2024學(xué)年長沙市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年長沙市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A． B． C．5 D．53．長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或4．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．5．在正四棱錐中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．6．已知橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長最大值為（

）A． B． C．14 D．7．已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為（

）A． B．6 C． D．8．已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題）9．（多選題）已知點(diǎn)A(－3,－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于（

）A．B．C．D．10．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，若，且，則（

）A． B．C．雙曲線的漸近線方程為 D．直線的斜率為411．已知橢圓，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到橢圓，將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)沿著軸方向、縱坐標(biāo)沿著軸方向分別伸長到原來的2倍得到橢圓，動(dòng)點(diǎn)，在上且直線的斜率為，則（

）A．順次連接的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形 B．的面積為的4倍C．的方程為 D．線段的中點(diǎn)始終在直線上三、填空題（本大題共3小題）12．過點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為．13．直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則．14．設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的內(nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，且，則的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)的直線l與點(diǎn)P的軌跡（包括點(diǎn)A和點(diǎn)B）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線l的方程．16．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的正切值．17．已知頂點(diǎn)為的拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．(1)若直線過點(diǎn)，且其傾斜角，求的取值范圍；(2)是否存在斜率為1的直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．18．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點(diǎn)在母線上，且.(1)求證：直線平面；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.19．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，的邊上的中線長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；(3)直線過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)分別與橢圓交于點(diǎn)和．若分別是線段和的中點(diǎn)，求面積的最大值．

參考答案1．【答案】C【分析】求出直線的斜率即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C.2．【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5．故選：C．3．【答案】C【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，長半軸長為，則短半軸長為，所以橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，短半軸長為，則長半軸長為，所以橢圓的方程為；所以橢圓方程為或.故選：C.4．【答案】B【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，故的取值范圍為.故選：B.5．【答案】D【詳解】

由題意知，所以，，，，，，,所以故選：D.6．【答案】C【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，，，利用，即可得出．【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，，則，，的周長，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)，，共線時(shí)取等號(hào)．的周長最大值等于14．故選：．7．【答案】C【詳解】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，得，即點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

由題意可知，如圖，點(diǎn)都在光線上，并且利用對(duì)稱性可知，，，所以光線經(jīng)過的路程.故選：C8．【答案】A【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A.9．【答案】BC【詳解】因?yàn)楹偷街本€的距離相等，由點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離公式，可得，化簡得，所以，解得或，故選：BC.10．【答案】BC【詳解】由，設(shè)，，由，得，則，，而，解得，因此，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然，則，B正確；對(duì)于C，令，在中，由，得，則，，即，因此雙曲線的漸近線方程為，C正確；對(duì)于D，由，結(jié)合對(duì)稱性，圖中位置可互換，則直線的斜率為，D錯(cuò)誤.故選：BC11．【答案】ABD【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，2,0，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到橢圓，則橢圓的焦點(diǎn)為，0,2，所以順次連接的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，故A正確；將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)沿著軸方向、縱坐標(biāo)沿著軸方向分別伸長到原來的2倍得到橢圓，所以與為相似曲線，相似比為，所以的面積為的面積的倍，故B正確；且的方程為，即，故C錯(cuò)誤；設(shè)Px1,y1又，，所以，即，所以，即，所以，所以線段的中點(diǎn)始終在直線上，故D正確；

故選：ABD12．【答案】x＋4y－4＝0【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，求得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱點(diǎn)在直線上求得，即得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線方程．【詳解】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.故答案為：x＋4y－4＝0.13．【答案】0【詳解】解：設(shè)，，則，由，解得或，所以，，所以．故答案為：0．14．【答案】【分析】由雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，得到直角的內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，結(jié)合和，列出方程求得，利用離心率的定義，即可求解.【詳解】由雙曲線的漸近線方程為，即，又由雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，則直角的內(nèi)切圓的半徑為，如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，則，因?yàn)椋傻?，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）法一：設(shè)Px,y，因?yàn)?，所以由，得，所以?dòng)點(diǎn)P軌跡方程為.法二：由題，所以P點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓去掉A、B得到的，所以P點(diǎn)的軌跡方程為（2）因?yàn)橹本€l與點(diǎn)P的軌跡（并上點(diǎn)A和點(diǎn)B）有且只有一個(gè)交點(diǎn)（如圖），①若斜率不存在，此時(shí)直線l方程為：，與圓切于點(diǎn)B，②當(dāng)直線l與圓相切斜率存在時(shí)，設(shè)，即，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑可得，得，所以此時(shí)直線l方程為.

綜上，直線l方程為或.16．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，應(yīng)用向量法求證垂直即可；（2）由三棱錐體積最大，只需△面積最大求出參數(shù)，再標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面與平面的法向量，進(jìn)而求它們夾角的余弦值，即可得正切值.【詳解】（1）如下圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，所以，，，，則，，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱錐體積取最大，即面積最大，所以當(dāng)時(shí)，故、為、上的中點(diǎn)，所以，，，故，，若為平面的法向量，則，令，故，又面的法向量為，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角正切值為.17．【答案】(1)(2)存在，或【詳解】（1）由題可知，且直線的斜率不為0，設(shè)Ax設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，則，因此點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立則，顯然，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以的取值范圍為．（2）設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立得，故即,又，易知，因?yàn)?，則，因?yàn)椋?，即，解得或，故存在斜率?的直線，使得，此時(shí)直線的方程為或．18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，，為中點(diǎn)，，又.，且.平面平面，，平面平面，平面.（2）為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，，，，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè).設(shè)平面的法向量n=x,y,z則令，解得，設(shè)直線與平面所成夾角為，，令，則，，當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離.19．【答案】(1)；(2)或；(3).【分析】（1）根據(jù)的邊上中線為得，再聯(lián)立即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，再由，即，最后代入即可求解；（3）設(shè)直線的方程為,則直線的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知，的中點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，則整理后利用基本不等式即可得到面積的最值.【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，為直角三角形，所?又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知，,顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立消去得，，所以，即.且，因?yàn)椋?，所以，即，所以，整理得，即，化簡得，即滿足條件，所以直線的方程為或，即直線