2020-2024五年高考數(shù)學真題分類匯編專題04 冪指對函數(shù)（真題3個考點精準練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題04冪指對函數(shù)（真題3個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年春考1題對數(shù)函數(shù)的定義域2022春考5題冪函數(shù)的反函數(shù)2021年秋考5題2021年春考6,13題反函數(shù)指數(shù)函數(shù)、反函數(shù)2020年秋考4題2020年春考12題反函數(shù)反函數(shù)一．有理數(shù)指數(shù)冪及根式（共1小題）1．（2021?上海）若方程組無解，則0．〖祥解〗利用二元一次方程組的解的行列式表示進行分析即可得到答案．【解答】解：對于方程組，有，根據(jù)題意，方程組無解，所以，即，故答案為：0．【點評】本題考查的是二元一次方程組的解行列式表示法，這種方法可以使得方程組的解與對應系數(shù)之間的關系表示的更為清晰，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組的解行列式表示法中對應的公式．二．求對數(shù)函數(shù)的定義域（共1小題）2．（2024?上海）的定義域．〖祥解〗結(jié)合對數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：的定義域為．故答案為：．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題．三．反函數(shù)（共5小題）3．（2021?上海）已知，則（1）．〖祥解〗利用反函數(shù)的定義，得到，求解的值即可．【解答】解：因為，令，即，解得，故（1）．故答案為：．【點評】本題考查了反函數(shù)定義的理解和應用，解題的關鍵是掌握原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，考查了運算能力，屬于基礎題．4．（2020?上海）已知，其反函數(shù)為，若有實數(shù)根，則的取值范圍為，．〖祥解〗因為與互為反函數(shù)若與有實數(shù)根與有交點方程，有根．進而得出答案．【解答】解：因為與互為反函數(shù)，若與有實數(shù)根，則與有交點，所以，即，故答案為：，．【點評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關系，屬于中檔題．5．（2020?上海）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，則，．〖祥解〗由已知求解，然后把與互換即可求得原函數(shù)的反函數(shù)．【解答】解：由，得，把與互換，可得的反函數(shù)為．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，是基礎題．6．（2021?上海）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)反函數(shù)的定義以及映射的定義即可判斷選項是否正確．【解答】解：選項：因為函數(shù)是二次函數(shù)，屬于二對一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，錯誤，選項：因為函數(shù)是三角函數(shù)，有周期性和對稱性，屬于多對一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，錯誤，選項：因為函數(shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一一映射，所以函數(shù)存在反函數(shù)，正確，選項：因為函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對一的映射，所以函數(shù)不存在反函數(shù)，錯誤，故選：．【點評】本題考查了反函數(shù)的定義以及映射的定義，考查了學生對函數(shù)以及映射概念的理解，屬于基礎題．7．（2022?上海）設函數(shù)的反函數(shù)為，則3．〖祥解〗直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關系式，進一步求出函數(shù)的值．【解答】解：函數(shù)的反函數(shù)為，整理得；所以．故答案為：3．【點評】本題考查的知識要點：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．一．選擇題（共1小題）1．（2024?寶山區(qū)二模）已知，則A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，則，故正確；，故錯誤；，故錯誤；，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎題．二．填空題（共28小題）2．（2024?崇明區(qū)二模）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（3）9．〖祥解〗設出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)其圖象經(jīng)過點，求函數(shù)的解析式，再計算（3）的值．【解答】解：設冪函數(shù)，其圖象經(jīng)過點，，解得，；（3）．故答案為：9．【點評】本題考查了求冪函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值的應用問題，是基礎題目．3．（2024?金山區(qū)二模）函數(shù)的定義域是．〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可．【解答】解：，則，解得，故函數(shù)的定義域為．故答案為：．【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎題目．4．（2024?金山區(qū)二模）已知集合，3，5，7，，，則．〖祥解〗求解指數(shù)方程化簡，再由交集運算的定義得答案．【解答】解：，3，5，7，，，．故答案為：．【點評】本題考查交集及其運算，考查指數(shù)方程的解法，是基礎題．5．（2023秋?寶山區(qū)期末）函數(shù)的定義域為．〖祥解〗令被開方數(shù)大于等于0，同時對數(shù)的真數(shù)大于0；列出不等式組，求出的范圍即為定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，需即故函數(shù)的定義域為故答案為：【點評】本題考查求函數(shù)的定義域需要開偶次方根的被開方數(shù)大于等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，屬于基礎題．6．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）已知且，函數(shù)的圖像恒過定點，則點的坐標為．〖祥解〗在函數(shù)的解析式中，令，即時，不論取且的任意值，都可得（2），即求出函數(shù)恒過的點的坐標．【解答】解：且，令，即時，不論取且的任意值，（2）恒成立，即函數(shù)恒過定點．故答案為：．【點評】本題考查對數(shù)型函數(shù)恒過定點的求法，屬于基礎題．7．（2024?浦東新區(qū)三模）已知，則（用表示）．〖祥解〗利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．8．（2024?奉賢區(qū)三模）若，則．（結(jié)果用，的代數(shù)式表示）〖祥解〗由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：若，則，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．9．（2024?長寧區(qū)二模）若，則1．〖祥解〗由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：若，則，，．故答案為：1．【點評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化及對數(shù)的換底公式及運算性質(zhì)的應用，屬于基礎題．10．（2024?靜安區(qū)二模）函數(shù)的定義域為．〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可．【解答】解：由題意得，，即，解得，．故答案為：．【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎題目．11．（2024?黃浦區(qū)校級模擬）已知集合，，則，．〖祥解〗先求出集合，，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，，則，．故答案為：，．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．12．（2023秋?寶山區(qū)期末）設、為常數(shù)，若，，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過第二象限．〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：時，函數(shù)過一二象限，將函數(shù)的圖像向下平移個單位，則圖像不過第二象限．故答案為：二．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎題．13．（2023秋?寶山區(qū)校級期末）方程的解是6．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合真數(shù)大于0，即可求解．【解答】解：，則，解得．故答案為：6．【點評】本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．14．（2023秋?虹口區(qū)期末）函數(shù)的定義域為．〖祥解〗根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0和根號下大于等于0以及分母不等于0得到不等式組，解出即可．【解答】解：由題意得，解得，所以定義域為．故答案為：．【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎題．15．（2024?寶山區(qū)校級四模）已知正實數(shù)、滿足，，則．〖祥解〗由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得，的關系，然后結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為正實數(shù)、滿足，解得，或，所以或，當時，，所以，即，，，當時，，即，，，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了指數(shù)及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．16．（2024?浦東新區(qū)校級模擬）函數(shù)的最小值為．〖祥解〗利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，換元后再由二次函數(shù)求最值．【解答】解：函數(shù)的定義域為，，令，則，原函數(shù)化為，則當時，有最小值為．故答案為：．【點評】本題考查導數(shù)的運算性質(zhì)，訓練了利用換元法及二次函數(shù)求最值，是基礎題．17．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知函數(shù)則（3）1．〖祥解〗結(jié)合分段函數(shù)解析式，由內(nèi)向外計算即可．【解答】解：由題意得，．所以（3），故答案為：1．【點評】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎題．18．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知，，則（用、表示）．〖祥解〗由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為，，即，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，屬于基礎題．19．（2024?浦東新區(qū)校級四模）設，，若直線過曲線的定點，則的最小值為2．〖祥解〗根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行求解即可．【解答】解：因為曲線過定點，所以，即，則，當且僅當，即時取“”，所以的最小值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)和基本不等式應用問題，是基礎題．20．（2024?閔行區(qū)三模）方程的解集為．〖祥解〗依題意得到，解得即可．【解答】解：因為，則，解得，所以方程的解集為．故答案為：．【點評】本題主要考查了對數(shù)運算性質(zhì)的簡單應用，屬于基礎題．21．（2024?寶山區(qū)二模）將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為．〖祥解〗利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，屬于基礎題．22．（2024?青浦區(qū)二模）已知，，若，則滿足條件的的取值范圍是，，．〖祥解〗由題意可得，，然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為，，若，則，即，所以或，解得或．故答案為：，，．【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在不等式求解中的應用，屬于基礎題．23．（2024?閔行區(qū)校級二模）方程的解是．〖祥解〗由已知可得，等價轉(zhuǎn)化為，由此解得的值．【解答】解：由方程，可得，，解得，故答案為．【點評】本題主要考查對數(shù)方程的解法，注意對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．24．（2023秋?靜安區(qū)期末）下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且圖像關于原點成中心對稱的是②（請?zhí)钊肴空_的序號）．①；②；③；④．〖祥解〗由題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)的定義域為，，故它的圖像不可能關于原點成中心對稱，故排除①；由于函數(shù)是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，故它的圖像關于原點成中心對稱，故②滿足條件；由于函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，故它的圖像關于軸對稱，故排除③；由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，故排除④．故答案為：②．【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．25．（2023秋?閔行區(qū)校級期末）函數(shù)的圖象過定點，則點的坐標是．〖祥解〗利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解答】解：因為的圖象過定點，令，則，，所以點的坐標為．故答案為：．【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題．26．（2023秋?松江區(qū)期末）已知，則的最小值為．〖祥解〗根據(jù)對數(shù)運算求得，的關系，利用基本不等式求得正確答案．【解答】解：依題意，，且，，，當時等號成立．故答案為：．【點評】本題考查了對數(shù)的運算法則、基本不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．27．（2023秋?長寧區(qū)期末）在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標．其值（單位：定義為．其中為聲場中某點的聲強度，其單位為，為基準值．若，則其相應的聲強級為130．〖祥解〗將題中數(shù)據(jù)直接代入公式，結(jié)合對數(shù)運算求解．【解答】解：因為，，所以其相應的聲強級為．故答案為：130．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．28．（2024?楊浦區(qū)校級三模）設，已知函數(shù)的兩個不同的零點、，滿足，若將該函數(shù)圖像向右平移個單位后得到一個偶函數(shù)的圖像，則．〖祥解〗由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關系可求出，然后結(jié)合函數(shù)圖象的平移及