中考專題幾何綜合之旋轉(zhuǎn)專題

...wd......wd......wd...第四講旋轉(zhuǎn)專題例題1.點在同一直線上，點在直線的同側(cè)，直線交于點.〔1〕如圖①，假設(shè)，則________；如圖②，假設(shè)，則________；〔2〕如圖③，假設(shè)，則________〔用含的式子表示〕；〔3〕將圖③中的繞點旋轉(zhuǎn)〔點不與點重合〕，得圖④或圖⑤.在圖④中，與的數(shù)量關(guān)系是________；在圖⑤中，與的數(shù)量關(guān)系是________.請你任選其中一個結(jié)論證明.思路點撥從特殊到一般，在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，有兩組不變的關(guān)系：∽，∽，這是解本例的關(guān)鍵.例2.如圖1，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，、分別在、邊上，此時，成立．〔1〕當(dāng)正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)〔〕時，如圖2，成立嗎假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，請說明理由．〔2〕當(dāng)正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，如圖3，延長交于點．①求證：；②當(dāng)，時，求線段的長．例3.在正方形的邊上任取一點，作交于點，取的中點，連接，如圖①，易證且.〔1〕將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖②，則線段和有若何的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系請直接寫出你的猜測.〔2〕將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖③，則線段和有若何的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系請寫出你的猜測，并加以證明.例4.如圖①，在等邊中，點是邊的中點，點是線段上的動點〔點與點不重合〕，連接.將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角〔〕，得到，連接，射線分別交射線、射線于點.〔1〕如圖①，當(dāng)時，在角變化過程中，與始終存在________關(guān)系〔填“相似〞或“全等〞〕，并說明理由；〔2〕如圖②，設(shè).當(dāng)時，有角變化過程中，是否存在與全等假設(shè)存在，求出與之間的數(shù)量關(guān)系；假設(shè)不存在，請說明理.〔3〕如圖③，當(dāng)時，點與點重合.，設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.例5.將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，點D與邊AB的中點重合，將△DEF繞著點D旋轉(zhuǎn)．〔1〕如圖1，如果∠EDF的邊DE經(jīng)過點C，另一邊DF與邊AC交于點G，求GC的長；〔2〕如圖2，如果∠EDF的邊DF、DE分別交邊BC于點M、N，設(shè)CN=x、BM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求它的定義域；〔3〕如圖3，如果∠EDF的邊DF、DE分別交邊AC于點M、N，如果△DMN是等腰三角形，求AN的值．例6.，直角三角形ABC中，∠C=90°，點D、E分別是邊AC、AB的中點，BC=6．〔1〕如圖1，動點P從點E出發(fā)，沿直線DE方向向右運動，則當(dāng)EP=時，四邊形BCDP是矩形；〔2〕將點B繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，旋轉(zhuǎn)到點F處，連接AF、BF、EF．設(shè)∠BEF=α°，求證：△ABF是直角三角形；②如圖3，旋轉(zhuǎn)到點G處，連接DG、EG．∠BEG=90°，求△DEG的面積．例7.如圖1，點O為正方形ABCD的中心．〔1〕將線段OE繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點E的對應(yīng)點為點F，連結(jié)EF，AE，BF，請依題意補全圖1；〔2〕根據(jù)圖1中補全的圖形，猜測并證明AE與BF的關(guān)系；〔3〕如圖2，點G是OA中點，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中點，∠EGF=90°，AB=22，GE=2，△EGF繞G點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角度，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中BH的最大值．例8.如圖1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC內(nèi)部一點，∠ADC=135°，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE．〔1〕①依題意補全圖形；②請判斷∠ADC和∠CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．〔2〕在〔1〕的條件下，連接BE，過點C作CM⊥DE，請判斷線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕如圖2，在正方形ABCD中，AB=2，如果PD=1，∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．例9.如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開場繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α〔0°＜α＜180°〕〔1〕當(dāng)∠BAC=60°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點D在射線BP上．假設(shè)∠CDP=120°，則∠ACD∠ABD〔填“＞〞、“=〞、“＜〞〕，線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕當(dāng)∠BAC=120°時，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點D在射線BP上，假設(shè)∠CDP=60°，求證：BD﹣CD=3AD；〔3〕將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°＜α＜180°時，點D是直線BP上一點〔點P不在線段BD上〕，假設(shè)∠CDP=120°，請直接寫出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系〔不必證明〕．例10.：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點〔不與點B重合〕，連接AD．〔1〕如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE．〔2〕如圖2，當(dāng)點D在線段BC延長線上時，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；〔3〕假設(shè)BD=3CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．例11.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點M為射線AE上任意一點〔不與A重合〕，連接CM，將線段CM繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點F、D．〔1〕直接寫出∠NDE的度數(shù)；〔2〕如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否發(fā)生變化如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；〔3〕如圖4，假設(shè)∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=6+例12.正方形ABCD和正方形EBGF共頂點B，連AF，H為AF的中點，連EH，正方形EBGF繞點B旋轉(zhuǎn)．〔1〕如圖1，當(dāng)F點落在BC上時，求證：EH=12〔2〕如圖2，當(dāng)點E落在BC上時，連BH，假設(shè)AB=5，BG=2，求BH的長；〔3〕當(dāng)正方形EBGF繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，求EHCF例13.正方形和等腰，，，按圖甲放置，使點在上，取的中點，連接．⑴探索的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；⑵將圖甲中繞點順時針旋轉(zhuǎn)得圖乙，連接，取的中點，問⑴中的結(jié)論是否成立并說明理由；⑶將圖甲中繞點轉(zhuǎn)動任意角度〔旋轉(zhuǎn)角在到之間〕得圖丙，連接，取的中點，問⑴中的結(jié)論是否成立，請說明理由．例14.如圖，△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′〔使∠BCE′＜180°〕，連接AD′、BE′，設(shè)直線BE′與AC、AD′分別交于點O、E．〔1〕假設(shè)△ABC為等邊三角形，則AD'BE'〔2〕假設(shè)△ABC滿足∠ACB=60°，AC=3，BC=2，①求AD'BE'②假設(shè)E為BC的中點，求△OBC面積的最大值．例15.，在中，．過點的直線從與邊重合的位置開場繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，直線交邊于點〔點不與點、點重合〕，的邊始終在直線上〔點在點的上方〕，且，連接．〔1〕當(dāng)時，①如圖a，當(dāng)時，的度數(shù)為___________；②如圖b，當(dāng)時，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化說明理由；〔2〕如圖c，當(dāng)時，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明．例16.兩個大小一樣且含30°角的三角板和如圖①擺放，使直角頂點重合．將圖①中繞點逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到圖②，點、分別是、與的交點，點是與的交點．〔1〕不添加輔助線，寫出圖②中所有與全等的三角形；〔2〕將圖②中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得，點、、對應(yīng)點分別為、、，如圖③．探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)與交于點，求證：．例17.如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉(zhuǎn)，假設(shè)點，在直線的異側(cè)，⊥直線于點．⊥直線于點，連接，．〔1〕延長交于點〔如圖2〕．①求證：；②求證：；〔2〕假設(shè)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時還成立嗎假設(shè)成立，請給予證明；假設(shè)不成立，請說明理由；〔3〕假設(shè)直線繞點旋轉(zhuǎn)到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形的形狀及此時還成立嗎不必說明理由．例18.是等腰直角三角形，，是邊上一動點〔、兩點除外〕，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，其中點是點的對應(yīng)點，點是點的對應(yīng)點．〔1〕如圖1，當(dāng)時，是邊上一點，且，連接．求證：；〔2〕如圖2，當(dāng)時，與相交于點．①當(dāng)點與點、不重合時，連接，求的度數(shù)；②設(shè)為邊的中點，當(dāng)從變化到時，求點運動的路徑長．例19.正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．〔1〕如圖1，當(dāng)∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；〔2〕當(dāng)△AEF是直角三角形時，求a、b的值；〔3〕如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．例20.：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點〔點Ｐ不與點A、C重合〕，分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點.〔1〕當(dāng)點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF〔不需證明〕.〔2〕直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜測線段CF、AE、OE之間有若何的數(shù)量關(guān)系請寫出你對圖2、圖3的猜測，并選擇一種情況給予證明.例21.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E．DF與線段AC〔或AC的延長線〕相交于點F．〔1〕如圖1，假設(shè)DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；〔2〕如圖2，將〔1〕中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB；〔3〕如圖3，將〔2〕中的∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DN⊥AC于點N，假設(shè)DN⊥AC于點N，假設(shè)DN=FN，求證：BE+CF=〔BE﹣CF〕．例22.在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜180°〕得到△EFD，其中點A的對應(yīng)點為點E，點B的對應(yīng)點為點F．BE與FC相交于點H．〔1〕如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系：；〔2〕如圖2，M、N分別為EF、BC的中點．求證：MN=；〔3〕連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系：．例23.如圖1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于點O．〔1〕求邊AB的長；〔2〕如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別于邊BC，CD相交于E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G．①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；②旋轉(zhuǎn)過程中是否存在線段EF最短，假設(shè)存在，求出最小值，假設(shè)不存在，請說明理由．例24.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，假設(shè)等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α〔0＜α≤180°〕，記直線BD1與CE1的交點為P．〔1〕如圖1，當(dāng)α=90°時，線段BD1的長等于，線段CE1的長等于；〔直接填寫結(jié)果〕〔2〕如圖2，當(dāng)α=135°時，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；〔3〕求點P到AB所在直線的距離的最大值．〔直接寫出結(jié)果〕例25.在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．〔1〕如圖1，假設(shè)點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；〔2〕將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α〔0°＜α＜45°〕．①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中〔1〕中的結(jié)論依然成立嗎假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，請說明理由；②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15°時，連接EF，假設(shè)正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，假設(shè)Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動〔不與點O、B重合〕，當(dāng)BD=3BP時，猜測此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系．例26.如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN=α，將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F〔點F與點C，D不重合〕．〔1〕如圖①，當(dāng)α=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°時，〔1〕中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．例27.如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．假設(shè)∠ABC=∠BEF=60°．〔1〕請直接寫出線段PG與PC的位置關(guān)系及的值．〔2〕假設(shè)將圖1中的菱形BEFG饒點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變，如圖2．那么你在〔1〕中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化假設(shè)沒變化，直接寫出結(jié)論，假設(shè)有變化，寫出變化的結(jié)果．〔3〕在圖1中，假設(shè)∠ABC=∠BEF=2α〔0°＜α＜90°〕，將菱形BEFG饒點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請直接寫出的值〔用含α的式子表示〕．例28.如圖①所示，在和中，AB=AC,AD=AE,，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．〔1〕求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在圖①的根基上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出〔1〕中的兩個結(jié)論是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：△PBD∽△AMN．例29.如圖1，和都是等腰直角三角形，，點在線段上，點在線段上．〔1〕請直接寫出線段與線段的關(guān)系：_____________；〔2〕如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)角〔〕，①〔1〕中的結(jié)論是否成立假設(shè)成立，請利用圖2證明；假設(shè)不成立，請說明理由；②當(dāng)時，探究在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在這樣的角，使以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，請直接寫出角的度數(shù)；假設(shè)不存在，請說明理由．例30.如圖，在中，.將直角三角板的直角頂點放在線段的中點上，以點為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動三角板并使三角板的兩直角邊分別與相交于點，連，交于點.〔1〕求證：；〔2〕設(shè)線段的長為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到時，求的長.例31.如圖①，中，，于點，點在上，且，連結(jié)．〔1〕求證：；〔2〕將繞點旋轉(zhuǎn)，得到〔點，分別與點，對應(yīng)〕，連接．①如圖②，當(dāng)點落在上時，〔不與重合〕，假設(shè)，，求的長；②如圖③，當(dāng)是由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，設(shè)射線與相交于點，連接，試探究線段與之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．例32.如圖1，在四邊形中，點、分別是、的中點，過點作的垂線，過點作的垂線，兩垂線交于點，連接、、、，且．〔1〕求證：；〔2〕求證：；〔3〕如圖2，假設(shè)、所在直線互相垂直，求的值．例33.是等腰直角三角形，，，，，連接，點是的中點．〔1〕如圖1，假設(shè)點在邊上，連接，當(dāng)時，求的長；〔2〕如圖2，假設(shè)點在的內(nèi)部，連接，點是中點，連接，，求證：；〔3〕如圖3，將圖2中的繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使，連接，點是中點，連接，探索的值并直接寫出結(jié)果．例34.正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．〔1〕求證：EG=CG；〔2〕將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，請說明理由；〔3〕將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立通過觀察你還能得出什么結(jié)論〔均不要求證明〕．例35.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD〔不含B點〕上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．〔1〕求證：△AMB≌△ENB；〔2〕①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最??；②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；〔3〕當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長．例36.如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答以下問題：〔1〕如果AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點D在線段BC上時〔與點B不重合〕，如圖乙，線段CF，BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點D在線段BC的延長線時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么〔2〕如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC〔點C，F(xiàn)重合除外〕畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．〔畫圖不寫作法〕〔3〕假設(shè)AC=4，BC=3，在〔2〕的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．例37.：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD．探究以下問題：〔1〕如圖1，當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3，且∠ACB=60°，則CD=；〔2〕如圖2，當(dāng)點D與點C位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6，且∠ACB=90°，則CD=；〔3〕如圖3，當(dāng)∠ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求CD的最大值及相應(yīng)的∠ACB的度數(shù)．例38.在△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD’E’〔使∠BCE′＜180°〕，連接AD′、BE′，設(shè)直線BE′與AC交于點O．〔1〕如圖1，當(dāng)AC=BC時，AD′：BE′的值為；〔2〕如圖2，當(dāng)AC=5，BC=4時，求AD′：BE′的值；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)∠ACB=60°，且E為BC的中點，求△OAB面積的最小值．例39.將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，得，即如圖①，.我們將這種變換記為[，].如圖①，對作變換[60°，]得，則_；直線與直線所夾的銳角為＿度．如圖②，中，，對作變換[，]得，使點，，在同一直線上，且四邊形為矩