備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題33直線、平面平行的判定與性質(zhì)6題型分類(原卷版+解析)

專題33直線、平面平行的判定與性質(zhì)6題型分類1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b常用結(jié)論1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.（一）直線與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點)．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．題型1：直線與平面平行的判定1-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，分別為的中點，連接．當(dāng)為上不與點重合的一點時，證明：平面.1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．求證：平面.

1-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是菱形，，分別是，的中點．求證：平面.1-4．（2024高三·全國·對口高考）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對角線、上的點，且．求證：平面．

1-5．（2024·陜西安康·三模）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．

(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離.1-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱臺的底面是菱形，且，平面，，，.

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.題型2：直線與平面平行的性質(zhì)2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為.點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面.證明：.

2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．若平面平面，證明：.2-4．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點．

(1)平面平面，證明：．(2)當(dāng)直線與平面的夾角為時，求三棱錐的體積．（二）平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當(dāng)已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個平面的交線．題型3：平面與平面平行的判定3-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．求證：平面平面.3-2．（2024高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分別為AD，PA的中點，證明:平面BMN//平面PCD.3-3．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．題型4：平面與平面平行的性質(zhì)4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

4-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．（三）解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．題型5：探索性問題5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，點在線段（含端點）上運動，設(shè)．當(dāng)平面時，求實數(shù)的值.5-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．當(dāng)為多少時，直線平面？5-3．（2024高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知正方體中，?分別為對角線?上的點，且．（1）求證：平面；（2）若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明．（四）平行關(guān)系的綜合應(yīng)用證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．題型6：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用6-1．（2024高二上·山西朔州·期中）如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若四邊形EFGH為平行四邊形.(1)求證：平面；(2)若，，求四邊形周長的取值范圍.6-2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖所示的幾何體是由圓錐與圓柱組成的組合體，其中圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，圓錐的高，M為圓柱下底面圓周上異于A，B的點．(1)求證：∥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．6-3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，，，，，分別是，上的點，且，現(xiàn)將四邊形沿向上折起成直二面角，設(shè).(1)若，在邊上是否存在點，滿足，使得平面？若存在，求出；若不存在，說明理由.(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求點到平面的距離.6-4．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，的中點分別為，點在上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的大小.一、單選題1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線和平面，那么能得出//的一個條件是（

）A．存在一條直線，//且B．存在一條直線，//且C．存在一個平面，且//D．存在一個平面，//且//2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2024高一下·江蘇常州·期末）若、是兩個不重合的平面，①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；②設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則.以上說法中成立的有（

）個.A．0 B．1 C．2 D．35．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，則6．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知立方體ABCD－A′B′C′D′，點E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是（）A．0 B．2C．4 D．67．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果，表示直線，，表示平面，那么下列說法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)是線段上的兩個動點，平面，則的長度為（

）

A． B． C． D．29．（2024高一·全國·課后作業(yè)）直線a與平面不平行，則內(nèi)與a平行的直線有（

）A．無數(shù)條 B．0條 C．1條 D．以上均不對10．（2024高三·全國·對口高考）過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面（

）A．不存在 B．只有一個 C．有無數(shù)個 D．不能確定11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．b∥α C．b?α D．b∥α或b?α12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）是平面外的一條直線，下列條件中可得出的是A．與內(nèi)的一條直線不相交B．與內(nèi)的兩條直線不相交C．與內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D．與內(nèi)的所有直線不相交13．（2024·全國）設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面14．（2024·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面15．（2024·全國）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面16．（2024高一下·四川成都·期末）在底面為等邊三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中點，M是四邊形內(nèi)的動點，若平面ABD，則線段長度的最小值為（

）A． B．2 C． D．17．（2024高二上·浙江杭州·期中）如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,、分別為線段、上一點，若,且平面，則

A． B．C． D．18．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線，直線，則a∥αD．若直線a∥b，，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線19．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知A、B、C、D是不共面四點，M、N分別是、的重心．以下平面中與直線平行的是（

）①平面；

②平面；

③平面；

④平面．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④20．（2024高三下·湖南岳陽·開學(xué)考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個命題：①，，則；②若，，則；③，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則.其中真命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1重難點專題04空間直線平面的平行-【同步題型講義】）如圖，點、、、、為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

22．（2024高一上·廣西崇左·期末）過直線外兩點，作與平行的平面，則這樣的平面（）A．不可能作出 B．只能作出一個C．能作出無數(shù)個 D．上述三種情況都存在二、填空題23．（2024高一下·山東東營·階段練習(xí)）以下四個命題中，真命題是（只填真命題的序號）.①若a，b是兩條直線，且，則a平行于經(jīng)過b的任何平面；②若直線a和平面滿足，則a與內(nèi)的任何直線平行；③若直線a，b和平面滿足，，則；④若直線a，b和平面滿足，，，則.24．（2024高二上·江西贛州·階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別為PA，PD，CD的中點，則BC與平面EFG的位置關(guān)系為.25．（2024高三·全國·對口高考）如圖所示，已知是平行四邊形，點P是平面外一點，M是的中點，在上取一點G，過G和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是．

26．（2024高一下·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別為線段上一點，若，且平面，則.

27．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）正方體中，為的中點，則與過，，三點的平面的位置關(guān)系是．28．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）在中，，，，是重心，過的平面與BC平行，，，則．三、解答題29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，E為PB的中點.證明：平面.

30．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，為線段的中點，平面與棱相交于點.求證：.31．（2024高三·全國·專題練習(xí)）四棱錐中，底面為矩形，平面與平面的交線為，求證：直線平行于平面.32．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，為棱的中點.證明：平面.

33．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，分別為的中點，平面與底面的交線為.證明：平面.

34．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，分別是下底面圓，上底面圓的直徑，是圓柱的母線，為圓上一點，為上一點，且平面.求證：.35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，四邊形為空間四邊形的一個截面，若截面為平行四邊形.求證：平面.36．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，．求證：平面平面.

38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.點在線段上，且平面，試確定點的位置.39．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設(shè)平面與平面相交于直線，求證：.40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點．41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

42．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，為點在平面上的射影，為的中點．證明：平面.

43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．證明：平面.

44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面，，，，、分別為棱、的中點，，．求證：平面.

45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，四邊形為矩形，為棱的中點，與交于點，為的重心.求證：平面.

46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，求證：平面；47．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，E、F分別是、的中點.求證：平面.

48．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，為的中點.求證：平面.

49．（2024高一·全國·課后作業(yè)）長方體中，是矩形的中心，是矩形的中心．證明：平面.50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在多面體中，四邊形是正方形，為的中點，求證：直線平面.

51．（2024高三上·陜西漢中·期末）如圖，在三棱柱中，平面，且，點是棱的中點.

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.52．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，點D是棱的中點．求證：∥平面.

53．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在如圖所示的三棱錐中，已知為的中點，為的中點，為的中點.證明：平面.

54．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點．求證：直線平面ABCD.

55．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點F，．證明：平面PBC.

56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，點為的中點．求證：平面.

57．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點，，，沿將翻折到的位置，如圖2.證明：平面.

58．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，為邊的中點，異面直線與所成的角為．在直線上找一點，使得直線平面，并求的值.

59．（2024高二·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.求證：平面；

60．（2024·四川南充·三模）如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點．(1)證明：；(2)若，為線段上的一點，且，求證：平面平面．61．（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點，，，.證明：平面.62．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．證明：.63．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．證明：平面.

64．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且．求證：平面.65．（2024高一下·北京大興·期末）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點.

(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由.66．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，分別為棱的中點，為線段的中點.證明：平面.

67．（貴州省黔西南州2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，是棱的中點.

(1)證明：平面；(2)若正方體棱長為2，求三棱錐的體積.68．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，平面，點是棱的中點，點是棱上的一點，且．

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．69．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點.

(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為1，求.70．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在三棱柱中，平面與棱交于點，求證：.71．（2024高一下·浙江·期中）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點，為中點.(1)求證：平面；(2)已知點在上滿足平面，求的值成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題33直線、平面平行的判定與性質(zhì)6題型分類1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥α性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b常用結(jié)論1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.（一）直線與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點)．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．題型1：直線與平面平行的判定1-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，分別為的中點，連接．當(dāng)為上不與點重合的一點時，證明：平面.【答案】證明見解析【分析】由三角形中位線的性質(zhì)得到，即可得證.【詳解】因為分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】首先證明平面，平面，即可得到平面平面，從而得證.【詳解】因為四邊形是矩形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，因為，、平面，則平面平面，因為平面，所以平面．1-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是菱形，，分別是，的中點．求證：平面.【答案】證明見解析【分析】先證明四邊形是平行四邊形，可得，再由線面平行的判定定理求解即可.【詳解】取中點，連接，因為分別是的中點，、所以，又因為底面是菱形，是的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．1-4．（2024高三·全國·對口高考）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對角線、上的點，且．求證：平面．

【答案】證明見解析【分析】過點作交于點，連接，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：過點作交于點，連接，

因為，則，又因為，則，所以，，因為四邊形為矩形，則，所以，，因為，平面，平面，所以，平面，因為，平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，所以，平面.1-5．（2024·陜西安康·三模）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．

(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接DE，推導(dǎo)四邊形BEDF是平行四邊形，從而得到，再得到，從而平面BFG，平面BFG，進而得到平面平面BFG，因此得證平面；（2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足為M，則，進而得到平面BFG，即的長是點C到平面BFG的距離，再利用等面積法求解即可.【詳解】（1）連接，∵是正方形，，分別是棱，的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，∵，直線在平面內(nèi)，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）∵平面，，∴平面，過C在平面內(nèi)，作，垂足為，則，∵，又直線FG，BF在平面內(nèi)，∴平面，∴的長是點C到平面的距離，∵中，，∴由等面積可得，∴點C到平面的距離為.1-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱臺的底面是菱形，且，平面，，，.

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，根據(jù)，可證得四邊形為平行四邊形，由此可得，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）由，可證得平面，利用體積橋可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點，連接，幾何體為四棱臺，四點共面，且平面，平面，平面平面，；四邊形和均為菱形，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接交于，平面，平面平面，平面，又平面，，，，平面，平面；四邊形為菱形，，，，.

題型2：直線與平面平行的性質(zhì)2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面平面，證明：.

【答案】證明見解析【分析】先證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理求解即可.【詳解】因為為菱形，所以平面平面，所以平面，又因為平面，且平面平面，所以．2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為.點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面.證明：.

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理及平行線的傳遞性即可證明.【詳解】因為∥平面，平面，且平面平面，所以∥,因為∥平面，平面，且平面平面，所以∥，所以∥.2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．若平面平面，證明：.【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)圖1中幾何關(guān)系，得到，進而得平面，可證.【詳解】在圖1中，因為，，，所以，，又，所以，因為，，所以，故，在圖2中，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以；2-4．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點．

(1)平面平面，證明：．(2)當(dāng)直線與平面的夾角為時，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；（2）過點作的垂線，垂足為，所以平面，由題意可求得直線與平面的夾角為，可得點為中點，由等體積法求解即可.【詳解】（1）因為平面平面，所以平面，平面，又因為平面平面，所以．（2）過點作的垂線，垂足為，則，因為平面，所以平面，所以直線與平面的夾角為，又，設(shè)，則，所以，所以，所以M為CD中點，E為PC中點，

因為平面，所以平面，所以，又因為，，平面，所以平面，所以點到平面的距離為，故（二）平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理．②利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．③利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．(2)當(dāng)已知兩平面平行時，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個平面的交線．題型3：平面與平面平行的判定3-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【分析】連接交于，連接，即可得到，從而證明平面，再說明四邊形是平行四邊形得到，即可得到平面，從而得證.【詳解】連接交于，連接，則為的中點，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面．3-2．（2024高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD=60°，M，N分別為AD，PA的中點，證明:平面BMN//平面PCD.【答案】證明見解析【分析】先證PM⊥平面ABCD再以M為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面BMN與平面PCD的法向量，判斷法向量是否平行即可證明．【詳解】證明連接BD，PM，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BM⊥AD，又PA=PD，M為AD的中點，∴PM⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD，∴以M為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=PD=2a，CD=b，則B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，-a，a)，∴=(0，-a，a)，=(2a，0，0)，=(b，2a，-2a)，=(0，2a，-2a)，設(shè)是平面BMN的法向量，是平面PCD的法向量，則由，，得令y1=1，則x1=0，z1=1，∴是平面BMN的一個法向量，同理，由，，得令y2=1，可得x2=0，z2=1，∴是平面PCD的一個法向量，∵，∴平面BMN//平面PCD．3-3．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理和面面垂直的判定即可求解；（2）根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】（1）因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O所以O(shè)為AC中點，點E是棱PA的中點，F(xiàn)分別是棱PB的中點，所以O(shè)E為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.（2）因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因為底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，所以和均為直角三角形，所以，，所以，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)體積相等法可知，所以，所以.，故三棱錐的體積為.題型4：平面與平面平行的性質(zhì)4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.【答案】證明見解析【分析】由面面平行的性質(zhì)得到線線平行.【詳解】因為平面平面，四點共面，且平面平面，平面平面，所以．4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．求證：.

【答案】證明見解析【分析】先證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論.【詳解】因為在三棱柱中，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，.4-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)四棱柱性質(zhì)可證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明.【詳解】由四棱柱可知，，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，平面，平面；所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以.（三）解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法．題型5：探索性問題5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，點在線段（含端點）上運動，設(shè)．當(dāng)平面時，求實數(shù)的值.【答案】【分析】連接，交于點，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到，即可得到為的中點，從而得解.【詳解】如圖，連接，交于點，連接，為的中點，且平面平面，平面，平面，，為的中點，即實數(shù)的值為．5-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．當(dāng)為多少時，直線平面？【答案】.【分析】過點作交于點，過點作交于點，利用線面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理即得.【詳解】當(dāng)點是線段上靠近點的三等分點，即時，平面.過點作交于點，過點作交于點，連接，平面，平面，平面，，面，平面，平面，又，平面，平面，∴平面平面，平面，平面．∴，當(dāng)時，平面．5-3．（2024高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知正方體中，?分別為對角線?上的點，且．（1）求證：平面；（2）若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2）的值為，證明見解析．【分析】（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點，證明，，又平面，平面，證明平面；（2）是上的點，當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面平面，通過證明平面，又，平面．然后證明即可．【詳解】（1）連結(jié)并延長與的延長線交于點，因為四邊形為正方形，所以，故，所以，又因為，所以，所以．又平面，平面，故平面．（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r，能使平面平面．證明：因為，即有，故．所以．又平面，平面，所以平面，又，平面．所以平面平面．【點睛】本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，考查空間想象能力邏輯推理能力．（四）平行關(guān)系的綜合應(yīng)用證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．題型6：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用6-1．（2024高二上·山西朔州·期中）如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若四邊形EFGH為平行四邊形.(1)求證：平面；(2)若，，求四邊形周長的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面，得出，從而證明平面；（2）設(shè)，，由，，求出x?y的關(guān)系式，再求四邊形的周長l的取值范圍即可.【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴；∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴；又∵平面，平面，平面；（2）設(shè)，，由（1）可知，同理有，∴，，∴，又∵，，∴，∴，且；∴四邊形的周長為，∴；∴四邊形周長的取值范圍是.6-2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖所示的幾何體是由圓錐與圓柱組成的組合體，其中圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，圓錐的高，M為圓柱下底面圓周上異于A，B的點．(1)求證：∥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正切值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，連結(jié)，，證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）以O(shè)為原點，分別以，的方向為x軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，直線與平面所成角為，可得，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解．【詳解】（1）連結(jié)，，設(shè)圓錐的底面所在平面為，則，，所以S，，O三點共線．從而，所以點S，D，C，O共面．又因為，，所以四邊形為平行四邊形，故，因為M為圓柱下底面圓周上異于A，B的點，所以平面，又平面，所以平面．（2）如圖，以為原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，即，且，則，，，設(shè)平面的法向量，則，即，整理得，令，則．因為，所以，從而，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，故．因為，所以，從而，解得，所以直線與平面所成角的正切值的取值范圍為．6-3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，，，，，分別是，上的點，且，現(xiàn)將四邊形沿向上折起成直二面角，設(shè).(1)若，在邊上是否存在點，滿足，使得平面？若存在，求出；若不存在，說明理由.(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求點到平面的距離.【答案】(1)存在點，滿足使得平面.理由見詳解(2)【分析】（1）如圖，當(dāng)時，由題意可得且，進而，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用三棱錐的體積公式可得三棱錐，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，此時，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式求出，結(jié)合等體積法計算即可求解.【詳解】（1）存在，使得平面，此時.證明如下：當(dāng)時，過作，與交于，連接，則，又，得，因為，所以且，所以四邊形為平行四邊形，得，又平面，平面，所以平面.（2）由題意知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.由，得，所以三棱錐的體積為，當(dāng)時，三棱錐的體積取得最大值，最大值為3.此時，由平面，平面，得，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，得，設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得，即點到平面的距離為.6-4．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，的中點分別為，點在上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）連接、，設(shè)，根據(jù)，則即可求出，從而證明四邊形為平行四邊形，即可得到，從而得證；（2）利用勾股定理逆定理得到，再由，即可得到平面，即可得證；（3）過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點坐標(biāo)，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）連接、，設(shè)，則，，因為，，則，，解得，則為的中點，由分別為的中點，所以且，且，即且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，則，，所以，因此，則，有，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，在中，，在中，，即，設(shè)，所以由，可得，解得，所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，又平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，顯然為鈍角，所以，所以二面角的大小為.一、單選題1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線和平面，那么能得出//的一個條件是（

）A．存在一條直線，//且B．存在一條直線，//且C．存在一個平面，且//D．存在一個平面，//且//【答案】C【解析】根據(jù)線面平行的判定定理，可得結(jié)果.【詳解】在選項A，B，D中，均有可能在平面內(nèi)，錯誤；在C中，兩平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面，故C正確故選：C【點睛】本題考查線面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的判定一一判定即可.【詳解】對于A：內(nèi)有無數(shù)條直線與平行推不出∥，只有內(nèi)所有直線與平行才能推出，故A錯誤；對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯誤；對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯誤；對于D：因為垂直與同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．故選：D3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】分析：由直線與平面平行的判定定理即可.詳解：由直線與平面平行的判定定理知.EF與平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故與EF平行的平面有4個.點睛：考查直線與平面平行的判定，對定理的熟悉是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．（2024高一下·江蘇常州·期末）若、是兩個不重合的平面，①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；②設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則.以上說法中成立的有（

）個.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的判定定理可依次判斷得解.【詳解】對①，面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于面內(nèi)兩條直線，可得這兩條相交直線均平行于面，由平面與平面平行的判定定理可知①正確；對②，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線可得平面與平面垂直，②錯誤；對③，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知③正確.故選：C.5．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，則【答案】D【分析】ABC可舉出反例，D可利用線面平行的判定定理證得.【詳解】A選項，如圖1，滿足，，但不平行，A錯誤；

B錯誤，如圖2，滿足，，，但不平行，B錯誤；

C選項，如圖3，滿足，，，但不平行，C錯誤；

D選項，若，由線面平行的判斷定理可得，D正確.故選：D6．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知立方體ABCD－A′B′C′D′，點E，F(xiàn)，G，H分別是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中點，從中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是（）A．0 B．2C．4 D．6【答案】D【分析】先證明平面EFGH平面AB′D′進而得到從E，F(xiàn)，G，H中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù).【詳解】連接EG，EH，EF，F(xiàn)G，GH，F(xiàn)H，∵EHFG且EH＝FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．由EGAB′，AB′?平面AB′D′，平面AB′D′，可得EG平面AB′D′；EHAD′，AD′?平面AB′D′，平面AB′D′，可得EH平面AB′D′，又EG∩EH＝E，可得平面EFGH平面AB′D′.故平面EFGH內(nèi)的每條直線都符合條件，從E，F(xiàn)，G，H中任取兩點確定的直線中，與平面AB′D′平行的條數(shù)是6．故選：D．7．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果，表示直線，，表示平面，那么下列說法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)與判定逐個辨析即可.【詳解】A中，也可能成立；B中，，還有可能相交或異面；C中，也可能成立；由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知D正確.故選：D8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)是線段上的兩個動點，平面，則的長度為（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得出結(jié)果.【詳解】正方體，連接交于點O，連接，如圖所示，

∴平面，平面平面，平面，∴，又，∴為平行四邊形，則.故選：B.9．（2024高一·全國·課后作業(yè)）直線a與平面不平行，則內(nèi)與a平行的直線有（

）A．無數(shù)條 B．0條 C．1條 D．以上均不對【答案】D【分析】分為以及直線與平面相交，討論即可得出答案.【詳解】因為直線與平面不平行，所以直線與平面的關(guān)系有兩種，即以及直線與平面相交.當(dāng)時，顯然在內(nèi)與a平行的直線有無數(shù)條；當(dāng)直線與平面相交時，設(shè).當(dāng)，且時，此時，即直線、相交；當(dāng)，且時，可知直線、異面.綜上所述，當(dāng)直線與平面相交時，內(nèi)與a平行的直線有0條.所以，直線a與平面不平行，則內(nèi)與a平行的直線有無數(shù)條或0條.故選：D.10．（2024高三·全國·對口高考）過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面（

）A．不存在 B．只有一個 C．有無數(shù)個 D．不能確定【答案】D【分析】根據(jù)兩點所在的直線與已知直線的位置關(guān)系分類分析即可得結(jié)論.【詳解】過直線l外兩點作與l平行的平面，如果兩點所在的直線與已知直線相交,則這樣的平面不存在;如果兩點所在的直線與已知直線平行,則這樣的平面有無數(shù)個;如果兩點所在的直線與已知直線異面,則這樣的平面只有一個.因此只有D正確.故選：D.11．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．b∥α C．b?α D．b∥α或b?α【答案】D【分析】由線面平行的判定定理，分析可判斷【詳解】由a∥b，且a∥α，結(jié)合線面平行的判定定理，知b與α平行或b?α.故選：D12．（2024高一·全國·課后作業(yè)）是平面外的一條直線，下列條件中可得出的是A．與內(nèi)的一條直線不相交B．與內(nèi)的兩條直線不相交C．與內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D．與內(nèi)的所有直線不相交【答案】D【解析】根據(jù)線面平行的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】是平面外的一條直線，要使，則與平面無公共點，即與內(nèi)的所有直線不相交.故選D【點睛】本題主要考查線面平行，熟記線面平行的定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.13．（2024·全國）設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面【答案】B【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．14．（2024·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.15．（2024·全國）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：解：對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.16．（2024高一下·四川成都·期末）在底面為等邊三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中點，M是四邊形內(nèi)的動點，若平面ABD，則線段長度的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】取線段的中點為，連接，首先證明平面平面，然后可得點的軌跡是線段，然后可求出答案.【詳解】取線段的中點為，連接，因為側(cè)面為矩形，D是棱的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，同理平面，因為，所以平面平面，因為M是四邊形內(nèi)的動點，平面ABD，所以點的軌跡是線段，因為，，所以，，所以線段長度的最小值為.故選：D17．（2024高二上·浙江杭州·期中）如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,、分別為線段、上一點，若,且平面，則

A． B．C． D．【答案】D【分析】取PC的中點E,連接AE,EN,AC交BD于O,連接MO，可證明,從而可得平面平面，進而證出，從而可知,即可求解.【詳解】取PC的中點E,連接AE,EN,AC交BD于O,連接MO，

因為，PC的中點E所以,又O是的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因為平面PBC交平面，平面，且交線分別是，所以，所以故選D.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定與性質(zhì)，面面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.18．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線，直線，則a∥αD．若直線a∥b，，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【解析】根據(jù)直線與平面平行的判定及相關(guān)性質(zhì)，一一驗證各選項即可得出答案.【詳解】解：A項，若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l可能平行于平面α，也可能位于平面α內(nèi)，故A項錯誤；B項，直線a在平面α外，則直線a與平面α可能平行，也可能相交，故B錯誤；C項，直線，所以a可能與平面α相交或與平面α平行,故C項錯誤；D項，直線a∥b,,當(dāng)a∥α?xí)r,直線a與平面α內(nèi)所有與直線b平行的直線平行；當(dāng)時,除了直線a本身,直線a與平面α內(nèi)所有與直線b平行的直線平行,因此直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,故D項正確.故選：D.【點睛】本題主要考查直線與平面平行的判定及相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.19．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知A、B、C、D是不共面四點，M、N分別是、的重心．以下平面中與直線平行的是（

）①平面；

②平面；

③平面；

④平面．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】B【分析】由已知以及重心定理可推得，進而得到，根據(jù)線面平行的判定定理可得①②正確；進而可判斷直線與平面以及平面相交，即可得出③④錯誤.【詳解】如圖，取中點為，連結(jié)、.由已知以及重心定理可得，，，則，.所以，所以.因為平面，平面，所以平面，故①正確；因為平面，平面，所以平面，故②正確；因為平面，平面，所以與平面不平行，故③錯誤；因為平面，平面，所以與平面不平行，故④錯誤.故選：B.20．（2024高三下·湖南岳陽·開學(xué)考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個命題：①，，則；②若，，則；③，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則.其中真命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)空間中線線平行、線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】，，為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，①，，則，滿足直線與直線平行的傳遞性，所以①正確；②，，則，可能平行，可能相交，也可能異面，所以②不正確；③，，則，可能平行，也可能相交，所以③不正確；④，，則，滿足平面與平面平行的性質(zhì)，所以④正確；⑤，，則或，所以⑤不正確；⑥，，則或，所以⑥不正確；故選：C.21．（重難點專題04空間直線平面的平行-【同步題型講義】）如圖，點、、、、為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項．【詳解】對于A選項，如下圖所示，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，

因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，故A滿足；對于B選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，

因為、分別為、的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，故B滿足；對于C選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、，

因為且，、分別為、的中點，所以且，故四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，，則，所以，、、、四點共面，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，故C滿足；對于D選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、、、、，

因為且，、分別為、的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，故，所以，、、、四點共面，同理可證，故，同理可得，反設(shè)平面，因為，且平面，則平面，但與平面有公共點，這與平面矛盾，故平面，故D不滿足．故選：D．22．（2024高一上·廣西崇左·期末）過直線外兩點，作與平行的平面，則這樣的平面（）A．不可能作出 B．只能作出一個C．能作出無數(shù)個 D．上述三種情況都存在【答案】D【分析】根據(jù)兩點所在的直線與已知直線的位置關(guān)系分類分析即可得結(jié)論.【詳解】過直線l外兩點作與l平行的平面，如果兩點所在的直線與已知直線相交,則這樣的平面不存在;如果兩點所在的直線與已知直線平行,則這樣的平面有無數(shù)個;如果兩點所在的直線與已知直線異面,則這樣的平面只有一個.因此只有D正確.故選：D二、填空題23．（2024高一下·山東東營·階段練習(xí)）以下四個命題中，真命題是（只填真命題的序號）.①若a，b是兩條直線，且，則a平行于經(jīng)過b的任何平面；②若直線a和平面滿足，則a與內(nèi)的任何直線平行；③若直線a，b和平面滿足，，則；④若直線a，b和平面滿足，，，則.【答案】④【分析】根據(jù)點線面的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】解析：對于①，當(dāng)經(jīng)過b的平面也經(jīng)過a時，不成立，故①為假命題；對于②，a與內(nèi)的直線平行或異面，故②為假命題；對于③，直線a與b三種位置關(guān)系都有可能，故③也為假命題；對于④，因為，過作平面交于直線，則，又因為，所以，而，，所以.故④為真命題.故答案為：④24．（2024高二上·江西贛州·階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別為PA，PD，CD的中點，則BC與平面EFG的位置關(guān)系為.【答案】平行【分析】由E，F(xiàn)是PA，PD的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得,根據(jù)ABCD為平行四邊形，可得，由平行公理可得，利用線面平行的判定定理可知BC與平面EFG的位置關(guān)系為平行.【詳解】因為E，F(xiàn)是PA，PD的中點，所以，又因為ABCD為平行四邊形，所以，因此，又因為平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理，考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行公理.25．（2024高三·全國·對口高考）如圖所示，已知是平行四邊形，點P是平面外一點，M是的中點，在上取一點G，過G和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是．

【答案】平行【分析】連接交于，連結(jié)，利用三角形中位線性質(zhì)證明，再利用線面平行的判定定理和性質(zhì)【詳解】連接交于，連結(jié)，因為是平行四邊形，所以為中點.因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；因為平面，又過和作平面交平面于，即平面平面，且平面，所以.故答案為：平行.

26．（2024高一下·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別為線段上一點，若，且平面，則.

【答案】3∶1/3【分析】如圖，連接交于點，連接交于點，由題意可得為的中點，作，即可求出答案．【詳解】如圖，連接交于點，連接交于點，由平面，可得，，，為的中點，作，，，則，故答案為：

27．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）正方體中，為的中點，則與過，，三點的平面的位置關(guān)系是．【答案】平行【解析】連接交于點，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)果.【詳解】連接交于點，在正方體中容易得到點為的中點．又因為為的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.故答案為：平行.【點睛】本題主要考查判定線面位置關(guān)系，熟記線面平行的判定定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.28．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）在中，，，，是重心，過的平面與BC平行，，，則．【答案】/【分析】若為中點，由重心的性質(zhì)得，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得，等比例關(guān)系、余弦定理求即可.【詳解】如下圖示，若為中點，又是重心，則，

由題意，面，面，故，所以，而，綜上，.故答案為：三、解答題29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，E為PB的中點.證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.【詳解】連接，交于，連接，因為底面為正方形，所以為的中點，

因為E為PB的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面.30．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，為線段的中點，平面與棱相交于點.求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理得出結(jié)果.【詳解】因為為線段的中點，所以．又因為，所以．在梯形中，，所以四邊形為平行四邊形．所以．又因為平面，且平面，所以平面．因為平面，平面平面，所以．31．（2024高三·全國·專題練習(xí)）四棱錐中，底面為矩形，平面與平面的交線為，求證：直線平行于平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行證明即可.【詳解】因為底面是矩形，可得，又因為平面，平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以直線，又因為平面，平面，所以平面.32．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，為棱的中點.證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進行證明即可.【詳解】取線段的中點，連接，則為的中位線，∴由題知，∴，所以四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面。

33．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，分別為的中點，平面與底面的交線為.證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】先利用線面平行的判定定理證明，平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明，接著用線面平行的判定定理證明即可.【詳解】因為分別為的中點，所以，.又平面，平面，所以平面.又平面，平面與底面的交線為，所以,從而，.而平面，平面，所以平面.34．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，分別是下底面圓，上底面圓的直徑，是圓柱的母線，為圓上一點，為上一點，且平面.求證：.【答案】證明見解析【分析】連接，，證得平面，進而證得平面平面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到，得出是的中點，即可可證.【詳解】如圖所示，連接，，因為為母線，所以，又因為平面，且平面，所以平面，因為平面，且，平面，所以平面平面．又因為平面平面，平面平面，所以，因為是的中點，所以是的中點，即．35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，四邊形為空間四邊形的一個截面，若截面為平行四邊形.求證：平面.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理進行證明即可.【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.又∵平面，平面∩平面，∴，又∵平面EFGH，平面EFGH，∴平面.36．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.【答案】證明見解析【分析】由棱柱的定義得到平面平面，再由面面平行的性質(zhì)得到，即可得到四邊形是平行四邊形，從而得到，從而得證.【詳解】在直四棱柱中，平面平面，平面，平面，則，而且，又，因此且，則四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以．37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，．求證：平面平面.

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，由線面平行的判定定理分別證明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可得到證明.【詳解】

在圓柱中，，平面，平面，故平面；連接，因為等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，，故，則為正三角形，故，則，平面，平面，故平面；又平面，故平面平面．38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.點在線段上，且平面，試確定點的位置.【答案】點為線段上靠近點的三等分點【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行、線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)進行判斷證明即可.【詳解】點為線段上靠近點的三等分點，證明如下：在取點，連接，，使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點為線段上靠近點的三等分點.39．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．設(shè)平面與平面相交于直線，求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，即可得到證明.【詳解】因為點，分別為棱、的中點，則，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，，則，因為平面，平面，所以，平面，因為平面，平面平面，所以，，故．40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥，證明：是的中點．【答案】證明見解析【分析】由線線平行證線面平行，再用性質(zhì)定理證明線線平行即可.【詳解】因為∥，平面，平面，所以∥平面.因為平面，平面平面，所以∥，又因為點是的中點，所以點是的中點.41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）直四棱柱中，，求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】先證明平面，平面，可得平面平面，進而可得結(jié)論.【詳解】因為直四棱柱中，又，且平面，平面，平面，平面而，平面,平面平面，又平面平面42．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，為點在平面上的射影，為的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定定理、線面平行的判定定理、線面平行的性質(zhì)、面面平行的判定定理和性質(zhì)進行證明即可.【詳解】在平面內(nèi)，過點作于點，連接，，

∵，則，又∵平面，平面，∴平面．又∵平面，平面，平面，∴，，又∵，為公共邊，∴，∴，又∵為公共邊，∴，∴，為的中點，又∵為的中點，∴為的中位線，，又∵平面，平面，∴平面．又∵，平面，平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面．43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】連接DE，可證得四邊形BEDF是平行四邊形，則，再由三角形中位線定理可得，由線面平行和面面平行的判定定理可得平面平面BFG，再利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】證明：連接DE，因為四邊形ABCD是正方形，所以∥，，因為E，F(xiàn)分別是棱BC，AD的中點，所以，所以，，所以四邊形BEDF是平行四邊形，所以，因為G是PA的中點，F(xiàn)是AD的中點，所以，因為PD，DE平面BFG，F(xiàn)G，BF平面BFG，所以平面BFG，平面BFG，因為，直線PD，DE在平面PDE內(nèi)，所以平面平面BFG，因為PE平面PDE，所以平面BFG．

44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面，，，，、分別為棱、的中點，，．求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】取中點，證得，再由四邊形為平行四邊形，得到，得出，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得面．【詳解】證明：取中點，連接、，因為是的中點，且，故為的重心，所以，，共線，且，又因為，所以，所以，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以且，因為，分別為，的中點，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，所以，又因為平面，平面，所以面．

45．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在四棱錐中，四邊形為矩形，為棱的中點，與交于點，為的重心.求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】證明平面，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找與平行的直線.延長交于點，由求證結(jié)論入手，結(jié)合性質(zhì)定理分析，為所要尋找的直線，證明即可.【詳解】證明：延長交于點，連接.因為為的重心，則為的中點.因為為的中點，所以，又，所以與相似，所以，又，所以，

所以，又平面，平面，所以平面.

46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，求證：平面；【答案】證明見解析【分析】取的中點，連接，，可證明，再根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論.【詳解】取的中點，連接，，根據(jù)題意可得，且，，可得由三棱柱得性質(zhì)知，所以，即，則四邊形是平行四邊形，所以，因為面，面，所以面．47．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，E、F分別是、的中點.求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】取PC的中點G，可證，，可得四邊形AEGF為平行四邊形，即，得證.【詳解】取的中點G，連接，，

因為F為的中點，所以，，因為，，又E為的中點，所以，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，且平面，因此平面.48．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，為的中點.求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造平行四邊形，通過線線平行證明線面平行.【詳解】證明：連接.因為為的中點，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.49．（2024高一·全國·課后作業(yè)）長方體中，是矩形的中心，是矩形的中心．證明：平面.【答案】證明見詳解【分析】連結(jié)、、.由已知可推得，進而根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明平面.【詳解】證明：連結(jié)、、.由已知可得，點是的中點，點是的中點，所以，是的中位線，所以.又平面，平面，所以平面.50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在多面體中，四邊形是正方形，為的中點，求證：直線平面.

【答案】證明見解析【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.【詳解】連接，設(shè)，因為四邊形是正方形，所以為的中點，連接，

因為分別為的中點，則，因為平面，平面，所以直線平面.51．（2024高三上·陜西漢中·期末）如圖，在三棱柱中，平面，且，點是棱的中點.

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接交于點，根