勞斯判據(jù)的證明_第1頁
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word文檔可自由復(fù)制編輯1、勞斯判據(jù)證明思路：（1）將給定的描述系統(tǒng)運動的高階齊次微分方程變換為齊次狀態(tài)方程．（2）給定對稱正定（或非負(fù)定）矩陣Ｑ，根據(jù)式,求出相應(yīng)的矩陣Ｐ（3）由要求矩陣Ｐ為正定的條件證明赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)2、赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)證明．（1）（2）設(shè)在輸入信號為零的情況下，系統(tǒng)的齊次微分方程為（3）式（3）的系數(shù)行列式為：赫爾維茨判據(jù)為：系數(shù)行列式的各階順序主子式大于0.證明：首先將系統(tǒng)的高階微分方程寫成狀態(tài)方程的形式．選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為令，則式（2）等價于下列狀態(tài)方程：，其中(4)該矩陣特點是：主對角線上除最后一個元素外，其余元素均為0；主對角線以上各元素為1；主對角線以下各元素從第二行開始依次為-bn到-b1。其次，應(yīng)給定矩陣Ｑ，并根據(jù)式（2）去求矩陣P設(shè)(5)這是一個對稱非負(fù)定矩陣，由此可知李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。只要x1，x2，…，xn不全都為零，則，于是不可能恒為零．所以按式（4）選定的矩陣Ｑ是合理的．再假設(shè)矩陣Ｐ是對角線矩陣(6)將式（４）、式（5）、式（6）代人式（２），即可得最后檢驗矩陣Ｐ的正定性．如欲系統(tǒng)的半衡點是大范圍漸近穩(wěn)定的，則矩陣Ｐ應(yīng)是正定的，亦即矩陣Ｐ主對角線上各元素均應(yīng)大于零，即有?？紤]到（ｉ＝１，２，…，n）的關(guān)系，也就是要滿足以下不等式的條件>0……由此易知，只要滿足同時大于0，矩陣Ｐ就是正定的．此時，由式（3）所描述的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，這正是赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的結(jié)論。從而證明了赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。3、勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)的等價性式（3）的特征方程為：

其系數(shù)的赫爾維茨判據(jù)的主次排列的主子行列式為

其中，當(dāng)時，系統(tǒng)勞斯陣列形式為

第一列的第一項為1，第二項為，第三項為，第四項為

用此法，可求出第一列其他余項。

勞斯陣列有一性質(zhì)：任意一列最后的非零項都是相同的。如給定陣列為

則

第一列最后一項

所以當(dāng)系統(tǒng)行列式滿足時，同時也就

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