時(shí)選中乙做導(dǎo)師”為事件，則包含，2個(gè)基本事件，故.故答案為：28．（2021·上海高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)、兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為.用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為的樣本，則其中種型號(hào)的產(chǎn)品有件.現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有型號(hào)產(chǎn)品的概率為_(kāi)_________.【答案】【分析】先由分層抽樣抽樣比求種型號(hào)抽取件數(shù)，以及，再根據(jù)古典概型公式求概率.【詳解】設(shè)種型號(hào)抽取件，所以，解得：，，從樣本中抽取2件，含有型號(hào)產(chǎn)品的概率.故答案為：29．（2021·安徽滁州市·高二開(kāi)學(xué)考試（理））小王同學(xué)有本不同的數(shù)學(xué)書，本不同的物理書和本不同的化學(xué)書，從中任取本，則這本書屬于不同學(xué)科的概率為_(kāi)_____________（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．【答案】【分析】利用古典概型公式計(jì)算概率.【詳解】共本不同的數(shù)，任取2本包含種方法，若從中任取兩本，這2本書屬于不同學(xué)科的情況有，所以這本書屬于不同學(xué)科的概率.故答案為：30．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）《西游記》?《三國(guó)演義》?《水滸傳》?《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)古典小說(shuō)四大名著.若在這四大名著中，任取2種進(jìn)行閱讀，則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，分別確定總的基本事件個(gè)數(shù)，以及取到《紅樓夢(mèng)》所包含的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】4本名著選兩本共有種，選取的兩本中含有《紅樓夢(mèng)》的共有種，所以任取2種進(jìn)行閱讀，則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.31．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開(kāi)學(xué)以來(lái)（60天）的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）各分為5組：，得其頻率分布直方圖如圖所示.（1）國(guó)家規(guī)定：初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時(shí)間不少于半小時(shí)，若該校初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間低于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時(shí)間.根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），該校是否需要增加初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間？（2）從課外閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本中隨機(jī)抽取3人，求至少有2名初中生的概率.【答案】（1）需要；（2）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖根據(jù)平均數(shù)公式估計(jì)初中生閱讀時(shí)間的平均數(shù)，即得解；（2）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，即得解【詳解】（1）由圖可求出初中生在內(nèi)的頻率為，故樣本中初中生閱讀時(shí)間的平均數(shù)為，故按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，該校需要增加初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間.（2）由圖可求出初中生和高中生課外閱讀時(shí)間不足10小時(shí)的人數(shù)分別為3人和2人，記初中生3人為，高中生2人為，從這5人中隨機(jī)抽取3人一共有10種，分別為其中至少2名初中生包括7種情況，所以所求事件的概率為.32．（2021·河南（文））某職業(yè)培訓(xùn)學(xué)校現(xiàn)有六個(gè)專業(yè)，往年每年各專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率（直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)與招生人數(shù)的比值）統(tǒng)計(jì)如下表：專業(yè)機(jī)電維修藝術(shù)舞蹈汽車美容餐飲電腦技術(shù)美容美發(fā)招生人數(shù)就業(yè)率（Ⅰ）從該校往年的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求該生是“餐飲”專業(yè)且直接就業(yè)的概率；（Ⅱ）為適應(yīng)人才市場(chǎng)的需求，該校決定明年將“電腦技術(shù)”專業(yè)的招生人數(shù)減少，將“機(jī)電維修”專業(yè)的招生人數(shù)增加，假設(shè)“電腦技術(shù)”專業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機(jī)電維修”專業(yè)的就業(yè)率不變，其他專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率都不變，要使招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率比往年提高個(gè)百分點(diǎn)，求的值．【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意求得往年每年的招生人數(shù)為，進(jìn)而求得“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解；（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，求得往年全校整體的就業(yè)率，根據(jù)招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率，列出方程，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，該校往年每年的招生人數(shù)為，“餐飲”專業(yè)直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，所以所求的概率為．（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)，可得往年各專業(yè)直接就業(yè)的人數(shù)分別為，，，，，，往年全校整體的就業(yè)率為，招生人數(shù)調(diào)整后全校整體的就業(yè)率為，解得．33．（2020·陜西高三（文））在全面建成小康社會(huì)的決勝階段，讓貧困地區(qū)同全國(guó)人民共同進(jìn)入全面小康社會(huì)是我們黨的莊嚴(yán)承諾.在“脫真貧，真脫貧”的過(guò)程中，精準(zhǔn)扶貧助推社會(huì)公平顯得尤其重要.若某農(nóng)村地區(qū)有戶貧困戶，經(jīng)過(guò)一年扶貧后，對(duì)該地風(fēng)的“精準(zhǔn)扶貧”的成效檢查驗(yàn)收.從這戶貧困戶中隨機(jī)抽出戶，對(duì)各戶的人均年收入（單位：千元）進(jìn)行調(diào)查得到如下頻數(shù)表：人均年收入頻數(shù)若人均年收入在元以下的判定為貧困戶，人均年收入在元元的判定為脫貧戶，人均年收入達(dá)到元的判定為小康戶.為了了解未脫貧的原因，從抽取的戶中用分層抽樣的方法抽戶進(jìn)行調(diào)研.（1）貧困戶、脫貧戶、小康戶分別抽到的戶數(shù)是多少？（2）從被抽到的脫貧戶和小康戶中各選人做經(jīng)驗(yàn)介紹，求小康戶中人均年收入最高的一戶被選到的概率.【答案】（1）貧困戶、脫貧戶、小康戶分別抽到的戶數(shù)分別為、、；（2）.【分析】（1）利用分層抽樣可計(jì)算得出貧困戶、脫貧戶、小康戶分別抽到的戶數(shù)；（2）用、、、、、表示脫貧戶，、、表示小康戶，設(shè)為小康戶中人均年收入最高的一戶，列舉出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由分層抽樣可知，貧困戶抽到的戶數(shù)為，脫貧戶抽到的戶數(shù)為，小康戶抽到的戶數(shù)為；（2）用、、、、、表示脫貧戶，、、表示小康戶，設(shè)為小康戶中人均年收入最高的一戶.從從被抽到的脫貧戶和小康戶中各選戶，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件“小康戶中人均年收入最高的一戶被選到”所包含的基本事件有：、、、、、，共種，故所求概率為.34．（2021·長(zhǎng)嶺縣第三中學(xué)高一期末）為了了解某年齡段名學(xué)生的百米成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了若干學(xué)生的百米成績(jī)，成績(jī)?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將成績(jī)按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，巳知圖中從左到右前個(gè)組的頻率之比為，且第二組的頻數(shù)為.（1）將頻率當(dāng)作概率，請(qǐng)估計(jì)該年齡段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)；（2）求調(diào)査中隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生的百米成績(jī)；（3）若從第一、第五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)，求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于秒的概率.【答案】（1）人；（2）名；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率乘以1000等于成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)；（2）首先計(jì)算第二種的頻率，再根據(jù)公式計(jì)算樣本容量；（3）首先計(jì)算第一組和第五組的人數(shù)，再進(jìn)行標(biāo)號(hào)，列舉所有的基本事件后，按照古典概型公式計(jì)算概率.【詳解】(1)百米成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，，所以估計(jì)該年齡段學(xué)生中百米成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為人.(2)設(shè)圖中從左到右前個(gè)組的頻率分別為.依題意，得，所以.設(shè)調(diào)査中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的百米成績(jī)，則，得，所以調(diào)查中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的百米成績(jī).(3)百米成績(jī)?cè)诘谝唤M的學(xué)生數(shù)有，記他們的成績(jī)?yōu)?；百米成?jī)?cè)诘谖褰M的學(xué)生數(shù)有，記他們的成績(jī)?yōu)椋瑒t從第一、第五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī)包含的基本事件有，共21個(gè).其中滿足成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1秒所包含的基本事件有，所以兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于秒的概率為.35．（2021·衡水第一中學(xué)高三月考）“年全國(guó)城市節(jié)約用水宣傳周”已于月日至日舉行.成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開(kāi)展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動(dòng)，進(jìn)一步增強(qiáng)全民保護(hù)水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識(shí).為了解活動(dòng)開(kāi)展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況，隨機(jī)抽取了名業(yè)主進(jìn)行節(jié)約用水調(diào)查評(píng)分，將得到的分?jǐn)?shù)分成組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計(jì)這名業(yè)主評(píng)分的中位數(shù)；（2）若先用分層抽樣的方法從評(píng)分在和的業(yè)主中抽取人，然后再?gòu)某槌龅倪@位業(yè)主中任意選取人作進(jìn)一步訪談，求這人中至少有人的評(píng)分在的概率.【答案】（1），中位數(shù)為；（2）.【分析】（1）所有小矩形的面積之和為1，求出a，再利用面積和為0.5對(duì)應(yīng)的數(shù)為中位數(shù)即可得解；（2）由頻率分布直方圖，知評(píng)分在的有人，評(píng)分在有人，利用列舉法求出事件發(fā)生的概率.【詳解】（1）第三組的頻率為，又第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為.前三組的頻率之和為，這名業(yè)主評(píng)分的中位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖，知評(píng)分在的人數(shù)與評(píng)分在的人數(shù)的比值為.采用分層抽樣法抽取人，評(píng)分在的有人，評(píng)分在有人.不妨設(shè)評(píng)分在的人分別為；評(píng)分在的人分別為，則從人中任選人的所有可能情況有：，，，，，，，，，共種.其中選取的人中至少有人的評(píng)分在的情況有：，，，，，，共種.故這人中至少有人的評(píng)分在的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了由頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)，頻數(shù)，考查了古典概型的概率計(jì)算，掌握頻率分布直方圖中小矩形的面積為對(duì)應(yīng)的頻率是解題的關(guān)鍵，屬于一般題.36．（2021·全國(guó)（文））2020年7月29日，貴州省林業(yè)局發(fā)布全省2019年度森林覆蓋率，黔東南州森林覆蓋率為，這是自2012年全省開(kāi)展小康森林覆蓋率指標(biāo)監(jiān)測(cè)工作以來(lái)，黔東南州連續(xù)年位居全省市州第一，“綠水青山就是金山銀山”已成為新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容.某社團(tuán)在一次研學(xué)旅活動(dòng)中，為了解某苗圃基地的紅豆杉幼苗生長(zhǎng)情況，從基地的樹(shù)苗中隨機(jī)抽取了株測(cè)量高度(單位：)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樹(shù)苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，，分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值，并估計(jì)樹(shù)苗的平均高度；（2）該社團(tuán)決定從樹(shù)苗的高度在中采用分層抽樣的方法抽取株樹(shù)苗帶回學(xué)校栽種，然后再?gòu)倪@株樹(shù)苗中隨機(jī)抽取株跟蹤研究，求恰有株樹(shù)苗高度在的概率.【答案】（1），平均數(shù)為；（2）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，可得1進(jìn)一步計(jì)算出a，則根據(jù)頻率分布直方圖可算出樹(shù)苗的平均高度的估計(jì)值．（2）根據(jù)題意可先分別計(jì)算出樹(shù)苗高度在[36,37）、[37,39）、[39,41]內(nèi)的數(shù)量，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算出所求概率．【詳解】解：（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，第一?二?三?四?五?六組的頻率分別為?????,則平均數(shù)為.（2）由題意可知，樹(shù)苗高度在內(nèi)的有株，在內(nèi)的有株，在內(nèi)的有株，則樹(shù)苗高度在內(nèi)抽取株，在內(nèi)抽取株，在內(nèi)抽取株，記樹(shù)苗高度在內(nèi)的株為，，在內(nèi)的株為，，在內(nèi)的株為，則從株樹(shù)苗中隨機(jī)抽取3兩株的基本事件有，，，，，，，，，共種，其中恰有株樹(shù)苗高度在的有種，故所求概率為.37．（2021·全國(guó)高三（文））某工廠用綜合技術(shù)指標(biāo)值來(lái)衡量工人加工產(chǎn)品的質(zhì)量.工人王師傅在過(guò)去一個(gè)月內(nèi)加工了60件產(chǎn)品，其值的頻率分布直方圖如圖(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失)，且已知其中有24件產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值不低于6.（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求王師傅這個(gè)月加工產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值的中位數(shù)；（2）用樣本頻率估計(jì)總體概率，現(xiàn)從王師傅加工的8件產(chǎn)品中任取2件，求至少有1件產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值滿足的概率.【答案】（1）頻率分布直方圖見(jiàn)解析，（2）.【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)求得第三組的頻率和第二組的頻率，由此可補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖.再由頻率直方圖求得中位數(shù).（2）運(yùn)用列舉法和古典概率公式可求得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?0件產(chǎn)品中有24件產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值k，不低于6，所以第三組的頻率為，所以頻率直方圖中的的縱軸所對(duì)應(yīng)的值為0.15，第二組的頻率為，所以頻率直方圖中的的縱軸所對(duì)應(yīng)的值為0.2，補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖.，因?yàn)椋?，則，解得故王師傅這個(gè)月加工產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值k的中位數(shù)為5.5.(2)王師傅加工的8件產(chǎn)品中綜合技術(shù)指標(biāo)值k滿足的有(件).設(shè)王師傅加工的8件產(chǎn)品分別為，其中產(chǎn)品a，b的綜合技術(shù)指標(biāo)值k滿足，則從8件產(chǎn)品中任取2件的方法有，，，，共28種，其中所取的2件產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值k均不滿足的有，，共15種.故從8件產(chǎn)品中任取2件,至少有1件產(chǎn)品的綜合技術(shù)指標(biāo)值滿足的概率為38．（2021·安徽高三（文））2020年第七次全國(guó)人口普查摸底工作從10月11日開(kāi)始，10月31日結(jié)束.從11月1日開(kāi)始進(jìn)入普查的正式登記階段.普查員要進(jìn)入每個(gè)住戶逐人逐項(xiàng)登記普查信息，這期間還將隨機(jī)抽取10%的住戶填報(bào)普查長(zhǎng)表，調(diào)查更為詳細(xì)的人口結(jié)構(gòu)信息.整個(gè)登記工作持續(xù)到12月10日結(jié)束.某社區(qū)對(duì)隨機(jī)抽取的10%住戶普查長(zhǎng)表信息情況匯總，發(fā)現(xiàn)其中30%的住戶是租房入住，現(xiàn)對(duì)租房戶按照住戶家庭年人均收入情況繪制出如下的頻率分布直方圖(假設(shè)該社區(qū)內(nèi)住戶家庭年房租支出均在2到8萬(wàn)之間)：（1）求出的值（2）若抽取的10%住戶中，家庭人均年收入在萬(wàn)元的恰好有12戶，則該社區(qū)共有住戶約多少戶.（3）若從家庭年房租支出不到6萬(wàn)元的住戶中按照分層抽樣的方法抽取10戶，再?gòu)倪@10戶中隨機(jī)抽取2戶對(duì)其住房和醫(yī)療保健情況進(jìn)行調(diào)查，求抽得的2戶家庭年房租支出少于5萬(wàn)元不少于3萬(wàn)元的概率.【答案】（1）；（2）戶；（3）.【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的面積之和為1，即可求解；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求出樣本中家庭年房租支出在萬(wàn)元住戶占租房戶的比重，結(jié)合樣本估計(jì)總體，即可求解；(3)根據(jù)題意，求出分層抽樣的10人中，年房租支出少于5萬(wàn)