第2講復(fù)數(shù)的概念與運算（教師版）

第二講復(fù)數(shù)的概念與運算真題展示2022新高考一卷第一題若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D知識要點整理1．?dāng)?shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入為了解決+1=0這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們引入一個新數(shù)i，規(guī)定：①=1，即i是方程+1=0的根；②實數(shù)可以和數(shù)i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.在此規(guī)定下，實數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.3．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.4．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共軛復(fù)數(shù)(1)定義一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=abi.特別地，實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①=z.②實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù).6．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標(biāo)原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.三年真題一、單選題1．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實數(shù)，故，故選：B.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)四則運算，先求出，再計算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3．設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出．【詳解】因為R，，所以，解得：．故選：A.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.【詳解】故選：C5．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.6．若．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出．【詳解】因為，所以，所以．故選：D.7．已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應(yīng)相等，得,即故選:8．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第一象限，故選：A.9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：.故選：D.10．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.11．已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先計算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實數(shù)的值.【詳解】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.12．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.13．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.14．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，故，故故選：C.二、填空題15．已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_______．【答案】##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出．【詳解】．故答案為：．16．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.三年模擬一、單選題1．（2022·四川·廣安二中模擬預(yù)測（文））已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的四則運算列方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，，解得，即，所以，故選：D2．（2022·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則即可得到答案.【詳解】因為,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3．（2023·廣西·南寧二中一模（文））若，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運算法則與復(fù)數(shù)虛部的概念求解即可【詳解】因為，所以虛部為，故選：B.4．（2022·貴州·貴陽六中一模（理））已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算算出，然后可得答案.【詳解】因為，所以，所以，故選：C5．（2022·四川南充·一模（理））若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：C.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘法和除法法則求出，從而得到其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)及所在象限.【詳解】，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B.7．（2022·四川成都·一模（理））如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，則（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出復(fù)數(shù)，再求加法及模.【詳解】由題意可得：，則，故.故選：B.8．（2022·河南·馬店第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．3 B．1 C．3 D．5【答案】D【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡，進而得到共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法運算求解.【詳解】解：∵，∴，．故選：D．9．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（文））設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)運算法則計算得到，從而求出模長.【詳解】由，得，故所以.故選：B.10．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學(xué)一模（理））設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡得復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計算公式即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，則，,所以，故.故選：B.11．（2021·河南三門峽·一模（理））復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)則，然后代入原式得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程，解方程即可得到.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即，所以，解得，則.故選：B.二、填空題12．（2022·上海寶山·一模）設(shè)復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則______.【答案】【分析】化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．（2022·上海普陀·一模）若（其中i表示虛數(shù)單位），則______．【答案】1【分析】計算，即可得到虛部.【詳解】因為，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知，虛部為1.故答案為：1.14．（2022·上海長寧·一模）復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點到原點O的距離為___________【答案】##【分析】由已知，根據(jù)條件，先對已知進行化簡，得到，然后直接求解復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點Z到原點O的距離即可.【詳解】由已知，，所以，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點Z為