《4.4 數(shù)學(xué)歸納法》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》學(xué)習(xí)任務(wù)單“蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第4章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法”學(xué)習(xí)任務(wù)單【學(xué)習(xí)內(nèi)容】蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第4章數(shù)列中4.4數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)內(nèi)容?！疚业哪繕?biāo)】1、理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，就像理解一個(gè)魔法公式的奧秘一樣。2、能夠用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與自然數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單命題，就像掌握一種新的解題魔法。【重難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，知道每個(gè)步驟都像魔法儀式中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。難點(diǎn)：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，為什么這樣就能證明對(duì)所有自然數(shù)都成立呢，這就像解開(kāi)一個(gè)神秘的魔法邏輯?！疚业难芯俊?、先來(lái)看看簡(jiǎn)單的例子：求1＋2＋3＋．．．＋n的和。我們先猜猜這個(gè)和的表達(dá)式可能是什么?？梢栽囍銕讉€(gè)小的n的值，比如n＝1時(shí)，和是1；n＝2時(shí)，和是1+2＝3；n＝3時(shí)，和是1＋2+3＝6。你能猜出這個(gè)和的表達(dá)式嗎？假如我們猜這個(gè)和是n(n＋1)／2，那怎么證明這個(gè)式子對(duì)所有的自然數(shù)n都成立呢？這時(shí)候數(shù)學(xué)歸納法就該登場(chǎng)啦。第一步：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊是1，右邊是1×（1＋1)／2＝1，左邊等于右邊，這就像打開(kāi)魔法大門的第一把鑰匙。第二步：假設(shè)當(dāng)n＝k（k是一個(gè)自然數(shù)）時(shí)，這個(gè)式子成立，也就是1+2+3+．．．＋k＝k(k＋1)／2。這就像我們站在了一個(gè)魔法臺(tái)階上。第三步：我們要證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，式子也成立。那1+2+3+．．．＋k+（k＋1)就等于k(k＋1)／2+（k＋1)，經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單的魔法變形（化簡(jiǎn)），會(huì)發(fā)現(xiàn)它等于(k＋1)（k＋2)／2，這就說(shuō)明當(dāng)n＝k+1時(shí)式子也成立啦。就像我們從一個(gè)魔法臺(tái)階邁向了更高的一個(gè)臺(tái)階。2、再試試用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)命題：對(duì)于所有的自然數(shù)n，n^2n是偶數(shù)。第一步：當(dāng)n＝1時(shí)，n^2n＝1^21＝0，0是偶數(shù)，這是我們的第一步驗(yàn)證。第二步：假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，k^2k是偶數(shù)，我們可以設(shè)k^2k＝2m（m是整數(shù)），這是我們的假設(shè)魔法。第三步：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，（k＋1)＾2-（k＋1)＝k^2＋2k+1k1＝k^2＋k＝（k^2k)＋2k。因?yàn)槲覀兗僭O(shè)k^2k是偶數(shù)，2k也是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)還是偶數(shù)，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，式子也成立。3、自己找一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單命題，然后試著用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它。在這個(gè)過(guò)程中，你可能會(huì)遇到一些小怪獸（困難），把它們記下來(lái)哦。【組內(nèi)過(guò)關(guān)】（課內(nèi)完成）1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3+5+．．．＋（2n1)＝n^2。第一步：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊是1，右邊是1^2＝1，左邊等于右邊。第二步：假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，1+3+5+．．．＋（2k1)＝k^2。第三步：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1+3+5+．．．＋（2k1)＋（2(k＋1)－1)＝k^2+（2k＋1)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后看是否等于(k＋1)＾2。2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：2＋4+6+．．．＋2n=n(n＋1)。第一步：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊是2，右邊是1×（1＋1)＝2，左邊等于右邊。第二步：假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，2＋4+6+．．．＋2k=k(k＋1)。第三步：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2+4+6+．．．＋2k+2(k＋1)，將其化簡(jiǎn)看是否等于(k＋1)（k＋2)?！井?dāng)堂檢測(cè)】（課內(nèi)完成）1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2+2×3+3×4+．．．＋n(n＋1)＝n(n＋1)（n＋2)／3。第一步：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊是1×2＝2，右邊是1×（1＋1)×（1+2)／3＝2，左邊等于右邊。第二步：假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，1×2+2×3+3×4+．．．＋k(k＋1)＝k(k＋1)（k＋2)／3。第三步：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×2+2×3+3×4+．．．＋k(k＋1)＋（k＋1)（k＋2)，將其化簡(jiǎn)看是否等于(k＋1)（k＋2)（k＋3)／3。2、試著找出下面這個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中的錯(cuò)誤：命題：對(duì)于所有的自然數(shù)n，n=n＋1。證明：第一步：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊是1，右邊是1+1＝2，好像不太對(duì)，但是我們先按照錯(cuò)誤的思路走下去。第二步：假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，k＝k＋1成立。第三步：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊是k＋1，右邊是(k＋1)＋1＝k＋2。因?yàn)槲覀兗僭O(shè)k＝k＋1，那么k+1=（k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立。（這里的錯(cuò)誤在哪里呢？大家好好思考一下）答案：【組內(nèi)過(guò)關(guān)】1、當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1+3+5+．．．＋（2k1)＋（2(k＋1)－1)＝k^2+（2k＋1)＝（k＋1)＾2，證明成立。2、當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2+4+6+．．．＋2k+2(k＋1)＝k(k＋1)＋2(k＋1)＝（k＋1)（k＋2)，證明成立?！井?dāng)堂檢測(cè)】1、當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×2+2×3+3×4+．．．＋k(k＋1)＋（k＋1)（k＋2)＝k(k＋1)