2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2.2角度問(wèn)題作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(五)角度問(wèn)題(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，假如船從岸邊A處動(dòng)身，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸A．15°B．30°C．45°D．60°B[如圖所示，sin∠CAB＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°.]2．如圖所示，長(zhǎng)為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tanA．eq\f(\r(231),5)B．eq\f(5,16)C．eq\f(\r(231),16)D．eq\f(11,5)A[由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16).所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).]3．我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A，B距離為12海里，發(fā)覺(jué)敵艦正離開(kāi)島沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度大小為()A．28海里/時(shí) B．14海里/時(shí)C．14eq\r(2)海里/時(shí) D．20海里/時(shí)B[如圖，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v，在△ABC中，AC＝10×2＝20海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小時(shí)．]4．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD在水平面上，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CADA．30°B．45°C．60°D．75°B[∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AD2＋AC2－CD2,2AD·AC)＝eq\f(\r(2),2)，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°.]5．地上畫了一個(gè)角∠BDA＝60°，某人從角的頂點(diǎn)D動(dòng)身，沿角的一邊DA行走10m后，拐彎往另一邊的方向行走14m正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點(diǎn)，我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N，則N與A．14m B．15mC．16m D．17mC[如圖，設(shè)DN＝xm，則142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0，∴x＝16或x＝－6(舍)，∴N與D之間的距離為16m．二、填空題6．某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處，然后朝南偏西60°方向航行3海里到達(dá)C處，若A處與C處的距離為eq\r(3)海里，則x的值為．eq\r(3)或2eq\r(3)[x2＋9－2·x·3cos30°＝(eq\r(3))2，解得x＝2eq\r(3)或x＝eq\r(3).]7．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為30eq\r(2)[如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2)(km).]8．一次機(jī)器人足球競(jìng)賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A起先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)覺(jué)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽視機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn)dm的C處截住足球．7[設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，設(shè)BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去).∴該機(jī)器人最快可在線段AD上距A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C處截住足球．]三、解答題9．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)覺(jué)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇(如圖所示).若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．[解]如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.依據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).10．島A視察站發(fā)覺(jué)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時(shí)10海里的速度向東南方向航行(如圖所示)，視察站即刻通知在島A正南方向B處巡航的海監(jiān)船前往檢查．接到通知后，海監(jiān)船測(cè)得可疑船只在其北偏東75°方向且相距10海里的C處，隨即以每小時(shí)10eq\r(3)海里的速度前往攔截．(1)問(wèn)：海監(jiān)船接到通知時(shí)，距離島A多少海里？(2)假設(shè)海監(jiān)船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時(shí)間．[解](1)依據(jù)題意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°.在△ABC中，由eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)得AB＝eq\f(BCsin∠ACB,sin∠BAC)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).答：海監(jiān)船接到通知時(shí)，距離島A5eq(2)設(shè)海監(jiān)船航行時(shí)間為t小時(shí)，則BD＝10eq\r(3)t，CD＝10t，又因?yàn)椤螧CD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去).所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.答：海監(jiān)船沿方位角105°航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí)．(或答：海監(jiān)船沿南偏東75°方向航行，航行時(shí)間為1個(gè)小時(shí))1．為了測(cè)量某塔的高度，某人在一條水平馬路C，D兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量．在C點(diǎn)測(cè)得塔底B在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿著南偏東40°方向前進(jìn)10m到D點(diǎn)，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔的高度為A．5m B．10mC．15m D．20mB[如圖，由題意得，AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD.設(shè)塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\f(AB,tan30°)＝eq\r(3)x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos120°，∴(eq\r(3)x)2＝x2＋100＋10x，解得x＝10或x＝－5(舍去)，故選B.]2．甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時(shí)乙船自島A動(dòng)身以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()A．eq\f(150,7)分鐘 B．eq\f(15,7)分鐘C．21.5分鐘 D．2.15小時(shí)A[如圖，設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,14)))eq\s\up12(2)＋eq\f(675,7).當(dāng)t＝eq\f(5,14)時(shí)，DC2最小，即DC最小，此時(shí)它們所航行的時(shí)間為eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分鐘．]3．如圖所示，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M位于北偏東α，前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島位于北偏東β，已知該島四周n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船接著東行，當(dāng)α與β滿意條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危急．mcosαcosβ>nsin(α－β)[在△ABM中，由正弦定理得eq\f(BM,sin（90°－α）)＝eq\f(m,sin（α－β）)，故BM＝eq\f(mcosα,sin（α－β）)，要使該船沒(méi)有觸礁危急需滿意BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sin（α－β）)>n.∴當(dāng)α與β滿意mcosαcosβ>nsin(α－β)時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危急．]4．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ＝．eq\f(\r(21),14)[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800?BC＝20eq\r(7).由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)?sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7)，∠BAC＝120°，則∠ACB為銳角，cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，則cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝eq\f(\r(21),14).]5．如圖所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向，且在港口B北偏西30°方向上，一艘科學(xué)家考察船從港口O動(dòng)身，沿北偏東30°的OA方向以20海里/時(shí)的速度行駛，一艘快艇從港口B動(dòng)身，以60海里/時(shí)的速度駛向小島C，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去，現(xiàn)兩船同時(shí)動(dòng)身，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間為1小時(shí)，則快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)才能和考察船相遇？[解]設(shè)快艇駛離港口B后，經(jīng)過(guò)x小時(shí)，在OA上的點(diǎn)D處與考察船相遇．如圖所示，連接CD，則快艇沿線段BC，CD航行．在△OBC中，由題意易得∠BOC＝30°，∠CB