初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的模型方法專(zhuān)題-專(zhuān)題17-相似三角形的常見(jiàn)輔助線(xiàn)

相似三角形的常見(jiàn)輔助線(xiàn)在添加輔助線(xiàn)時(shí)，所添加輔助線(xiàn)往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線(xiàn)段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系．主要輔助線(xiàn)有以下幾種：一、添加平行線(xiàn)構(gòu)造“A”“X”型例11.如圖，D是的邊上的點(diǎn)，，E是的中點(diǎn)，求：的值．

【答案】5:1【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)P，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成成比例定理，可得，，進(jìn)而可推得BE=5EF，從而可得BE:EF的值．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)P，如圖∴，∵BD:DC=2:1，E是AD的中點(diǎn)，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造平行．例22.在中，D為上的一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，交于F．求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】過(guò)D作交于G，證明和相似，和相似，列出比例式變形，比較，即可解決問(wèn)題．【詳解】證明：過(guò)D作交于G，則和相似，∴，∵，∴，由可得和相似，∴即，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和性質(zhì)的使用，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式1－13.如圖，在的邊和邊上各取一點(diǎn)D和E，且使延長(zhǎng)線(xiàn)與延長(zhǎng)線(xiàn)相交于F，求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，∴∴又∵∴又∵∴∴∴∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形的構(gòu)造方法是解題的關(guān)鍵．變式1－24.如圖，中，，在上分別截取的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，證明：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)M，可得到，，進(jìn)而有，，根據(jù)，可得到，即證．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)M，∵，∴，，∴，∴,即，∵∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)．二、作垂線(xiàn)構(gòu)造相似直角三角形例35.如圖從頂點(diǎn)C向和的延長(zhǎng)線(xiàn)引垂線(xiàn)和，垂足分別為E、F，求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】過(guò)B作于M，過(guò)D作于N，通過(guò)構(gòu)造相似三角形，利用其的性質(zhì)，即可證明．【詳解】證明：過(guò)B作于M，過(guò)D作于N∵∴∴，即（1）同理可得：，∴，∴（2），（1）＋（2）得在和中∴又∴，∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質(zhì)，熟練掌握輔助線(xiàn)的做法、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)模型二構(gòu)造一線(xiàn)三等角例46.在中，，D是底邊上一點(diǎn)，E是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】作，交AD于點(diǎn)K；根據(jù)題意，得CAK；通過(guò)證明AKC，得AK，CK；再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，得，從而得；再根據(jù)平行線(xiàn)、相似三角形性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】如圖，作，交AD于點(diǎn)K，∵∴90°，90°，,即∴CAK∵，∴AKC∴AK，CK∵，∴EK∴，∵，∴，∴∵，∴，∴∴∴∴2故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行線(xiàn)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．變式2－17.中，∠ACB=90°，，P是上一點(diǎn)，Q是上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），過(guò)Q且，交于M、N，求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】過(guò)P作于E，于F，證明，得到。進(jìn)而得到①，再證明，得到，故②，根據(jù)①②即可求解．【詳解】證明：過(guò)P作于E，于F，∵∠ACB=90°，∴為矩形∴，PF=EC∴．∴∴∵，∴①，∵在和中，于Q，∴又∵，∴，∴，∴∴②由①②得∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理．變式2－28.如圖，，射線(xiàn)和互相垂直，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線(xiàn)上，，作并截取，連結(jié)并延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)．設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)解析式是__________．【答案】【解析】【分析】作FG⊥BC于G，依據(jù)已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE與△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，F(xiàn)G=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握輔助線(xiàn)的做法是解題的關(guān)鍵．三、作延長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)造相似三角形例59.如圖，在梯形中，，若的平分線(xiàn)于點(diǎn)H，，且四邊形的面積為21，求的面積．【答案】27【解析】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，構(gòu)造相似三角形，轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比進(jìn)行求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，∵，平分∴，又∵∴∴，且，∵，∴∴∵，∴，∴設(shè)，則∵，∴∴∴，∵，∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的構(gòu)造方法及有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例610.在四邊形中，，，則______．

【答案】14【解析】【分析】延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=BC，利用SAS證明△ADE≌△DBC，再作CF⊥AE，垂足為F，在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得EF、CF的長(zhǎng)，再在Rt△ACF中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=BC，∠ADE=180°?∠ADB?∠BDC=60°?∠BDC，∠DBC=180°?∠BCD?∠BDC=60°?∠BDC，∴∠ADE=∠DBC，又∵AD=DB，DE=BC，∴△ADE≌△DBC(SAS)，∴∠AEC=∠DCB=120°，AE=CD=6，DE=BC=4，作CF⊥AE，垂足為F，在Rt△CEF中，∠FEC=60°，則∠ECF=30°，∴EF=CE=5，CF==5，在Rt△ACF中，由勾股定理得AC=，故答案為：．．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式3－111.在中，，D是斜邊的中點(diǎn)，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】3【解析】【分析】作截取，延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使，連接，，由等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，證明得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理，以及解一元二次方程即可求出答案．【詳解】解：作截取，延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使，連接，，如圖所示：∵，∴和是等腰直角三角形，∴45°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)定理，則，；∵，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，解得：或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線(xiàn)定理，以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線(xiàn)，得到．變式3－212.如圖，中，為斜邊上的高，E為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F，交于G，求證：FG2＝FC?FB．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】延長(zhǎng)AC，GF相交于點(diǎn)H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性質(zhì)得到，即CF?BF＝FG?HF，然后只要證明FG＝HF即可．【詳解】證明：延長(zhǎng)AC，GF相交于點(diǎn)H，∵FG⊥AB（已知）∴∠FGB＝90°（垂直的定義）∵∠ACB＝90°（已知）∴∠FGB＝∠ACB（等量代換）∵∠1＝∠2（對(duì)頂角相等）∴△HCF∽△BGF（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）即CF?BF＝FG?HF（比例的基本性質(zhì)）∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB（已知）∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定義）∴CDHG（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）∴∠3＝∠H（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∵∠3＝∠H，∠6＝∠6∴△ACE∽△AHF（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）∵∠4＝∠5，∠7＝∠7∴△AED∽△AFG（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）∴（等量代換）∵E是CD的中點(diǎn)（已知）∴CE＝DE（中點(diǎn)的定義）∴FH＝FG∵CF?BF＝FG?HF（已證）∴CF?BF＝FG?FG即FG2＝FC?FB．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定方法與性質(zhì)，通過(guò)作輔助線(xiàn)證明三角形相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式，進(jìn)而得出結(jié)論．習(xí)題練13.如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）A.（，），（，） B.（，），（，）C.（，），（，） D.（，），（，）【答案】C【解析】【分析】如過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線(xiàn)垂足分別為F、M．過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線(xiàn)交FA、根據(jù)△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線(xiàn)垂足分別為F、M．過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線(xiàn)交FA、∵點(diǎn)A坐標(biāo)（-2，1），點(diǎn)C縱坐標(biāo)為4，∴AF=1，F(xiàn)O=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)，∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3，，∴點(diǎn)B坐標(biāo)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形或相似三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．14.已知：如圖，中，，是中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，過(guò)作，延長(zhǎng)交于，交于.求證：.【答案】詳見(jiàn)解析【解析】【分析】由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知．，.然后證明，即可證明結(jié)論成立.【詳解】證明：聯(lián)結(jié)，∵，是中線(xiàn)，∴是的對(duì)稱(chēng)軸.∴，.∵，∴.∴.又，∴.∴.即.∴.【點(diǎn)睛】要證線(xiàn)段乘積式相等，常常先證比例式成立，要證比例式，須有三角形相似，要證三角形相似，須根據(jù)已知與圖形找條件就可.證明線(xiàn)段乘積式相等，常常先證比例式成立這是十分重要的方法之一.視頻15.如圖，中，是邊上中線(xiàn)，E是上一點(diǎn)，連接且交的延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用兩直線(xiàn)平行的性質(zhì)得出條件證明，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證明解答．【詳解】解：證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，是的中線(xiàn)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似、解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)輔助線(xiàn)，掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)．16.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連結(jié)AD．問(wèn)題引入：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=（用圖中已有線(xiàn)段表示）．探索研究：（2）如圖②，在△ABC中，O點(diǎn)是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連結(jié)BO、CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線(xiàn)段之比，并說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，O是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，試猜想的值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由見(jiàn)解析；（3）=1，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時(shí)，可得兩三角形底與面積的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，再根據(jù)分式的加減，可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=1：2；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案為：1：2，BD：BC；（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．理由如下：如圖，分別過(guò)點(diǎn)O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴．∵，∴．（3）．理由如下：由（2）得，同理可得，．∴＝1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形綜合題，利用了等底的三角形面積與高的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)．17.已知點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)交于E，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，根據(jù)，從而得證．【詳解】解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，如下圖：在和中，∴∴，∴∴∴∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質(zhì)，熟練掌握輔助線(xiàn)的做法、相似三角形的證