廣東省茂名市重點中學2023-2024學年高三下學期3月月考數(shù)學試題理試題

廣東省茂名市重點中學2023-2024學年高三下學期3月月考數(shù)學試題理試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的可導函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．2．已知三棱錐且平面，其外接球體積為（）A． B． C． D．3．為比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差4．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．5．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．6．若等差數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．847．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關系為（）A． B．C． D．8．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點，，，且，若，則的最小正周期為（）A． B． C． D．10．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖，則此函數(shù)表達式為（）A． B．C． D．11．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知復數(shù)滿足，則的值為（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在定義域R上的導函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點,且,當在上與在R上的單調性相同時,則實數(shù)k的取值范圍是______.14．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.15．在的展開式中，常數(shù)項為________.(用數(shù)字作答)16．在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當為中點時，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在邊長為的正方形，分別為的中點，分別為的中點，現(xiàn)沿折疊，使三點重合，構成一個三棱錐.（1）判別與平面的位置關系，并給出證明；（2）求多面體的體積.18．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實數(shù)滿足.證明：.19．（12分）在極坐標系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點，求兩交點間的距離．20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線與曲線交于，兩點，線段的中點為．（1）求線段長的最小值；（2）求點的軌跡方程．21．（12分）設函數(shù).（1）若恒成立，求整數(shù)的最大值；（2）求證：.22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

構造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當時，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點睛】本小題主要考查構造函數(shù)法解不等式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.2、A【解析】

由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而求解.【詳解】由題,因為,所以,設,則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.3、C【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.4、D【解析】

利用函數(shù)的單調性、不等式的基本性質即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調性比較大小，考查不等式的性質，屬于基礎題.5、A【解析】

結合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項和公式應用，屬于中檔題6、B【解析】

由已知結合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求，，然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：因為，，所以，解可得，，，則．故選：B．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎題．7、A【解析】

設橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】

建立平面直角坐標系，將問題轉化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標系中，點，是第一象限內的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值．設，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程，進而根據(jù)軌跡方程構造不等關系求得最值.9、C【解析】

根據(jù)題意，知當時，，由對稱軸的性質可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【詳解】解：由于在區(qū)間有三個零點，，，當時，，∴由對稱軸可知，滿足，即.同理，滿足，即，∴，，所以最小正周期為：.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，涉及函數(shù)的對稱性的應用，考查計算能力.10、B【解析】

由圖象的頂點坐標求出，由周期求出，通過圖象經(jīng)過點，求出，從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點應對應正弦曲線中的點，所以，解得，故函數(shù)表達式為．故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質，三角函數(shù)的解析式等基礎知識；考查考生的化歸與轉化思想，數(shù)形結合思想，屬于基礎題.11、A【解析】

計算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復數(shù)在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的計算，意在考查學生的計算能力和理解能力.12、C【解析】

由復數(shù)的除法運算整理已知求得復數(shù)z，進而求得其模.【詳解】因為，所以故選：C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算與求復數(shù)的模，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可知：為上的單調函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質可知為上的增函數(shù)，則在，單調遞增，求導，則恒成立，則，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無解，則或恒成立，所以為上的單調函數(shù)，都有，則為定值，設，則，易知為上的增函數(shù)，，，又與的單調性相同，在上單調遞增，則當，，恒成立，當，時，，，，，，此時，故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，正弦函數(shù)的性質，輔助角公式，考查計算能力，屬于中檔題．14、4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當且僅當時取等.方法二：因為，所以，所以，當且僅當時取等.故答案為:.【點睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應用,考查學生對基本不等式的靈活使用,難度較易.15、【解析】

的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數(shù)項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.16、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質或三垂線定理，可判斷命題②；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設正方體的棱長為2.則:，，所以，設面的法向量為，則，即，令，則，設面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值.因為正方體的棱長為2，所以設點的坐標為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）平行，證明見解析；（2）.【解析】

（1）由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應是的一條中位線，利用線面平行的判定定理即可求證；（2）利用條件及線面垂直的判定定理可知，，則平面，在利用錐體的體積公式即可．【詳解】（1）證明：因翻折后、、重合，∴應是的一條中位線，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：∵，，∴面且，，，又，．【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理及錐體的體積公式，屬于基礎題．18、（1）或；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，利用零點分段法解不等式，或作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；（2）由（1）作出的函數(shù)圖像求出的最小值為，可知，代入中，然后給等式兩邊同乘以，再將寫成后，化簡變形，再用均值不等式可證明.【詳解】（1）解法一：1°時，，即，解得；2°時，，即，解得；3°時，，即，解得.綜上可得，不等式的解集為或.解法二：由作出圖象如下：由圖象可得不等式的解集為或.（2）由所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，正實數(shù)滿足，則，即，（當且僅當即時取等號）故，得證.【點睛】此題考查了絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質和均值不等式的運用，考查了分類討論思想和轉化思想，屬于中檔題.19、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【解析】

（1）直接利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉換關系可將曲線的方程化為直角坐標方程，進而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進而可得出.【詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【點睛】本題考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程之間的轉化，同時也考查了直線截圓所得弦長的計算，考查計算能力，屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】

（1）將曲線的方程化成直角坐標方程為，當時，線段取得最小值，利用幾何法求弦長即可.（2）當點與點不重合時，設，由利用向量的數(shù)量積等于可求解，最后驗證當點與點重合時也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標方程為即圓心，半徑，曲線為過定點的直線，易知在圓內，當時，線段長最小為當點與點不重合時，設，化簡得當點與點重合時，也滿足上式，故