數(shù)學達標訓練：向量的坐標表示

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎·鞏固1。設a=（-1,1)，b=（-1，2）,c=(3，-2),用a、b作基底，可將向量c表示為c=pa+qb，則（）A。p=—4，q=1B.p=1，q=—4C。p=0，q=4思路解析:由（3，—2)=p（—1，1）+q(-1，2)=(—p—q,p+2q)，所以解得p=-4，q=1.答案:A2.設A、B、C、D四點坐標依次是(-2，0)、（4,1)、(5,3)、(—1,2），則四邊形ABCD為（）A。正方形B。梯形C。菱形D.平行四邊形思路解析：如右圖所示，=（-1,2）-(—2,0）=(1，2）,=（5,3)-（4，1)=（1，2)，∴.由平面上兩點間距離公式可得AB≠AD,∴四邊形為平行四邊形.答案:D3。若a=（sinα，-),b=（cosα，）且a∥b，則鈍角α為(）A.30°B。60°C。45°D.135°思路解析：由a∥b，∴×sinα+×cosα=0，即sinα+cosα=0.∴tanα=-1.又∵α為鈍角，∴α=135°。答案:D4.若O(0，0)，B（1，3)，且,則B′點的坐標為（）A.(3,9）B.（—3，9）C。（—3，3)D.(3,-3）思路解析：由于點B坐標為（1，3),則=（1，3），則=3×(1,3）=（3，9）。答案:A5.O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足+λ（)，λ∈[0，+∞),則P的軌跡一定通過△ABC的()A。外心B.內心C。重心D。垂心思路解析：因與都為單位向量，所以λ（)平分與的夾角,如右圖所示，即平分∠A,即通過△ABC的內心.答案：B6.已知邊長為2的正方形ABCD，若A點與坐標原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸的正方向上，則向量的坐標為_____________________。思路解析：根據(jù)題意建立坐標系如圖，則A(0，0），B（2，0），C（2，2）,D（0，2)?！?（2，0)，=(0，2)，=(2，2)?！?（4,0）+(0，6)+(2，2）=（6，8)。答案：(6，8)7。已知a=（6，4），b=(4，—2),若λa+b與a+λb(λ∈R)平行，則λ=_________________.思路解析:λa+b=λ（6，4）+（4，-2）=（6λ+4，4λ-2）,a+λb=(6,4)+λ（4，—2)=(6+4λ，4-2λ）.∵(λa+b)∥（a+λb），∴(6λ+4)(4-2λ)-(6+4λ）（4λ—2）=0,即7λ2=7.∴λ=1或—1。答案：1或—18。D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的中點,且=a，=b,給出下列命題：①=—a-b；②=a+b;③=a+b；④=0。其中正確命題的序號為_______________________.思路解析：如右圖所示，=—b+=-b—a，=a+b，=—b—a，+=b+（-b-a）=b-a，=—b—a+a+b+b—a=0。所以應填①②④.答案：①②④9.已知A（1，2)，B(4，8），，,求點C、D和向量的坐標.思路分析:可利用某點的坐標與從原點出發(fā)的向量一一對應求解。解：∵=（4，8）-（1,2）=(3，6)，∴=（9，18）。∴=（1，2)+（9，18）=(10，20)，即C點坐標為(10,20）.又=-3(-3，—6)=（9，18)，∴=(1，2）-(9，18）=(—8，-16）,即D點坐標為（-8,-16）。=(-8，-16)—(10,20)=(—18,-36）.10.已知:A（1,-2），B（2，1)，C(3,2），D(—2,3)。（1）求證:A、B、C三點不共線；（2)以、為一組基底來表示。思路分析：利用向量的坐標運算及兩向量平行的充要條件.(1）證明：∵=(1,3),=（2，4）,又∵1×4-3×2≠0?！嗯c不共線.∴A、B、C三點不共線。（2)解：=(—3,5)+(—4，2）+(—5，1）=(—12,8)。設，即（—12,8)=（m+2n，3m+4n).∴∴.綜合·應用11。已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分別為CD、AB的中點，設=e1,=e2，以e1、e2為基底表示MN是（)A.-e1+e2B.e1—e2C。e1-e2D。e1+e2思路解析:把所求向量放入與基底相關的三角形或平行四邊形中，構造向量關系式求解。如右圖，.由于AB∥CD,且AB=2CD，M、N分別為CD、AB的中點，則=—=—e1,==e1.所以=—e1+e1—e2=e1—e2。答案：B12。已知向量a=（2，2),b=(2，—2)，c=(—2，4），則c等于（)A.—a+bB.a—bC。a—bD。-a+b思路解析：可設c=xa+yb，再利用向量相等建立方程解之即可.設c=xa+yb，則有(—2,4）=x（2，2)+y(2,-2)=(2x+2y，2x—2y)，即解之，得答案：B13.已知A（3，-1)，B(5，4)，向量p的坐標為(2k—1，7)，當p∥時，k的值是()A.—B。C.-D.思路解析:求出的坐標，利用向量平行的坐標表示列出方程組求解即可。=（5,4）-（3，-1)=（2,5)，又p=（2k-1,7)，且p∥，則有2×7—（2k—1)×5=0,解得k=。答案:D14。若向量a=（-1,x)與b=（—x,1)共線且方向相同，則x的值為______________.思路解析:∵a=（-1，x)與b=(—x，1）共線,∴（-1)×1—x·(—x）=0,即x2=1.∴x=±1?！遖與b方向相同,∴x=1。答案：115.如圖，在△ABC中，=a，=b，AD為邊BC的中線，G為△ABC的重心，則向量=_______________.思路解析：方法一：∵=a,=b，則==b.∴=a+b.而=,∴=a+b。方法二：過G作BC的平行線，交AB、AC于E、F.∵△AEF∽△ABC，==a，==b，==b,∴=a+b。答案：a+b16。已知向量集合M=｛a｜a=（1，2）+λ(3,4），λ∈R｝，N={a|a=（-2,—2）+λ（4,5）,λ∈R｝，則M∩N=______。思路解析:利用M∩N的元素特殊,列出方程組求解.M={a｜a=（1+3λ，2+4λ),λ∈R｝,N={a｜a=(-2+4λ,-2+5λ）,λ∈R｝，M∩N的元素既在M內又在N內，故可設(1+3x，2+4x）=（—2+4y,-2+5y)，x、y∈R，即解得所以M∩N={(—2，2)｝。答案：｛(—2,2)｝17.證明三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍。思路分析：利用向量的方法證明平面幾何問題.證明：設=b，=a，則=b+a，=b+a?！逜、G、D共線，B、G、E共線,∴可設=λ，=μ,則=λ=λ(b+a)=λb+λa，=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵，即b+（μb+μa）=λb+λa,∴（μ-λ)a+(μ—λ+)b=0?！遖，b不平行，∴=,即三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍。回顧·展望18。（2006全國高考)已知向量a=（4,2),b=(x，3),且a∥b，則x等于(）A.9B。6C.5思路解析：由于a=(4，2），b=（x，3),則若a∥b,應有4×3—2x=0，即x=6。答案：B19.(2006山東高考)設向量a=(1,-3）,