（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何學(xué)案

第七章立體幾何

第一節(jié)彳空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

滿伽。帆昌翦基貧一歐6演。演P會(huì)面的第窗硼

??〉必過教材關(guān)

I簡單幾何體

(D多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

D'SD'

&

圖形

ABABAB

底面互相平行且相等多邊形互相平行

相交于一點(diǎn),但不一定

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面

相等

形狀平行四邊形三角形梯形

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

球

名稱圓柱圓?錐q圓臺(tái)

ma

圖形A

1

1

互相平行且相等，

母線相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)

垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

<D畫法：常用斜二測畫法.

0>規(guī)則：

①原圖形中鬲由、，軸▼軸兩兩垂直，直觀圖中，罰軸、，軸的夾角為41°《或15r),

4軸與/軸和，軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于*由和，軸的線段

在直觀圖中保持原長度不變,平行于，軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3三視圖

4D幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

三視圖的畫法

①基本要求：長對(duì)正,高平齊,寬相等.

②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長,側(cè)俯一樣寬;看不到的線畫虛線.

I小題體驗(yàn)I

I若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊

長分別為<>

C.4.3B.2.4

解析：選，由三視圖可知，正三棱柱的高為N,底面正三角形的高為人白，故底面邊

長為4,故選■.

2.《教材習(xí)題改編）如圖，長方體,C/被截去一部分，其中?！╮r

則剩下的幾何體是，截去的幾何體是_____.

答案：五棱柱三棱柱

??卜必過易借關(guān)

I臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).

2.空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同.

3對(duì)于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖

中，易忽視實(shí)虛線的畫法.

I小題糾偏I(xiàn)

L如圖，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是，）,

--------r1

1.但3,"=4\<\

'C

B

I.U=2,hCi=^,*，，lift=3,

C.iJi=I,U=2,fiC=g,*，，Mi=2,公4

2

B.”1■,*=“、,a=Mi

解析：選c根據(jù)棱臺(tái)是由棱錐截成的，可知綽=誓=弟，故，■不正確，C正確；

"

■項(xiàng)中滿足這個(gè)條件的是一個(gè)三棱柱，不是三棱臺(tái)，故■不正確.

3.用一個(gè)平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()

解析：選?俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選

3《教材習(xí)題改編＞利用斜二測畫法得到的

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是.

解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰

梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤.

答案：I

閔。當(dāng)席家趴國患防。兵俯那、的同明。年畫命蜜血

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

I題組練透I

I用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是＜＞

1.圓柱I.圓錐

C球體I圓柱、圓錐、球體的組合體

解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體.

3.給出下列幾個(gè)命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正

多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，

但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是《

解析：選■①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱

臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定

相等.

3.給出下列命題：

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；

③在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體.

其中正確命題的序號(hào)星..

解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊n「

形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)A戶B向

面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)\,//I

棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體"龍三招從

AB

離《福中的三棱錐?！盩,四個(gè)面都是直角三角形.

答案：②③④

I謹(jǐn)記通法I

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的，個(gè)技巧

<D把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實(shí)物，提高空間想象能力；

緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型;

6通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析.

考點(diǎn)二空間幾何體的三視圖重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研

I典例引領(lǐng)I

I■?東北四市聯(lián)考》如圖，在正方體溫中，，是線段"的中點(diǎn)，則三

棱錐，麻皿的側(cè)視圖為，）

ABCD

解析：選，如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對(duì)于三棱錐，，㈤，,0點(diǎn)均消失了,

其余各點(diǎn)均在，從而其側(cè)視圖為

3.杭州模擬）已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三

角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為，）

解析：選■由正視圖可看出長為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊

長為2,另一直角邊為底邊三角形的高小.故側(cè)視圖可能為■.

I由題悟法I

I已知幾何體，識(shí)別三視圖的技巧

已知幾何體畫三視圖時(shí)，可先找出各個(gè)頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定線在投影面

上的實(shí)虛.

3.已知三視圖，判斷幾何體的技巧

對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉.

明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.

6遵循“長對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則.

I提醒I對(duì)于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不

同.

I即時(shí)應(yīng)用I

I沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測》“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽

在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的

四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟

合>在一起的方形傘

《方蓋》.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)

視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()

解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同

時(shí)，俯視圖為樂故選■.

2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是，>

解析：選，由俯視圖是圓環(huán)可排除M,、C,進(jìn)一步將已知三視圖還原為幾何體，可得

選項(xiàng)■.

考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研

I典例引領(lǐng)I

?杭州模擬)在等腰梯形“i”中，上底==|,腰下底"二以

下底所在直線為鬲由，則由斜二測畫法畫出的直觀圖，'，C,的面積為.

解析：畫出等腰梯形的實(shí)際圖形及直觀圖1rr/如圖所示，因?yàn)閠c=

q5'-『=>

所以9c=1，cr=坐

所以直觀圖，rc/的面積為

i、叵、岳

s=鏟〃+?義4=號(hào)

Z42

答案:坐

I由題悟法I

原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

/坐標(biāo)軸的夾角改變

(D“三變”與黃由平行的線段的長度改變減半

I圖形改變

(平行性不變

G>“三不變”|與若由平行的線段長度不變

I相對(duì)位置不變

眼卯寸應(yīng)用I

如圖，矩形9I,C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中?1=1■,

9C=2s,則原圖形是《

1正方形

C.菱形B一般的平行四邊形

解析：選C如圖，在原圖形皿C中，應(yīng)有*2,/=2義趴向=45■,“=￡'?

=2?1.

：.U=9C,故四邊形以一是菱形.

品局。皂微泡最:基倒型蜩能睡

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

I某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能

是<>

△

ABCD

解析：選■幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長度相

等，只有等邊三角形不可能.

3.下列說法正確的是《

1棱柱的兩個(gè)底面是全等的正多邊形

I平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形

C幽棱柱SS-E棱柱〉

9/E四面體三棱錐》

解析：選，因?yàn)檫x項(xiàng)A中兩個(gè)底面全等，但不一定是正多邊形；選項(xiàng)■中一般的棱柱

不能保證側(cè)棱與底面垂直，即截面是平行四邊形，但不一定是矩形；選項(xiàng)C中棱柱Sfi演

棱柱〉故'、，、C都錯(cuò)；選項(xiàng)■中，正四面體是各條棱均相等的正三棱錐，故正確.

J某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是4

側(cè)視圖

1.三棱錐I.四棱錐

C四棱臺(tái)B三棱臺(tái)

解析：選1因?yàn)檎晥D和側(cè)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因?yàn)楦┮晥D為三

角形，故該幾何體為三棱錐.

4.在如圖所示的直觀圖中，四邊形?I，C為菱形且邊長為

2a,則在直角坐標(biāo)系Rr中，四邊形"Tf的形狀為,面

積為10

解析：由斜二測畫法的特點(diǎn)知該平面圖形是一個(gè)長為4■,寬為

3■的矩形，所以四邊形〃”的面積為8

答案：矩形t

??已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，I[T

俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，以這4個(gè)點(diǎn)為卜

頂點(diǎn)的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個(gè)面為直角三二?！?/p>

正視圖側(cè)視圖

角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；③兩個(gè)面都是等腰直角三

角形的四面體.其中正確命題的序號(hào)在..

解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖，

2KM如圖，當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是或■,C,吟時(shí)，可知①正確；A

當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是I,倒，，時(shí)，可知②正確；易知③不正確.j

答案：①②

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)A

I.臺(tái)州模擬)一個(gè)簡單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖不可能為

T

1

A

-2------H

正視圖t

n

俯視圖

1正方形I圓

C等腰三角形B直角梯形

解析：選，該幾何體是一個(gè)長方體時(shí)，其中一個(gè)側(cè)面為正方形，上可能；該幾何體是一

個(gè)橫放的圓柱時(shí)，■可能；該幾何體是橫放的三棱柱時(shí)，C可能，只有,不可能.

3.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點(diǎn),是的*邊中點(diǎn)，U,JT分別與，

軸、*軸平行，則三條線段““，，。中《)

1最長的是“最短的是，。

I最長的是最短的是“

C最長的是“最短的是”

I最長的是，C,最短的是“

解析：選?由條件知，原平面圖形中"X",從而

JSH?沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測》如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)

凸多面體的三視圖，兩個(gè)矩形，一個(gè)直角三角形），則這個(gè)幾何體可能為<>

1三棱臺(tái)

C.四棱柱B四棱錐

解析：選?根據(jù)三視圖的法則：長對(duì)正，高平齊，寬相等，可得幾

何體如圖所示，這是一個(gè)三棱柱.

4.?溫州第八高中質(zhì)檢）如圖,水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊

長均為2,且側(cè)棱平面，■《，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱

的側(cè)視圖面積為《

1.4

C.琉

解析：選■由題可得，該幾何體的側(cè)視圖是一個(gè)長方形，其底邊長是底面正三角形的

高小,高為2,所以側(cè)視圖的面積為$=人6.

S.已知四棱錐的三視圖如圖所示，則四棱錐，的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是

側(cè)視圖

2

俯視圖

解析：選C四棱錐如圖所示，取“的中點(diǎn)(”的中點(diǎn)，連接P

&=gx4X，=S

所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是b.

SQ?K*臺(tái)州模擬》如圖所示，在正方體通中，點(diǎn)f為棱

展的中點(diǎn)，若用過點(diǎn)兒C,C的平面截去該正方體的上半部分，則剩余

幾何體的側(cè)視圖為＜)

解析：選C取”的中點(diǎn)，，連接"n?則過點(diǎn)兒C,C的平面即為面"T/所以

剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C.

N設(shè)有以下四個(gè)命題：

①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；

②底面是矩形的平行六面體是長方體；

③直四棱柱是直平行六面體；

④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)是.

解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的

側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，?/p>

命題③是錯(cuò)誤的；命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的.

答案：①④

I.一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3—和8若兩底面圓心的連線長為口■,

則這個(gè)圓臺(tái)的母線長為_______?.

解析：如圖，過點(diǎn)，作UM交”于點(diǎn)C

在中，M,“8—$=■<M>.

12s+4=1，3>.

答案：?

?已知正三角形"T的邊長為2,那么△〃r的直觀圖△然，C的面積為

解析：如圖，圖①、圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.

從圖②可知，1V="2,

C'=rC45。=申乂￥=坐

Z24

所以最r,c=ql'f?，'，—iX2XA=A?

ZZ44

答案:當(dāng)

M已知正三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

c

B

俯視圖

<D畫出該三棱錐的直觀圖；

求出側(cè)視圖的面積.

解：（D直觀圖如圖所示.

<2）根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得”=入6，

A

B

.?.側(cè)視圖中■=

寸-告專義響=電

.,.縱*=彳X趴X=I.

三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校

I.用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾

何體需要的小正方體的塊數(shù)是，＞

解析：選C畫出直觀圖，共六塊.

2.?湖南東部六校聯(lián)考＞某三棱錐的三視圖如圖所示，該三

棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的面積是4)/

正視圖側(cè)視圖

△

俯視圖

1.45I.即

C.mB.S

解析：選C設(shè)該三棱錐為，其中〃，平面題=4,則由三視圖可知△“T

是邊長為4的等邊三角形，故”445，所以S~=：X4X趴6=4也，筮

X4X4=t,$3=；X4Xy/4小1T=45故四個(gè)面中面積最大的為S^rft=4：-\pt,選

C.

工如圖，在四棱錐，中，底面為正方形，K與底面垂直，%

下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為的全等的等腰直角/PV\B

三角形./

正視圖側(cè)視圖

（D根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積;

求，?

解：（D該四棱錐的俯視圖為《內(nèi)含對(duì)角線）邊長為b■的正方形，如圖,p(c)

其面積為X?2.

Q）由側(cè)視圖可求得““C*+川=0+1'=班.

由正視圖可知”=1,

且

所以在中,

qm巾=班M.

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積

?=00粉畫9函°含同ST郎四符

??卜必過教材關(guān)

I.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

寡

側(cè)面展開圖饃為

電塵1—匆登/

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀S圓錐側(cè)=71$圓臺(tái)側(cè)=兀

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體，棱柱和圓

$表面積=$側(cè)+2$底「矍

柱）

錐體（棱錐和圓片白

S表面積=$側(cè)+$底

錐）

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓$表面積=$側(cè)+5上+$下片扣+5下+后￡?

臺(tái))

球A4兀F

I小題體驗(yàn)I

I.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

C.3Sn,.32n

解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長

為,，圓錐母線長為，圓柱高為/.由圖得"=>4m,/=4,由勾股定理得：1

=、才+廂=4,S*=n+^?^=4n+K,Tt+tJT=31Ji.

2.《教材習(xí)題改編>某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

俯視圖

解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為

2,高為小的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故/=3,所以該幾何體的體積革=$?/=

QxNX甸乂3=那.

答案：琉

J若球?的表面積為4m,則該球的體積為.

解析：由題可得，設(shè)該球的半徑為，則其表面積為5=4口1=4%解得—L所以其

44

體積為F=JJI1=5JI.

答案：

必過易借關(guān)

I.求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò).

2.由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特

征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤.

J易混側(cè)面積與表面積的概念.

I小題糾偏I(xiàn)

L?教材習(xí)題改編>圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為

?球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為.

答案：3：3I：I

3.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是.

正視圖側(cè)視圖

解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)棱臺(tái)組成，其表面積A3X4X2

+2X2X2+4X2^3X2+4Xfe+^x<2+b)X3X2=T3+岫.

答案：T2+Krj2

=5=0自°殍點(diǎn)家嘏〒圈與明，之停場，形同抽。會(huì)閭命四國正

考點(diǎn)一空間幾何體的表面積基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

I題組練透I

I?某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于，)~——

1.1+2^22

B.11+272U提

正視圖側(cè)視圖

C.14+372

解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所

Di2

直角梯形斜腰長為N『十『=也,所以底面周長為4+嫡，側(cè)面積為2X<4+也>=，+

2^2,兩底面的面積和為NxgxIX"+2>=3,所以該幾何體的表面積為*+m+3=11+

蟲

3.It?浙江新高考聯(lián)盟高三期初聯(lián)考》如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面

積等于<>

L.34+班B.44+喃

C.34+班B.8+班

解析：選A由三視圖知幾何體底面是一個(gè)長為I,寬為2的矩形，高為4的四棱錐，所

以該幾何體的表面積為：義。義趴網(wǎng)+：xiX4+2><gxNx?+lxN=34+Hi故選I

J如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為L粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則該棱錐的表面積

為＜)

1.修+45+琉

B.8+4小

C.1+班

B.1+琉+4木

解析：選上由三視圖可知該棱錐為如圖所示的四棱錐要皿

=S/\PU—2X2=2,b?°=2\戶，$四邊形g=2\/ix2=45,

故該棱錐的表面積為1+45+才".

I謹(jǐn)記通法I

幾何體的表面積的求法

4D求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解

決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn).

求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這

些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積.注意銜接部分的處理.

考點(diǎn)二空間幾何體的體積重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研

I典例引領(lǐng)I

I0，1?金華高三期末考試）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為《）

€?攣

解析:選，由三視圖可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐,

其直觀圖如圖所示.底面的面積為2X2=4,高*木,故該幾何

體的體積8里

3.0?幅?寧波十校聯(lián)考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于

表面積等于.

俯視圖

解析：如圖，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2,高為3的圓柱的一

2

半，故該幾何體的體積為nX3X5=bIT,

表面積為2X-XnX2j+4XJ+JIX3XJ=Wn+B.

答案：fcnB+WJI

I由題悟法I

有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略

常見類型解題策略

直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問題中要根據(jù)題

球的體積問題

意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑

根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套

錐體、柱體的體積問題

用公式求解

將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式

以三視圖為載體的幾何體體積問題

求解

常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需

不規(guī)則幾何體的體積問題采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化

為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解

I即時(shí)應(yīng)用I

I?西安質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為，>

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

C，3

解析：選L根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，

上部為三棱錐的組合體，如圖所示.則該幾何體的體積是/何體=片棱柱+

III4

片棱錐=4xNxlxI+-X-X3Xlxl=不

nnN)

2.?杭州高級(jí)中學(xué)模擬》一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該

幾何體的體積為，)

解析：選C由題可得，該幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是上下底邊分別為I和2,高為I

的直角梯形,又四棱錐的高為I?所以該幾何體的體積為片;xgxH+3)XIXl=1

xaeis?溫州高三一?！啡鐖D，一個(gè)簡單幾何體的三視圖的正視圖

與側(cè)視圖都是邊長為?的正三角形，其俯視圖的輪廓為正方形，則該幾

正視圖側(cè)視圖

何體的體積為，表面積為.

解析：如圖，還原三視圖為正四棱錐，易得正四棱錐的高為修，

俯視圖

底面積為L體積串=：xlx￥=W；易得正四棱錐側(cè)面的高為

所以表面積

答案:當(dāng)3

考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題題點(diǎn)多變型考點(diǎn)一一多角探明

I鎖定考向I

與球相關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變.

常見的命題角度有：

球與柱體的切、接問題；

Q＞球與錐體的切、接問題.

I題點(diǎn)全練I

角度一：球與柱體的切、接問題

I已知直三棱柱的I個(gè)頂點(diǎn)都在球?的球面上，若k""=4,皿”,

“產(chǎn)口，則球?的半徑為()

解析：選C如圖，由球心作平面”T的垂線，則垂足為“的中點(diǎn)，

又出產(chǎn)■=,,*科尸b,所以球"的半徑'="=

3?如圖，已知球,是棱長為I的正方體的內(nèi)切球，則平面

截球”的截面面積為《

JI

JI■當(dāng)

解析：選c平面，e截球?的截面為△皿的內(nèi)切圓.因?yàn)檎?/p>

體的棱長為L所以“=8=口=淄，所以內(nèi)切圓的半徑X4^i

3r

所以$=兀上=JIX7-=7~JT

角度二：球與錐體的切、接問題

3＜2,1?紹興質(zhì)檢＞四棱錐的底面M3是邊長為。的正方形，且

="，若一個(gè)半徑為I的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是＜＞

1?4

解析：選，過點(diǎn)，作“，平面于點(diǎn)/.由題知，四棱錐

是正四棱錐，內(nèi)切球的球心,應(yīng)在四棱錐的高〃上.過正四棱錐的高作

組合體的軸截面如圖，其中K”是斜高，■為球面與側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn).設(shè)

H=l,易知所以舄=宗即解得，=：?

4.Q?n?全國卷i）已知三棱錐5-w的所有頂點(diǎn)都在球?的球面上，胃是球-的直

徑.若平面$儀，平面*視豳=",Sg=tc,三棱錐$-"T的體積為%則球?的表面積

為.

解析：如圖，連接，?,幅

為球/的直徑，

.:點(diǎn)?為*的中點(diǎn)，

：Sl=iC,S9=fC,

：.M±SC,f9±SC,

:平面SCLL平面黃凱平面SCtn平面*=",

.?.，L平面set,

設(shè)球"的半徑為，，

則”=**,SC=2ik

***?UC="碑=5'

=^x^xStx句義“，

即力=：*@義2?乂，><\,解得?=3,

，球-的表面積為9=4?！?4兀Xj2=3b兀?

答案：》兀

I通法在握I

解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求

解，其解題的思維流程是：

而薪口如巢亮百與藤海五畫面正訪血膏布毒瓦氏不苞;

巴吧廠如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；

i1選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的

作截面一包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間

」，的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的

民輻口贏稻山藏布,法麗克翥；港筱宇談年率而加

下結(jié)論：程,并求解；

?演練沖關(guān)?

I.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為L頂點(diǎn)都在同一

個(gè)球面上，則該球的體積為，>

1.2?兀

C.SJI

解析：選，由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑QI,其高，=I,???球半徑

為」+電=個(gè)l+：=￥,*'＞該球的體積片311X（坐）口=8^1T.

3.It?鎮(zhèn)海期中）一個(gè)棱長為I的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙

盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體體積的最大值為.

解析：由題可得，要使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則只需該正方體在正四面體的內(nèi)

接球內(nèi)即可.因?yàn)檎拿骟w的棱長為I,所以其底面正三角形的高為瑜，正四面體的高為

則該正四面體的內(nèi)球的半徑為坐設(shè)該正方體的邊長為5要滿足條件,則5加,

即.所以正方體的最大體積為uJwsVi

答案：272

品局。目第禧品基抽型崛能酶D會(huì)S3宓0會(huì)他

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

LSK?浙江名校聯(lián)考）“某幾何體的三視圖完全相同”是“該幾何體為球”的＜＞

I充分不必要條件I必要不充分條件

C充要條件B既不充分也不必要條件

解析：選■由題可得，球的三個(gè)視圖都是圓，所以三視圖完全相同；三視圖完全相同

的幾何體除了球，還有正方體，所以是必要不充分條件.

2.?長興中學(xué)適應(yīng)性測試）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

解析：選C由題可得，該幾何體是一個(gè)棱長為4的正方體與一個(gè)底面是邊長為4的正

方形，高為3的四棱錐的組合體，所以其體積為占4'+gx42x3=".

J.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該

2Sn

幾何體的體積是丁，則它的表面積是，)

S.It71

€.2?JIB.2tn

解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球

的;得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為A，則為"一封口『噂口，解

得M=3.因此它的表面積為:X4口"+["力口.故選L

4.QtIS?嘉興模擬》如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是動(dòng)，則■=

該幾何體的表面積為.

俯視圖

解析：由題可得，該幾何體是一個(gè)水平放置的三棱柱，其底面是一個(gè)底邊長為2、高為“

的等腰三角形，高為工因?yàn)槠潴w積為現(xiàn)，所以F：X3X3=L=琉，解得“=也.所以

該幾何體的表面積為ANxgxNxdi+2x3X3=m+K.

答案：小班十1

?g■?麗水模擬》若三棱錐的最長的棱〃=2,且各面均為直角三角形，則此

三棱錐的外接球的體積是,表面積是.

解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長方體，則該三棱錐的外木------)

接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑￡=61=1,所以該三棱錐pTj\71J

44BA

的外接球的體積簞=§xJIXr=5：n：,表面積A4JI『=4JI.

4

答案：5m4Ji

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

I圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為Mm,

則圓臺(tái)較小底面的半徑為，）

解析：選上設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為?

則另一底面半徑為

由$=n,J=14n,解得*=T.

3.一個(gè)六棱錐的體積為琉，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六

棱錐的側(cè)面積為4）

1.bI.t

C.13B.34

解析：選C由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為/,側(cè)面的斜高為/'.

由題意，得:xbx坐一乂,=電

/./=I,

斜高r=.『十小5

fw=bx^X2X2=口.故選€.

3Sit?溫州十校聯(lián)考）已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可

得這個(gè)幾何體的體積是Q>

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

1.4

C>I?

解析：選I由題可得，該幾何體是一個(gè)底面為長方形的四棱錐，所以其體積為竄=5

X4X2X2=—.

4.Git-蘭州實(shí)戰(zhàn)考試》一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為

I的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為（＞

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

,喜

解析：選上由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為I的正方

體的外接球,其半徑為A早/J,故體積為4

5n故選，

SSU?寧波十校聯(lián)考》如圖，某多面體的三視圖中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的外輪廓

分別為直角三角形、直角梯形和直角三角形，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為

俯視圖

I3^2■.V*

C",?迎

解析：選