初中數(shù)學教案2.6利用三角函數(shù)測高

2.6利用三角函數(shù)測高

教學內(nèi)容：

教育出版社?五四學制初中數(shù)學，九年級上冊第51頁一53頁。

教學目標：

1.會利用三角函數(shù)的知識測量物體的高度.

2.在制作儀器、設計方案、測量計算、撰寫報告的過程中，分析

問題，解決問題，發(fā)展數(shù)學思維.

3.培養(yǎng)學生認真、細致、嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.

教學準備：

學生自制測傾器，皮尺等測量工具，測量報告

教學過程：

一、復習回顧，引入新課

我們學習了利用全等三角形測高，利用相似三角形測高，今天我

們來學習利用三角函數(shù)測高。

1.仰角、俯角；2.直角三角形邊角間的關系；3.特殊角的三角函

數(shù)值。

二、探究活動

活動一：展示自制的測傾器

支桿的中心線、鉛垂線、?？潭染€要重合，否則測出的角度就不

準確.度盤的頂線尸0與支桿的中心線、鉛垂線、?？潭染€要互相垂

直，并且度盤有一個旋轉(zhuǎn)中心是鉛垂線與尸0的交點.當度盤轉(zhuǎn)動時，

鉛垂線始終垂直向下.

活動二：測量傾斜角

(1)把測角儀的支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線

和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線尸0在水平位置區(qū)記下此

時鉛垂線指的度數(shù).那么這個度數(shù)就是較高目標"的仰角.

如圖，要測點M的仰角，我們將支桿豎直插入地面，使支桿的中

心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線留在水平

位置.我們轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準目標的此時鉛垂線指向一

個度數(shù).即的度數(shù).根據(jù)圖形我們不難發(fā)現(xiàn)N物狀氏90°，

而NBA步/PA廬90°,即N序夕都是N物〃的余角，根據(jù)同角

的余角相等，得N=/必氐因此讀出〃的度數(shù)，也就讀出了

仰角N為少的度數(shù).

活動三：測量底部可以到達的物體的高度.

“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與

被測物體底部之間的距離.

“'、、、

、、小、

要測旗桿的V的高度，可按下列步驟進行：(如下圖)

(1)在測點A處安置測傾器(即測角儀)，測得〃的仰角乙“a.

(2)量出測點/到物體底部N的水平距離力滬

(3)量出測傾器(即測角儀)的高度/ea(即頂線產(chǎn)0成水平

位置時一，它與地面的距離).根據(jù)測量數(shù)據(jù)，就能求出物體的V的高度.

、

E工----豆，、C

在Rt△也中，ZMC^a,AN-EOX,所以tana=蟠，即

EC

/於tana?EC=1?tana.

又因為NE=AC=a,所以MN=ME+EI^1?tana+a.

活動四：測量底部不可以到達的物體的高度.

所為“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被

測物體的底部之間的距離.例如測量一個山峰的高度.

可按下面的步驟進行(如圖所示)：

(1)在測點A處安置測角儀，測得此時物體/股的頂端"的仰角

NMC及a.

(2)在測點力與物體之間的夕處安置測角儀(爾夕與N都在同

一條直線上)，此時測得〃的仰角乙喉￡.

(3)量出測角儀的高度AOBD-a,以及測點A,夕之間的距離AB-b

根據(jù)測量的膽的長度，/C、物的高度以及/腔、/加￡的大小，

根據(jù)直角三角形的邊角關系.即可求出物V的高度.

在RtZU/fiT中，/MC存a,則tana=逛，E(=--,

ECtana

在Rt△板中，乙監(jiān)廬￡則tan￡二也，吩士幺；

EDtan0

根據(jù)84比6,且。心吩8.所以偵-理■=/>,焰，b

tanatan/?_____1

tanatan/?

h

MN=}1+a即為所求物體冊的高度.

tanatan/?

二、鞏固練習

1.以測“圍墻內(nèi)東原閣的高度”為例，若測得Na和/￡的度

數(shù)分別人30°和60°,AB的長度為14米，求閣樓的高度MN.

2.如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑

物頂端M的仰角為30°,向N點方向前進16m到達B處，在B處測

得建筑物頂端M的仰角為45°,求建筑物MN的高度.（保留根號）

題圖

3.變式練習

將問題分解為：

①我們在建筑物前方的熱氣球A處，利用所學知識說明，需要測

出哪幾個數(shù)據(jù)，便可計算出BC高度?

②從熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部的仰

角為45°,看這棟高樓底部的俯角為60°,A處與高樓的水平距離

為60m,這棟高樓有多高？

三、課堂小結

我們這節(jié)課學習了什么？有什么收獲？給同學分享一下。

引導學生梳理課堂知識，整理課堂筆記。

四、拓展作業(yè)

豐富完善測量報告.

2.6利用三角函數(shù)測高

［學情分析］

學生的知識技能基礎：通過前面的學習，學生已經(jīng)學習了直角三

角形中量與量之間的三個關系：邊與邊的關系（勾股定理）；角與角

的關系（直角三角形兩銳角互余）；邊與角的關系（正弦、余弦、正

切）.并能夠利用這三個關系，在直角三角形中進行一些簡單計算，

而且能根據(jù)生活中的一些情景，用所學知識解決一些簡單的實際問

題.

學生活動經(jīng)驗：在以前的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了一些測量活

動，解決了一些簡單的現(xiàn)實問題，獲得了從事測量活動所必須的一些

數(shù)學活動經(jīng)驗的基礎，及在合作學習的過程，具有了一定的合作學習

的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力.并對用數(shù)學有相當?shù)呐d趣

和積極性.不過學生探究和解決問題的能力畢竟有限，尚待加強.本節(jié)

課主要是在學生原有認知能力的基礎上，進一步學習用銳角三角函數(shù)

解決實際問題，經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的過程，建立相應的

數(shù)學模型，以提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

2.6利用三角函數(shù)測高

【效果分析】

本節(jié)課從生活中的實際問題入手，建立數(shù)學與生活的聯(lián)系，能把

生活問題數(shù)學化，會用數(shù)學的眼光去分析問題，解決問題.培養(yǎng)學

生的實踐能力和應用能力。

從實事求是出發(fā)，本節(jié)課的最初設計想法是很好的，讓學生自己

動手做了簡單的測傾器，讓學生自己設計了簡單的測量方案，引導學

生將實際問題數(shù)學化，利用直角三角形的邊角關系，解直角三角形,

從而測量出底部可到達和底部不可到達的物體的高度。課堂上有很多

學生都能主動參與其中，說、測、議、算、結，處處都能感受到孩子

們思維的躍動。學生興趣較高，教學效果較好。

但也有不少學生參與程度上有欠缺，運用數(shù)學知識解決問題的能

力要差一些。其原因在于對知識的理解表面化，知識基礎不扎實。

在以后的教學過程中，我將致力于數(shù)學活動課的研究，廣泛開展

小組教學，充分發(fā)揮學生的積極性和主動性，在夯實基礎知識的同時,

培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的興趣和能力。

2.6利用三角函數(shù)測高

【教材分析】

本節(jié)課是第二章第六節(jié)，安排在銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函

數(shù)值和解直角三角形之后，是對直角三角形邊角關系的綜合運用，旨

在引導學生運用數(shù)學知識分析解決問題。

一、制作簡單的測傾器，用測傾器測量傾斜角

1.簡單的側(cè)傾器由度盤、鉛錘和支桿組成

2.使用測傾器測量傾斜角的步驟：

①把支桿豎直插入地面，使支架的中心線、鉛錘線和度盤的0°

刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置。

②轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準目標M,記下此時鉛垂線所指的

讀數(shù)，即為所測目標的傾斜角。

二、測量底部可以直接到達的物體的高度。

所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與

被測物體的底部之間的距離.

三、測量底部不可以直接到達的物體的高度。

所謂“底部不可以到達”，就是在地面上不可以直接測得測點與被測

物體之間的距離。

目的在于引導學生建立直角三角形的數(shù)學模型，運用方程思想，

數(shù)學形結合思想分析問題、解決問題。

2.6利用三角函數(shù)測高

【評測練習】

1.以測“圍墻內(nèi)東原閣的高度”為例，若測得Na和/￡的度

數(shù)分別人30°和60°,AB的長度為14米，求閣樓的高度MN.

2.如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑

物頂端M的仰角為30°,向N點方向前進16m到達B處，在B處測

得建筑物頂端M的仰角為45°,求建筑物MN的高度.（保留根號）

題圖

3.變式練習

將問題分解為：

①我們在建筑物前方的熱氣球A處，利用所學知識說明，需要測

出哪幾個數(shù)據(jù)，便可計算出BC高度？

②從熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部的仰

角為45°,看這棟高樓底部的俯角為60°,A處與高樓的水平距離

為60m,這棟高樓有多高？

2.6利用三角函數(shù)測高

【教學反思】

數(shù)學活動最大的特點就是實踐性，讓學生積極主動地參與其中，

從說想法設計方案，到依照方案動手測量，再到抽象出數(shù)學圖形分析

計算，最終解決問題，讓數(shù)學為生活服務，這也是數(shù)學教學的初衷.

本節(jié)課提前布置了預習，學生設計了初步的測量方案，擬定了簡

單的測量報告，課堂上教師組織學生匯報分享自己的方案，在獨學、

對學、群學的過程中，交換想法、碰撞思維、質(zhì)疑驗證，達到深化數(shù)

學知識，掌握方法，形成技能，解決問題的目的。

反思本節(jié)課的實際教學，可以看出，學生平時對數(shù)學活動課上得

很少，課前準備不足，不能很好地處理教材與實踐的關系，不少學生

無從下手，這些都源于教師的指導不到位，都源于教師平時只關注用

數(shù)學知識解題，沒關注數(shù)學知識的應用。所以讓學生課堂動口說、動

腦想、動手做、用數(shù)學的目的沒能達到預期，把活動課上成純數(shù)學的

計算課，實踐性突出不夠。這是我本節(jié)課最大的收獲，也是我在以后

的教學過程中必須要引起重視，