第3講組合及組合數(shù)5種題型總結(jié)（原卷版）

第3講組合及組合數(shù)5種題型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：組合及組合數(shù)的概念①組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．②組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．考點(diǎn)二：組合數(shù)公式及其性質(zhì)公式：性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：規(guī)定：【題型目錄】題型一：組合的概念題型二：組合數(shù)的計(jì)算題型三：解組合數(shù)方程和不等式題型四：組合數(shù)的性質(zhì)及恒等式題型五：組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典型例題】題型一：組合的概念【例1】（多選題）下面問(wèn)題中，是組合問(wèn)題的是（

）A．由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊(duì)C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選5個(gè)數(shù)組成集合【例2】下列問(wèn)題中，組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是（

）①?gòu)娜?0人中選出5人組成班委會(huì)；②從全班50人中選出5人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；③從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；④從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求差或商.A．1 B．2 C．3 D．4【例3】（多選題）給出下列問(wèn)題，屬于組合問(wèn)題的有（

）A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法B．有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法C．某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種D．從2，3，5，7，11中任選兩個(gè)數(shù)相乘，可以得到多少個(gè)不同的積【題型專練】1．以下四個(gè)問(wèn)題，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地2．（多選題）下列問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是（

）A．10支戰(zhàn)隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每?jī)申?duì)比賽一次），共進(jìn)行多少次比賽B．10支戰(zhàn)隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽，這次比賽的冠、亞軍獲得者有多少種可能C．從10名員工中選出3名參加同一種的娛樂(lè)活動(dòng)，有多少種選派方法D．從10名員工中選出3名分別參加不同的娛樂(lè)活動(dòng)，有多少種選派方法3．（多選題）下列問(wèn)題中是組合問(wèn)題的有（

）.A．某鐵路線上有4個(gè)車站，則這條鐵路線上需準(zhǔn)備多少種車票B．從7本不同的書中取出5本給某同學(xué)C．3個(gè)人去做5種不同的工作，每人做一種，有多少種分工方法D．把3本相同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人最多得一本，有多少種分配方法4．（多選題）給出下列問(wèn)題，其中是組合問(wèn)題的是（

）A．由1，2，3，4構(gòu)成的含3個(gè)元素的集合B．從7名班委中選2人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支書C．從數(shù)學(xué)組的10名教師中選3人去參加市里新課程研討會(huì)D．由1，2，3，4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)題型二：組合數(shù)的計(jì)算【例1】（

）A． B． C． D．【例2】已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．； B．； C．； D．【例3】________．【例4】設(shè)n為正整數(shù)，則關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（

）A．該代數(shù)式的值唯一確定 B．該代數(shù)式的值有兩種情況C．該代數(shù)式的值有三種情況 D．該代數(shù)式的值有無(wú)數(shù)種情況【題型專練】1．求值：_______．2.___．（用數(shù)字作答）3．（

）A． B． C． D．題型三：解組合數(shù)方程和不等式【例1】已知，則_______．【例2】若，則x的值為_______【例3】若，則正整數(shù)___________.【例4】已知?jiǎng)tx＝______.【題型專練】1．已知，，成等差數(shù)列，則＝________.2．已知，則的值是（

）A．9 B．7 C．9或 D．83．（1）若，則的取值集合是___________.（2）___________.題型四：組合數(shù)的性質(zhì)及恒等式【例1】已知，則方程的解是___________．【例2】已知，則________．【例3】下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．【例4】（多選題）對(duì)于，，，關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【例5】（多選）（

）A． B． C． D．【例6】計(jì)算：______．【題型專練】1.已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或52．已知，則__________________.3．（多選題）下列四個(gè)關(guān)系式中，一定成立的是（

）A． B．C．D．4．（多選題）下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)計(jì)算正確的有（

）A．B．從中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得個(gè)積C．D．5．（多選題）對(duì)且，下列等式一定恒成立的是（

）.A． B．C． D．6．（多選題）下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)的計(jì)算，正確的是（

）A． B．C． D．是一個(gè)常數(shù)7．計(jì)算：________．題型五：組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．20條 B．21條 C．22條 D．23條【例2】綠水青山就是金山銀山，浙江省對(duì)“五水共治”工作落實(shí)很到位，效果非常好．現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西，湖北和安徽三個(gè)省市宣傳，每個(gè)省市至少一個(gè)志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者沒(méi)有條件限制，共有多少種不同的安排方法（

）A．228 B．132 C．180 D．96【例3】新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機(jī)選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（

）A．14種 B．15種 C．16種 D．17種【例4】8名醫(yī)生去甲、乙、丙三個(gè)單位做核酸檢測(cè)，甲、乙兩個(gè)單位各需三名醫(yī)生，丙需兩名醫(yī)生，其中醫(yī)生a不能去甲醫(yī)院，則不同的選派方式共有（

）A．280種 B．350種 C．70種 D．80種【例5】平面上，四條平行直線與另外五條平行直線互相垂直，則它的矩形共有_____個(gè)（結(jié)果用數(shù)值表示）．【例6】將某商場(chǎng)某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個(gè)的長(zhǎng)方體框架（如圖），小紅欲從A處行走至B處，則小紅行走路程最近的路線共有_________．（結(jié)果用數(shù)字作答）【例7】我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個(gè)陰爻，則該重卦可以有___________種.(用數(shù)字作答)【例8】2022年4月，新型冠狀病毒疫情牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某市根據(jù)上級(jí)要求，在本市某人民醫(yī)院要選出護(hù)理外科、心理治療方面的專家4人與省專家組一起趕赴上海參加救助工作，該醫(yī)院現(xiàn)有3名護(hù)理專家，，，5名外科專家，，，，，2名心理治療專家，.(1)求4人中有1位外科專家，1位心理治療師的選法有多少種?(2)求至少含有2位外科專家，且外科專家和護(hù)理專家不能同時(shí)被選的選法有多少種?【題型專練】1．教育部于2022年開展全國(guó)高校書記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市4所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長(zhǎng)拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（

）A．8種 B．10種 C．14種 D．20種2．為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．143．北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個(gè)吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．144．（多選題）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法種數(shù)為30C．若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為30D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為205．從1，2，…，10這十個(gè)數(shù)中取出四個(gè)數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有______種取法（用數(shù)字作答）．6．8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第三、四名，則該大師賽共有_________場(chǎng)比賽．7．某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______8．從4男2女共6名學(xué)生中選出1人吃原味薯片，2人吃黃瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________種選法；如果男生不吃原味薯片，共有________